IV
lue résultat précédent a été obtenu par BT. Gauss , et tout ce qui précède est extrait de son Mémoire. Mais*, au lieu de résoudre, comme lui , par le calcul des variations la question de minimum à laquelle nous sommes conduits, nous allons déduire de considérations géométriques très-simples l'équation différentielle de la surface U qui peut rendre R minimum , ainsi que les conditions qui doivent être remplies aux limites.
Pour que K soit im minimum , le volume p restant constant, il faut que la variation de la somme K H- Xt^ soit nulle, X désignant une constance que Fon détermine ultérieurement.
Supposons d'abord que l'on fasse subir à la surface libre U une variation infiniment petite en conservant le même contour, c'est-à-dire en laissant invariable la portion de la surface du tube mouillée par le liquide qui a été désigné par T^.
J'ai fait voir dans mon Mémoire sur les surfaces isothermes orthogonales que si, siur la surface U, on considère un rectangle infiniment petit d(ù formé par quatre lignes de courbure ,^ les normales menées par les différents points du contour de cet élément intercepteront sur la surface voisine un élément infiniment petit correspondant égal à
£ étant la distance infinimeat petite des deox surfaces que l'on compare.
D'après ce théorème, dont la démonstration, géométrique est fort simple, la variation de oo^U est égale à
a»Jrf„(^ + ±)e;
(le U , cette petite zone a pour expression
la variation du volume sera composée du terme écrit précédemment
d(ùi
leprésentant le volume compris entre U et la portion correspondante de la surface voisine , et d'un autre terme exprimant le volume infiniment petit du second ordre compris entre les parois du tube et la surface gauche lieu des normales menées à U par les dififérents points de son contour; mais ce dernier terme peut être négligé comme infiniment petit par rapport aux précédents : il en est de même du terme analogue
provenant de la variation de jzdi^. Quant à la surface T, qui dans le
cas précédent n'avait pas varié, on voit sans peine qu'elle a augmenté de la portion de surface du tube comprise entre la courbe qui limite U et le nouveau contour qui la remplace, c'est-à-dire de l'intégrale
/ tdP smiles termes dus à la variation des limites sont donc
Pour qu'ils disparaissent quel que soit €, il faut que
c'est-à-dire
^ — :— r-- -I- or cot l = o,
COS l = 7-^ 9
ce qui prouve que l'angle / doit avoir une valeur constante qui dépend de la nature du liquide et de celle du tube.
Si îxJZiL était plus grand que i, c'est-à-dire si /3* surpassait a'^, la
formule précédente donnerait pour l'angle i une valeur imaginaire; il faut en conclure que, dans ce cas, les hypothèses* feites jusqu'ici sont
inadmissibles et que le liquide doit former une couche extrêmement mince qui mouille les parois bien au-dessus de la surface qui limite la masse du liquide soulevé. Dans ce cas, les deux intégrales quadruples que nous avons négligées peuvent ne pas avoir une valeur très-petite. On suppose qu'alors tout se passe comme si le tube était fermé par la couche liquide très-mince qui mouille les parois, auquel cas on aurait |S* = a', et , par suite, cos r = 1 .
Nous avons obtenu les deux résultats qui permettent de ramener à une question d'analyse la solution d'un problème quelconque relatif aux phénomènes capillaires. L'équation différentielle de la surface capillaire avait été obtenue par Laplace d'une manière un peu plus simple; mais le raisonnement au moyen duquel il prouve que l'angle désigné par i est constant, était, comme l'a remarqué M. Gauss, fort peu satis&isant. Un des résultats les plus remarquables que Laplace ait déduit de ses formules , est l'expression rigoureuse du volume total du liquide soulevé dans le cas d'un tube cylindrique à parois verticales, dont la section peut d'ailleurs être quelconque. Je crois que la démonstration suivante a sur celle de Laplace l'avantage de la simplicité.
En prenant pour plan des âcj' le niveau du liquide extérieur, lequation diflférentielle de la surface capillaire est
-«■(ff-^r)-
Multiplions les deux membres de cette équation par dxdjr et intégrons dans toute l'étendue de la surface qui sert de base au cylindre droit dans lequel s^élève le liquide ; nous aurons évidemment dans le premier membre le volume total du liquide soulevé, et pour avoir la valeur du second il suffit d'effectuer l'intégration
ffcfxdjr[^ + ±).
Or on peut évidemment regarder cette intégrale comme la composante verticale d*un système de foixres qui, s'exerçant.sur toute la surface du liquide, auraient sur chaque élément d(B> une intensité
^oo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
égale k fl(ô (ir-+- ^Y Mais un pareil système peut être remplacé de la
manière suivante par deux autres systèmes beaucoup plus simples : concevons une surface parallèle à celle du liquide et située à une distance infiniment petite s, j'entends par l^i une surface obtenue en portant sur chaque normale une longueur constante e; supposons que
chaque élément dtù' de cette surface soit pressé par une force - r/o)', et
que chaque élément r/co de la première surface le soit en sens contraire
par une force - dtM). Si d^ et d(ù' sont deux éléments correspondants,
d'après un théorème déjà cité dans ce Mémoire, on aura
d(ù' — dtù = diù{^'\' ^j g, de sorte que la différence des deux forces est précisément égale à
On pourra donc, au lieu de composer les forces proposées pour chercher leur composante verticale , chercher séparément la composante provenant de chacun des deux systèmes dont nous avons parlé. Or on sait qu'une surface quelconque étant soumise à une pression normale constante, la résultante des forces qui la sollicitent donne une composante verticale égale au produit de la pression rapportée à l'unité de surface par la projection horizontale de la surface considérée ; nous aurons donc, en nommant P, et P,, les projections de la surface du liquide et de la surface parallèle,
//rf^rfr(i-Ki)=(P,-P.)i-
Or P, — P, est évidemment la projection de la surface gauche formée par les normales de longueur s , menées par les points du contour, projection qui, à cause de l'inclinaison constante de ces normales, est égale, comme on le voit facilement, au produit du périmètre de la section droite par € cos i, i étant l'angle de la normale à la surface U, avec la normale à la surface cylindrique. Nous avons donc enfin , en nommant L le contour de la section droite du tube et Y le volume du
PURES ET APPLIQUÉES. aoi
liquide soulevé,
V = a^ L cos / ,
ce qui est, à la notation près, le résultat de Laplace,.
La méthode de M. Gauss suppose qu'aucune force extérieure autre que la pesanteur n agisse sur le liquide^ Si ]'on admet, par exemple, que la pression atmosphérique ne soit pas la même dans l'intérieur du tube qu'à l'extérieur, il faudra, dans l'évaluation des moments virtuels des forces du système, avoir égard à Ces forces de pression, et, par conséquent, au lieu d'égaler à zéro la variation de la fonction qui a été désignée plus haut par i2, il conviendra d'écrire qu'elle est égale et contraire à la somme des moments virtuels des forces de pression. Supposons que la pression qui s'exerce sur le niveau extérieure du liquide soit P, et désignons par P' celle que supporte le liquide soulevé danâ le tube ; reprenons Pexpression de Q qui a été calculée plus haut ,
= - gp f zd\^ -h ^-p^ i>^(p) - ^upue {o) H-npp'ïô(o),
cette expression devient, en y introduisant les conventions
Û = - gpfzds^ -H '-p'i^^io) - pgaU -f- apg/3»T,
ou , en faisant comme plus haut, ^ = T -h U>
Û = - gp Tz/ii^ H- i pV<Ko) - pga» U -h pgT{^^^ -. a*).
La variation (^12 doit être, pour l'équilibre, égale et de signe contraire à la somme des moments virtuels des forces de pression. Supposons que le tube soit un cylindre droit vertical et écrivons que cette condi-^
Tone XIU. - Joui 1848. S16
tion est remplie pour un déplacement virtuel consistant à abaisser d'une même quantité dh dans le sens de la verticale tous les points de la portion de surface IJ qui correspond au liquide situé dans l'intérieur du tube, et à élever en même temps d'une autre quantité dh' tous les points de la surface extérieure. I-.e rapport de dh à dh' étant calcule de manière à ce que le volume total reste invariable, on verra sans peine que, pour un pareil déplacement, la surface U n'étant pas changée, et nommant L le contour de la section intérieure du tube et V celui de la section du vase que nous supposerons aussi cylindrique, la variation de û sera
-grpc^/
zd\^ H- gp (a' - ^ /S') {- Idh -f- "Ldh').
Or è j zds^ est la somme des moments des différents cylindres tronqués de hauteur dh ou dh' dont le volume liquide s'est diminué ou augmenté; l'un quelconque de ces cylindres ayant pour mesure le produit de dh par sa section droite que l'on peut représenter par dxdjTj on aura
c^ / zd^f = -- dh j zdxdjr H- dh j zdxdj.
La première intégrale s'étendant à la portion du liquide intérieur au tube, elle peut représenter le volume du liquide soulevé sî z est compté à partir du niveau du liquide extérieur, hypothèse qui annule la seconde intégrale.
Remplaçant ^ j zdv par cette valeur, et remarquant que le rapport
de dh à dk doit être le rapport inverse de la section du cylindre à celle du vase dans lequel il est plongé , nommant 6 et B ces sections ,
iù = [-Ygp + gp (a^' - a») (l - fj] dh.
La somme des moments virtuels dus aux forces de pression peut facilement se calculer. Si, en effet, on considère un élément dtù de la surface U, la pression qu'il supporte, sera Vdtù ou P'^w, suivant qu'il appartiendra à la portion de surface intérieure au tube ou au niveau
PURES ET APPLIQUÉES. ao3
extérieur. Le déplacement virtuel du point d'application sera Je produit (le dh , par le cosinus de l'angle que l'élément pressé fait avec la verticale, ce qui donnera le produit de Vdh ou de Vdh' par la projection de l'élément rfw, et, par conséquent, pour intégrale, Vhdh ou — P'BrfA', suivant qu'il s'agira du liquide intérieur ou extérieur au tube; en remarquant que hdh = Bdhf^ la somme de ces deux intégrales sera [P — V^bdh. Nous aurons donc enfin pour équation d'équilibre
- Vgp + gp(./3»- a») (l-^) = (F- P)A.
Si nous appelons h la hauteur d'une colonne liquide de volume Y, ayant b pour base, ou, en d'autres termes, la hauteur moyenne du liquide soulevé, nous tirerons de cette équation,
*=K-nG-l)-^'-
On peut négliger, dans ce résultat, - par rapport à 75 et si l'on remplace en même temps a* — a/3* par sa valeur trouvée plus haut, a^ cosî, i étant l'angle formé par le liquide avec la surface capillaire,
n =^ a' Y cos i '^ ;
ce qui prouve que la hauteur h se composera de deux parties , I ui'ie précisément égale à l'élévation calculée plus haut pour le cas de P'=P, et l'autre égale à la différence du niveau due à l'excès de la pression extérieure sur la pression intérieure.
Si au lieu de considérer, comme dans le raisonnement précédent, le cas d'un tube plongé dans im liquide, nous supposons une colonne liquide suspendue dans un tube et supportant sur ses deux surfaces des pressions différentes , nous verrons qu'en donnant k tous les points un mouvement vertical commun, dans le sensde la verticale, &[] et âT seront nuls, et &Q se réduira à — gpV\ et en égalant ce moment virtuel à (P' — P) ^, nous verrons que le poids de la colonne sera simplement proportionnel à la différence des pressions, et que la capillarité n'aura sur le phénomême aucune influence. Si, comme cas particulier, nous supposions P = P', il viendrait V = o.
2o4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Les faits contraires à ce résultat doivent s'expliquer par Tinfluence du frottement.
On déduit irninédiatement des résultats précédents le premier des théorèmes énoncés au commencement de ce Mémoire. Si la colonne de liquide, située dans un tube capillaire ouvert par les deux bouts, est séparée en plusieurs parties par des bulles d'air interposées, quelle que soit la densité de ces bulles d'air et leur nombre, le poids total du liquide soulevé restera le même.
Je considérerai maintenant un phénomène bien connu qui semble au premier abord contredire les résultats de l'analyse précédente.
On sait qu'un tube capillaire ouvert par les deux bouts peut contenir une colonne à peu près double en hauteur de celle qu'il soulève quand on le plonge dans une masse liquide ; il suffit , comme on sait, que la colonne liquide occupe la partie inférieure du tube et y forme un ménisque par la courbure duquel on explique cette augmentation de hauteur. Pour concilier ce fait avec le théorème démontré plus haut, il faut remarquer qu'en général, dans l'application du principe des vitesses virtuelles, la somme des moments virtuels correspondant à un certain déplacement du système ne doit être nulle que quand im déplacement égal et contraire est possible, et fournit une somme de moments précisément de signe contraire à celle qui correspond au premier. Quand cette condition n'est pas remplie, il suffit pour l'équilibre que la somme des moments virtuels, sans être nulle, ne puisse jamais devenir positive. Or, dans le cas qui nous occupe , si , pour appliquer le raisonnement du paragraphe précédent, nous donnons au liquide un mouvement virtuel qui consiste à élever d'une même quantité toutes les molécules contenues dans l'intérieur du tube, de manière à ne pas changer la surface désignée par U et T, un déplacement égal et contraire, déplacement auquel les liaisons ne s'opposent nullement, entraînerait un changement dans la valeur de U et de T; car le tube ne s'étendant plus au-dessus du contour actuel de la surface U, on ne peut abaisser cette surface, sans supposer que le liquide forme au-dessous du niveau inférieur du tube un petit cylindre complètement extérieur, dont la
PURES ET APPLIQUÉES. ^o5
surface convexe doit être considérée comme faisant partie de U. I.a variation de T cessera également d'être nulle, car la diminution que cette surface éprouve vers le haut de la colonne ne sera plus compensée par un accroissement égal à la partie inférieure.
D'après ces remarques, on trouvera, en nommant dh le mouvement virtuel donné au système et désignant comme à l'ordinaire par L et h le contour et la section droite du tube,
(fû = gp\dh - gpoi^Ldh - pg (a.^^ - a^) Ldh-,
et comme &Q, doit être négatif, il vient
Or on a trouvé plus haut que le volume V, qui serait soulevé par ce tube plongeant dans une masse indéfinie de liquide, serait
V'=a*Lcosi.
On a donc
V ^ a' COS/'
2 fi'
ou , en remarquant que —7- = 1 -h cos i,
V cos i
ce qui est précisément le résultat énoncé au commencement de ce Mémoire.
La méthode précédente ne donne pas la valeur précise du rapport
--9 mais seulement une limite de ce rapport: on doit remarquer
qu'une détermination exacte de sa valeur est, en effet, complètement impossible; car si, dans les circonstances que nous avons admises, une certaine colonne liquide peut se maintenir dans le tube, à plus forte raison en sera-t-il de même d'une colonne moindre. Il faudrait néanmoins, pour que la solution (ut complètement satisfaisante, pouvoir démontrer que la limite trouvée peut, en réalité, être atteinte.
ioG JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
En appliquant la méthode exposée au commencement de ce Mémoire an cas de deux liquida superposés dans un même tube, on trouve sans difficulté qu'en désignant par U la surface qui limite le liquide supérieur, par XJ' la surface de séparation des deux liquides dans le tube , par U" la surface libre du liquide extérieur renfermé dans le vase , par T et T' les portions appartenant à la surface du tube ou à celles du vase qlii sont mouillées par le liquide supérieur et inférieur, par p et p' les densités du liquide supérieur et inférieur, et enfin par a^, /3^, a'^, j3'^, a"*, j3"^ des constantes analogues à celles qui ont été définies plus haut; il faut pour l'équilibre que la somme
K = p Czdi^-\- p' rz^i/-ha^pU + (a^- 2^^)pT
soit un minimum.
Or, en donnant un déplacement virtuel commun à tous les points (le la masse intérieure au tube et un déplacement inverse à chaque point de la niasse extérieure, on devra avoir
0= ^pbh- p'bh -h (a'V - i»/3'^p') L - (a'^ - ajS'^) ^ p',
d'où l'on peut tirer pour ph -\- p'h! une valeur qui ne dépend nullement de la nature du liquide supérieur.
Parmi les nombreux phénomènes qui se rattachent à la capillarité, l'un des plus simples et des plus faciles à étudier expérimentalement me semble celui de la formation des gouttes de mercure sur un plan horizontal de verre. Les principes précédents s'appliquent sans difficulté à l'étude de ces phénomènes et conduisent a quelques résultats dont peut-être on pourra tirer parti.
Si une goutte de mercure repose sur un plan horizontal , l'équation
différentielle de la surface libre sera la même que celle d'un liquide placé dans un tube, c'est-à-dire
seulement la constante h qui, dans les problèmes précédents, était déterminée par la position du niveau extérieur restera ici inconnue et ne pourra être obtenue qu'en égalant le volume calculé de la goutte au volume donné du liquide qui la forme. Dans le cas particulier où la goutte est fort large. Il et R' peuvent être considérés comme infinis pour les points de la surface supérieure; en sorte que, pour ces points, on doit supposer z = A, et que la constante h représente alors l'épaisseur de la goutte. Dans le cas général, pour définir cette constante, il faudrait supposer que la plaque sur laquelle repose le mercure est percée au centre même de la goutte qui communique, par un canal plein de liquide, avec un vase assez large pouf que le liquide y soit horizontal ; h désignerait alors l'élévation du niveau de ce liquide audessus de la plaque de verre
En supposant que l'on parvienne à réaliser les circonstances que je viens d'indiquer et à déterminer ainsi par l'expérience la valeur de // , on peut obtenir entre les éléments mesurables d'une goutte de mercure une relation simple dont la vérification me paraîtrait importante.
Considérons l'équation
Multiplions par cfxdjr et intégrons dans toute l'étendue de la projection de la goutte et pour tous les points de la surface libre de celle-ci , c'est-à-dire en prenant deux fois, avec des signes contraires, les ordonnées qui pourraient répondre à une même valeur de jc et de^; nous aurons , en nommant V le volume de la goutte et h la surface de la base par laquelle elle repose sur le plan de verre,
hh
Or le second membre peut être considéré comme représentant la composante verticale d'un système de forces s' exerçant normalement sur
2o8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
chaque élément rfw de la surface de la goutte avec une intensité égale a
c^dtù (■« -^ «7/ î "ï^is nous avons vu qu'un pareil système pouvait être
remplacé par deux autres, dans lesquels une pression s'exercerait
sur chaque élément de la surface de la goutte et de la surface parallèle menée à la distance £. Or chacun de ces systèmee de forces donne
naissance à une composante verticale égale au produit de — par la projection de la surface pressée; on voit facilement que la différence de ces deux projections est aLssin/, L étant le contour de la goutte et / l'inclinaison constante de son plan tangent sur le plan horizontal : l'intégrale qui est dans le second membre a donc pour valeur — a'Lsin /, et nous avons
bh — Y =1 — a*L sin /, d'où
y z=i hh -\- a^Lsin /,
relation qui parait susceptible d'être vérifiée par l'expérience.
EXTRAIT D'UNE LETTRE ADRESSÉE A M. LIOUVILLE, Par m. William ROBERTS.
« Dublin, le lo norerobre i847-
»... Ayant lu avec beaucoup d'intérêt les remarques que vou6 avez faites sur une Lettre de M. Thomson , je prends cette occasion de vous communiquer quelques développements relatifs à une méthode de transmutation des courbes planes et sphériques , qui comprend , comme cas particulier, celle que vous avez nommée la transformation par rayons vecteurs réciproques. Voici en quoi elle consiste :
» Étant donnée l'équation d'une courbe entre les coordonnées polaires, supposons qu'on substitue pour le rayon vecteur /•, R^*"*, et pour l'angle polaire u, tiH; il est évident qu'il en résultera une nouvelle courbe rapportée aux coordonnées polaires R et lî, et que
rdtd R^n
dr ^ r/R
» Par conséquent, les angles que font les rayons vecteurs tirés de l'origine commune aux points correspondants sur les deux courbes, avec les tangentes, sont égaux; d'où il suit que si les courbes
F(r, 0))= o, /(r, w) = o se coupent sous l'angle i, les courbes transformées F {r=*=", nw) = o, /(r*", /iw) = o
se couperont aussi sous le même angle, au point correspondant à l'intersection des deux premières.
» I^ cas le plus simple auquel on peut appliquer cette méthode est celui des droites
/•cos « = a, r cos (w — 6) = j3 ■
TomeXUI. - Jom 18^8. ^7
