Tome Xni. - Jcm

cas, peuvent donner lieu à des objections analogues, si l'on conteste le droit d'introduire dans l'énoncé d'une question les notions des corps rigides, des axes fixes , etc. ; si, en un mot, on se refuse à remplacer une question de physique par une question abstraite analogue , maia non identique.

Le principe des vitesses virtuelles, appliqué à un système défini d'une manière -quelconque, permet d'éviter cette difficulté apparente qui provient des forces de liaison , laquelle , dans la théorie des phénomènes capillaires, acquiert une nouvelle force par l'introduction des forces moléculaires qui les produisent en réalité et qu'on regarde cependant comme en étant complètement indépendantes. C'est sans doute pour cette raison que, dans son beau Mémoire sur les phénomènes capillaires, M. Gauss s'est attaché à prendre pour base unique de ses raisonnements le principe des vitesses virtuelles ; mais , comme il le dit lui-même, cet illustre géomètre avait en même temps pour but de donner un exemple de Inapplication du calcul des variations à une question relative aux intégrales multiples: il a donc dû, pour exposer cette théorie d'une manière générale , rejeter les nombreuses simplifications géométriques qui auraient pu se présenter à lui. Le but que je me suis proposé dans ce Mémoire est précisément de faire connaître la méthode de M. Gauss et les simplifications dont elle est susceptible et qui la rendent, si je ne me fais pas illusion, la plus facile de celles qui ont été proposées jusqu'ici.

Après avoir donné une démonstration nouvelle des résultats obtenus par M. Gauss, je me suis efforcé d'appliquer sa méthode à des questions assez simples pour qu'on pût comparer l'expérience aux résultats fournis par l'analyse. Les théorèmes suivants, qui, si la théorie est exacte, sont rigoureusement vrais, me paraissent remplir cette condition :

i**. Si un tube capillaire est plongé dans un liquide et que la colonne du liquide soulevé soit séparée en plusieurs parties par des bulles d'air introduites artificiellement, la masse totale du liquide soulevé ne dépendra ni du nombre, ni du volume de ces bulles.

7?. Quand une colonne de liquide est suspendue dans un tube capillaire ouvert par les deux bouts et placé verticalement dans l'air libre, le volume total de cette colonne est tout au plus égal au produit

du volume qui serait soulevé par le tube s'il était plongé dans un vase

plein du même liquide par la somme ( 1 H ^) > / étant l'angle sous

lequel la surface capillaire formée par ce liquide coupe les parois du vase.

3^. Si plusieurs liquides sont superposés dans un mc^me tube capillaire et que ce tube plonge dans un vase de même nature que le liquide inférieur, la somme des poids des liquides soulevés ne dépend que de la nature du tube et de celle du liquide inférieur.

4"^. En nommant V le volume d'une goutte de mercure , b la surface de la base de cette goutte, L le contour de cette base, et enfin h la hauteur à laquelle le liquide s'élèverait dans un vase très-large communiquant avec la goutte par un tube plein de mercure , on aura la relation

\ =bh-^ a^Lsini,

a étant une constante, et / l'angle défini plus haut.

En considérant un liquide comme composé de molécules matérielles m, m', m",.,, qui agissent les unes sur les autres suivant une fonction de leur distance mutuelle et proportionnellement au produit de leurs masses, supposant ce liquide renfermé dans un tube fixe dont les différentes molécules ayant pour masse M, M', M", . . . attirent /n, m', m",... suivant une autre fonction de la distance ; si l'on adopte la notation (m, m*) pour représenter les distances des points m et ni y et qu'on représente par mmf{m^ m'), mMf{m, M) les forces qui s'exercent entre nij m\ m^ M^ le principe des vitesses virtuelles nous apprend que, pour tous les déplacements qui laissent invariable le volume total , on doit avoir

h^ n- V J-Sdz-m'f{m, m!)d{m, m!) - mfijn, m'')d(m, mry.\ ^1 ; o-^ my MF (/», M) d{m, M) - M'F(m, M') d{m, M').,]'

les variations d{m^ m!) y d[m^ M) se rapportant au déplacement virtuel du point m.

Introduisons au lieu des fonctions/ et F leurs intégrales y et $, ou ,

i88 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

en xl'aiitres termes, posons

£^Ar)dr=-<f{r), jf " F (r)'^r = - $ (r) ,

l'équation (i) deviendra

les differentiations se rapportant encore au seul déplacement du point m. Mais il est évident que chacune de ces différentielles partielles pourra être réunie à une autre différentielle qui la complétera et formera avec elle la variation totale de la fonction. Ainsi, par exemple, en faisant la somme relative au point m, nous aurons le terme

mm!d(f{m^ m')j

et, dans la somme relative à m',

m'indff [nij m'),

la première variation se rapportant au déplacement de m , et la seconde à celui de m'\ la somme de ces deux termes pourra s'écrire

mm!d(f{tn^ m'),

le signe r/ exprimant cette fois la variation totale de la fonction y.

D'après cela , la somme des moments virtuels des forces qui sollicitent le système peut être considérée comme la variation totale de l'expression

les termes ç (/n, m') rrCm sont divisés par a, parce que chacun d'eux se reproduira évidemment deux fois dans la sommation.

Si nous supposons maintenant que les molécules m, m',..., M, M', M",. • forment deux masses continues, l'expression précédente deviendra, en appelant v le volume occupé par le liquide et /9 sa densité, s^' et jo' le volume et la densité de la matière solide qui forme le tube,

û =z — gp 1 7d9 -h - p^ f f dvdi^^ (f {dvdsf^) -h pp' f l dvds/ ^{dudv^)'j dv et r/v', désignent ici deux éléments quelconques du volume liquide,

en sorte que le second terme de la valeur de ù représente, en réalité, une intégrale sextuple; il en est de même du troisième.

Les deux intégrales sextuples qui entrent dans les valeurs de il peuvent être considérées comme provenant l'une et l'autre de la solution du problème suivant :

Deux espaces limités étant donnés ^ faire la somme des produits obtenus en multipliant un élément quelconque du premier par un élément quelconque du second et par une fonction de la distance de ces deux éléments.

La première de nos deux intégrales se rapporte au cas où les deux espaces sont identiques , et dans la seconde , Tun d'eux étant le volume occupé par le liquide et l'autre le volume occupé par le vase, ces deux espaces sont entièrement distincts; nous considérerons d'une manière générale la réduction de l'intégrale sextuple qui exprime la solution du problème en supposant que les deux volumes dont on s'occupe soient tout à fait quelconques, tant pour la forme que pour la position relative.

En nommant d^j di/ les éléments de nos deux volumes, il s'agit de transformer l'intégrale sextuple

C Cdvdi/ff{dv,dv'y

Nous allons voir qu'on peut, dans tous les cas, la ramener à une intégrale quadruple.

Soit |x un élément du volume v' (qui pourra faire ou ne pas faire partie du volume i^), et considérons d'abord l'intégrale triple

jdvff{ikjd\f).

que nous étendrons à tout le volume v. Concevons une sphère de rayon i décrite du point |x comme centre et divisée en éléments infiniment petits; soit ^n l'un de ces éléments; considérons ^11 comme la base d'un cône ayant pour sommet l'un des points de dp.^ et soient pfj p'\ p'\'" les points où ce cône coupe la surface s qui limite le volume f^, le nombre de ces points étant évidemment impair

igo JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

ou pair^ suivant que jui fait ou ne fait pas partie de (/ ; désignons par dt!j di", dt" les éléments interceptés par ce cône sur la surface j, et q\ q", q'^y,. les angles formés par les génératrices avec les normales extérieures à ces éléments, et enfin par v'j xf\ t.",... les distances (ip', ixp'\ fjip'",.--; nous nurons évidemment

Jn ^ ^^ cos q' dt' cos q" dt"' cos q'"

les signes supérieurs 'se rapportant au cas où le point |x est extérieur à p et les signes inférieurs au cas contraire.

Si maintenant nous formons les portions de l'intégrale triple qui est relative aux éléments de i^ situés dans l'intérieur du cône considéré, cette portion est évidemment représentée :

1°. Si le point fx est extérieur k p, par

dn\ r (p{r)r^dr-h f y(r)r»rfr + ... 1:

•1^. Si fJL fait partie du volume i^, par

du [ r' ff{r)r^dr+Ç ç(,) rVr -K...]; en sorte que , si nous posons

ç)(r)rVr=-^tJ;(r), cette intégrale deviendra, dans le premier cas,

et, dans le second,

dn^[o) H ^ +(r') + —p^r^ di' -^...;

et si maintenant nous faisons la somme de ces résultats pour toutes les positions possibles de l'élément rfll , il vient , dans le premier cas ,

* dt cos q

et, dans le second,

les deux intégrales devant s'étendre à toute la surface qui limite le volume-t».

On déduit facilement des résultats précédents, qu*en désignant par (7 le volume qui appartient à la fois k \^ et i^', l'intégrale sextuple que nous voulions évaluer est égale à

4n,|(o) +// ■""' ■^jy-*' .

de sorte que pour la calculer, il suffira de former une intégrale quintuple dans laquelle on considérera successivement les éléments du volume i', combinés avec ceux de la surface t.

Pour réduire cette intégrale quintuple, considérons un élément fixe cit de la surface <, et formons d'abord l'intégrale triple qui se rapporte à la combinaison de cet élément avec tous ceux du volume r/i^; cette intégrale sera

do cos q -^ (di

q désignant l'angle de la droite {d^*'^ e^fHj^ la normale extérieure à dt.

Concevons une sphère de rayon i décrite de dt comme centre; soit encore dH un élément de la surface de cette sphère; considérons le cône qui, ayant pour sommet un point de dt^ aurait dR pour base; supposons que ce cône coupe la surface T qui limite le volume v aux points F, P", P'%...; soient R', R", R'',... les distances de ces différents points au point fx; rfT', dT'j dT'" les portions de la surface T interceptées par ce cône infiniment petit, et enfin Q', Q", Q" les angles formés par le cône avec la normale extérieure à ces éléments: nous aurons

. ^ dV cos Q^ dV'cosQ" ^ ^r^cosQ^^^

les signes supérieurs ou inférieurs devant être adoptés suivant que di est extérieur ou intérieur au volume i^. Si maintenant nous intégrons dans toute l'étendue du cône infiniment petit, considéré plus haut, q, dans toute l'étendue de cette intégration , devra être considéré comme

19a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

constant, et si nous posons

jr",j;(r)rfr=-ô(r), nous verrons, comme dans le cas pi^cédent, que l'intégrale

(dp, dty

étendue à tous les éléments du cône infiniment petit, sera égale, dans le premier cas, à

VdT cos Q' .-,,. dTco% Q' ^ ,^„ . 1

et , dans le second , à

^ncos7Ô(o) -f- cosç (^î^^Ô (RO -f-...)-

Si maintenant nous intégrons par rapport à dU , il viendra : i"". Dans le cas où Télément dt est extérieur à i^,

/ dçco%q'^{dtydp) /* rfT cos y cos Q (R) [dv.d^y —J r5 '

^f désignant l'un quelconque des éléments de la surface qui termine V.

â"". Dans le cas où dt est situé dans l'intérieur de i^» il faut ajouter A l'expression précédente le terme

ô (o) 1 ^11 cos 9.

Il est facile de voir que, si cette intégrale est étendue à tous les éléments de la sphère de rayon 1, les parties qui la composent se détruisent deux à deux et sa valeur totale est o; mais si l'élément dt fait partie de la surface qui limite v, c'est-à-dire si les espaces i/ et i^' sont, en partie, limités par une surface commune, et que dt désigne l'élément de cette surface, l'intégrale

Q{o)l dncosq devra être étendue seulement aux éléments de la surface sphérique

PURES ET APPLIQUÉES. igS

pour lesquels la droite [dt, dfl) se trouve, dans le voisinage de dt^ intérieure au volume p, c'est-à-dire pour tous leséléjnents qui se trouvent d'un même côté du plan langent k dt et pour lesquels l'ahgle q est aigu, si les volumes ^ et i/ sont situés de côtés diiS^rents de la surface qui leur est commune, et obtus dans le cas contraire. On trouvera très-facilement que, dans le premier cas, l'intégrale

dllcosq = H- n., et y dans le second, '

j dncosq= — n, .

Il résulte des considérations précédentes que l'intégrale sextuple

rfdi^di/(p{di', ds/)

peut sj ramener à la forme suivante :

I**. Si les volumes ca et • ont une partie commune c, leurs surfaces étant entièrement distinctes,

JJd.d^^ (./., d.') = 4naKo) 4-//^^|p^ ô idt, dVy,

a*'. Si les surfacee t^ T, qui limitent i> et i^', ont une partie commune que nous appellerons S,

j jdvdi/(p{di^,di/) = 4n(7ij^(o) HP npSd{o)

ff

dtdl cos y cos QO (rff , dl)

[dt, dTY "'

le signe supérieur se rapportant au cas où v et p' sont du même côté de leur surface de séparation, et le signe inférieur au cas contraire.

D'après la formule de réduction à laquelle nous sommes parvenus, la quantité û, dont la variation représente la somme des moments virtuels des forces qui solKcitent le système, peut être mise sous la

ToineXlU. - Jwm848. ^^

forme suivante:

Ç rdtde'cosqcosq'0{r) Ç r dt dT cos q cos QB (v)

p désignant y comme noiRs l'avons dit plus haut , la densité de liquide, et jo' celle du verre ; i^ étamt le volume du liquide, t Taire de la surface qui termine ce volume et T l'aire de la portion de cette surface qui est en contact avec les parois du tube ou avec celles du vase. Les fonctions ^^ 6 et Q se déduiront des fonctioiis 9 et $ par les équations suivantes :

n r^<S>{r)dr=-'^{r), T* W{r)dr= -e(r).

Les fonctions f et <S> étant totalement inconnues , il en sera de même de d et 6 qui s'en déduisen^t. On peut néanmoins admettre que ces deux fonctions, de même que 9 et (p, s'annulent pour toutes les valeurs sensibles de la variable; il suffit, pour cela, de remarquer que l'action des molécules situées à une distance sensible n'ayant aucune influence sur les phénomènes, on ne changera rien à ceux-ci, en admettant que 9 et $ soient rigoureusement nulles pour des valeurs finies de la variable, ce qui entraîne évidemment la même condition pour les fonctions 6 et ©.

D'après cette remarque, on voit sans peine que les deux intégrales quadruples qui entrent dans la valeur de Q sont Tune et l'autre négligeables.

Considérons, en effet, la première de ces deux intégrales,

r r àtdt'co&qcosq' ^ , .

Nous pouvons l'écrire de la manière suivante :

en sorte qne l'expression qu'il faut rendre minimuni prendra la forme

\dv^ (a»-ap»)T + a»U = K,

U étant la surface libre du liquide et T la portion de cette surface en contact avec les parais du tube ou avec celles du vase;