SUR LES POSITIONS ET LES FIGURES D'ÉQUILIBRE

Par m. ST£IGH£I\ ,

Professeur h TÊcole militaire de Bruxelles.

La Note de M. Lejeune-Dirichlet sur les positions d'équilibre stable et instable y insérée dans le tome XII de ce Journal (page 474)? «^'^ donné l'idée de présenter quelques remarques que j'ai faites depuis longtemps sur le même sujet.

Le point de vue sous lequel on envisage habituellement la chose dans la mécanique rationnelle me semble trop restreint, puisque Ion n'y considère qu'un système de points matériels, soumis à des forces attractives ou répulsives qui ne dépendent que de la distance, etc.; et que , d'un autre côté, l'on ne voit pas même par là jusqu'à quel point la proposition que l'on veut démontrer est susceptible d'application aux machines et aux systèmes terrestres en général , même abstraction faite des résistances passives.

Pour mettre dans les idées cette clarté si nécessaire, alors surtout qu'il s'agit de propositions générales plus ou moins vagues , nous pensons qu'il est utile de distinguer les positions d'é(/uilibre des systèmes rigides, et les égares cT équilibre des systèmes et machines qui sont sujets à varier de forme tant par l'effet des vitesses acquises que par l'action même des forces qui y sont appliquées. Dans ce même but, nous allons reprendre quelques défïhitions.

La position (f équilibre d'un corps rigide, soumis à des forces données, est cette position spéciale pour laquelle ces forces se font équilibre, et telle que si le corps est dérangé par une force ou impulsion étrangère qui cesse ensuite, l'équilibre ne subsiste généralement plus.

La position d'équilibre stable est celle à laquelle le corps tend à

revenir sous l'action des forces appliquées, après qu'il en a été dérangé, n'importe de quelle manière.

La position d'équilibre instable est celle dont le solide, une fois dérangé quelque peu que ce soit , s'écarte de plus en plus par l'effet même des forces primitives.

I^ position {f équilibre indifférente est celle dont le corps, une fois dérangé par une cause étrangère, ne tend ni à se rapprocher ni à s'écarter par l'effet même des forces primitives.

On définirait de même le&Jigures d'équilibre stable, instable, indifférente , dans les machines.

Habituellement on ne s'arrête pas à ces sortes He définitions, parce que l'on juge que la chose se définit suffisamment par les mots stable et instable qui l'expriment ; mais on n'en admet pas moins d'une manière indirecte les idées que nous exprimons par une définition formelle de mots.

On ne pourra donc pas, croyons- nous, objecter que nous mettions dans nos définitions plus qu'il ne faut et qu'on ne le fait ordinairement; et la seule difficulté qui se présente consiste à ne pas pouvoir démontrer immédiatement ce que l'on définit. Mais à défaut de pouvoir surmonter cette difficulté, ou plutôt d'éviter cet inconvénient, nous devons ici nous contenter (ce qui arrive d'ailleurs dans d'autres cas) de raisonner dans la supposition que l'objet défini existe, sauf à justifier ensuite cette supposition par n'importe quelle espèce de démonstration.

11 y ici une différence essentielle à établir entre une machine et un système rigide : en effiet , une machine n'est jamais susceptible que d'un mouvement on que d'un dérangement unique dans un sens défini ou dans le sens diamétralernent opposé, et c'est même là l'unique caractère commun à toutes les machines. Au contraire, un corps solide, même gêné par un ou plusieurs obstacles, est le phis souvent susceptible encore de plusieurs dérangements. Il faut donc au moins admettre comme une chose possible à priori, qu'un corps solide ime fois dérangé de sa position d'équilibre, tende ou à reprendre cette position sous l'action des forces appliquées, ou à s'en écarter de plus en pi us 9 selon le mode du dérangement produit.

Ainsi il se peut que pour de certains corps solides une même posi-

tion d'équilibre jouisse successivement de la propriété d'être stable, instable, indifférente.

L'ellipsoïde pesant et homogène, ayant ses trois diamètres conjugués rectangles inégaux entre eux, nous offre un exemple remarquable de ce cas, s'il repose par l'extrémité de sou diamètre moyen sur un plan horizontal parfaitement uni sur lequel il puisse, par conséquent, rouler sans frottement. En effet, s il y a à partir d'une section principale des directions consécutives qui doivent faire considérer la position initiale comme stable, il y aura à partir de la section principale perpendiculaire une infinité de directions elliptiques consécutives qui doivent faire envisager la même position comme instable, II doit donc y avoir aussi une direction toute spéciale et intermédiaire qui donne à cette même position la propriété d'une position d'équilibre neutre ou indijjérente; ce qui est confirmé par la propriété de rellipsoïde de pouvoir être coupé suivant deux circonférences de cercle par deux plans menés suivant l'axe moyen. L'exemple de l'ellipsoïde se trouve, il est vrai, déjà cité dans la Mécanique de Poisson , mais dans un sens un peu différent.

Dans les machines, il faut également admettre les trois espèces de figures d'équilibre, quoiqu'il serait peut-être très-difficile de citer un bon exemple d'une figure ou position d'équilibre indijjérente. En effet, tant que l'on ne définit pas les machines sur lesquelles on veut raisonner, il faut reconnaître deux cas comme possibles : ou le centre de gravité des forces sollicitantes, ou plutôt de leurs poids équivalents, s'élève et s'abaisse alternativement au-dessus et au-dessous d'un même plan horizontal, ou il se déplace seulement dans un tel plan. Dans ce dernier cas, chaque figure, si toutefois il y a encore changement de figure, doit être une figure ou une position d'équilibre indifférente; car il y aura constamment équilibre dynamique entre les forces ou leurs poids équivalents, puisque la descente verticale et virtuelle est nulle par hypothèse, et que, par suite, il en est de même de la somme des moments virtuels de ces poids ou de ces forces. Mais le plus souvent, pour ne pas dire toujours, le centre de gravité dont il s'agit se rapproche et s'éloigne alternativement d'un même plan horizontal de comparaison, et alors pendant le mouvement utile de la machine l'équilibre dynamique n'a lieu généralement que quand le centre de

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gravité est à sa plus grande hauteur ou profondeur : cette situation rend , en effet , nulle la somme des moments virtuels effectifs des forces, et la force vive^ totale de la machine sera , par conséquent aussi , en général , un maximum ou un minimum. Ceci est vi^i quelle que soit la nature des forces sollicitantes, et se trouve indépendant de ces restrictions de forces attractives et répulsives, fonctions de la distance, restrictions avec lesquelles on a exposé et enseigné le principe des forces vives jusqu'à l'époque de M. Poncelet, qui a, selon nous, le mérite incontestable d'avoir le premier exposé ce même principe sous une nouvelle face et avec ce haut degré de clarté et de généralité qu'il n'avait pas auparavant. En effet, il est vrai de dire, pour tous les cas, que le demi-accroissement de force vive instantanée eSt équivalent à la somme des moments virtuels effectifs des forces, soit qu'il y ait, soit qu'il n'y ait pas de loi qui exprime la force en fonction du chemin décrit par son point d'application , à compter d'une position initiale quelconque. De plus, en prenant les choses du point de vue de M. Poncelet , on conçoit aussi immédiatement que, dans le cas actuel , la figure d'équilibre stable doit répondre à une force vive maximum du système. En effet, immédiatement après que celui-ci a passé par la figure de l'équilibre stable , en vertu des vitesses qui animent ses différentes parties, les forces sollicitantes tendront (par définition) à le ramener à cette position ou à cette figure, alors même qu'il s'en éloigne de plus en plus par l'effet de ces vitesses. Donc la somme des moments virtuels des forces qui jouent le rôle de résistances actives (on fait abstraction des résistances passives) est supérieure à la somme des moments des forces qui tendent dans le sens même du mouvement utile. Il suit de là que la force vive du système doit diminuer pendant tout le temps où la figure s'écarte de la figure d'équilibre stable : mais o« verrait de même que la force vive doit augmenter pendant tout l'intervalle où la figure variable se rapproche de plus en plus de cette même figure d'équilibre ; de sorte que la force vive maxifiuim a lieu à Tinstant même où le système affecte dans son mouvement révolutif la figure d'équilibre stable. Mais là où il y im mouvement périodique ou révolutif réglé ou non réglé, qui n'est pas censé s'éteindre à l'instar du mouvement oscillatoire , il faut qu'à un certain intervalle luie force vive minimum succède à une force vive maximum^

PURES ET APPLIQUÉES. aag

cela est évident et résulte aussi de ce que r> après le passage^par la figure stable, l'accroissement de force vive a une valeur négative, de même 'que la^nlOBiEne totale des moments virtuels: il y aura donc dimitivAtoi incessante de force vive jusqu'^ l'époque où la figure variable sera tiite, que les forces se fassent encore une fois «équilibre, et qtie Jla.^sommé des momeuts soit uulle. Mais cette nouvelle figure sera instaUd; car, immédiatement après le passage par cette figure, la force vive doit croître de nouveau pour pouvoir redevenir ensuite un maximum. Donc la somme totale des moments virtuels des forces doit avoir pour chaque instant uiie valeur positive sur toute Tétendue d'un intervalle fini, quelque petit qu'il soit d'ailleurs.

La figure d'équilibre dont il s^agit est donc telle, que si l'on y plaçait la machine avec une vitesse nulle, et qu'on l'en dérangeât ensuite un tant soit peu, dans l'un ou l'autre sens du seul mouvement possible, les forces qui tendraient dans le sens même du dérangement auraient une somme de moments virtuels, partant une tendance dynamique plus grande que la somme des moments des forces tendant en sens contraire. Or tel est précisément^ par définition, le caractère de la figure d'équilibre instable qui correspond, par conséquent, à une force vive minimum.

Remarque I. Toutes les fois qu'il est question de figures d'équilibre stables et instables, il faut faire abstraction des frottements et des autres |||^istances passives, s'il y en a. En effet, en ayant égand aux frottements seuls, on peut déjà trouver diverses figures, toutes assez voisines d'une même figure d'équilibre, pour que la somme des moments virtuels de toutes les forces sollicitantes reste inférieure à la somme des moments virtuels des frottements, et chacune de ces figures sera pour la machine une figure de repos , et non pas une vraie figure d'équilibre.

Mais parmi toutes ces figures qui correspondent chacune à ime inéquation de moments , il doit y en avoir une de chaqqe côté de la figure de l'équilibre idéal , qui réponde à ime équation de moments , et c'est là la figure d'équilibre de la machine, eu égard aux frottements; c'est ixne^gure (f équilibre effectij ou physique. Les figures de l'équilibre effectif existent donc bien aussi , mais elles ne sont pas les

Tomo XUl. — JuiLtST 1848. 29

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mêmes que celles de Téquilibre rationnel. Toutefois elles en diftierent d'autant moins que les frottements sont plus faibles, et c'est dans ce sens seulement qu'il est permis de les confondre les unes avec les autres dans de certains cas , tels que celui du pendule et d'un solide à surface continue , qui serait pesant et qui poserait sur une surface d'appui horizontale très-unie; car, dans des cas pareils, le frottement de glissement et celui de roulement sont réduits aux plus minimes proportions.

Remarque IL II résulte de ce qui a été dit plus haut, qu'en admettant l'existence de la figure stable, l'existence de la figure instable en résulte comme une conséquence nécessaire. De plus, comme dans la plupart des machines il y a des pièces à mouvement alternatif, le mouvement uniforme rigotireux est impossible. Donc, puisque le mouvement d'un tel système est révolutif ou périodique, il faut qu'il y ait clans chaque cas pareil une position de force vive maximum et une autre de force vive minimum absolue^ ce qui nous semble démontrer suffisamment l'existence des figures d'équilibre des machines en général. Mais, comme l'exception est du moins possible ici, c'est-à-dire comme il peut y avoir quelques cas de machines dans lesquelles le mouvement uniforme soit possible d'une manière permanente, sous l'action même des forces sollicitantes, chaque figure ou position de la machine sera* alors une position d'équilibre indifférente. D'après cela , il nous parait impossible et superflu de démontrer analytiqtnunent et d'une manière générale l'existence des figures d'équilibre stables et instables ; on est d'autant plus porté à en juger ainsi que, dans chaque cas défini, la recherche de ces figures doit dépendre d'une équation algébrique ou transcendante dans laquelle la réalité de diverses racines doit résulter de la forme de l'équation ,. partant du genre de machines pour lequel on raisonne.

Remarque III. Concevons qu'aune machine, occupant d'abord sa position d'équilibre stable , en soit dérangée par une impulsion étrangère, avec une énergie et des vitesses trop faibles pour qu'elle puisse atteindre jusqu'à sa figure d'équilibre instable. IjCs forces sollicitantes éteindront ces vitesses et ramèneront ensuite la machine vers sa figure initiale qu'elle dépasse encore par l'effet des vitesses acquises du côté

oppose à celui vers lequel la portait Timpulsion initiale; maïs, après un certain intervalle, les forces actives la ramèneront de nouveau à sa figure primitive, qu'elle dépassera encore pour continuer ainsi indéfiniment. C'est le cas le plus général du mouvement oscillatoire, qui serait perpétuel s'il pouvait se faire dans le vide et sans frottement» Mais, ces dernières conditions étant physiquement impossibles, les résistances passives absorberont, à chaque oscillation et à chaque écart de part et d'autre de la figure stable, une certaine quantité de travail , ce qui raccourcira graduellement l'amplitude des oscillations et ramènera fijoalement la machine à sa figure stable, ou , du moins, dans ime position très-voisine, où elle restera désormais au repos sous l'action méuie des forces sollicitantes.

Le mouvement oscillatoire d'une machine de part et d^ autre de la figure d'équilibre stable aura lieu toutes les fois que la force vive initiale imjmmee est moindre que la double somme des quantités de travail des forces qui répondent aux espaces qui seraient décrits par leurs points d'action dans l'intervalle de la figure stable à la figure instable.

Si la force vive imprimée est précisément égale à cette double somme, la machine atteindra jusqu'à la figure instable où elle se maintiendra, et si cette force vive dépasse enfin l'autre quantité, le mouvement périodique et révolutif aura lieu ; mais tout mouvement oscillatoire autour de la figure instable est impossible, car quelque faible que soit la cause qui dérange alors la machine, les forces sollicitantes l'en écarteront de plus en plus, et le mouvement révolutif aura lieu.

Remarque IV. Dans une machine à mouvement périodique , le centre de gravité des forces, ou plutôt de leurs poids équivalents, décrit ou une portion finie d'un axe vertical d'un mouvement alternatif, ou bien une courbe fermée; car, d'après ce qui est déjà dit, le cas où il se meut sur un même plan horizontal peut être laissé de côté. Ne considérons d'abord que le cas où ce centre a le mouvement vertical alternatif et celui où la courbe décrite n'a que deux tangentes horizontales. Alors, pendant toute la durée de sa descente, la somme des moments virtuels des poids équivalents est positive pour chaque instant; de sorte que, dans cet intervalle, la force vive s'accroît de

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plus en plus, tandis que pendant la montée elle diminue constamment. On peut donc dire aussi que , quand la force vive est un minimum , le centre de gravité, non pas de la machine, mais des poids équivalents, y compris ceux de ses pièces, est le plus profondément placé, et qu'il est à sa plus grande élévation pour la figure d'éqtiilibre instable. Mais la courbe fermée , plane ou à double courbure, parcourue par le centre en question , peut avoir plus de deux tangentes horizontales; de sorte que, pour de certains cas, il peut y avoir plus de deux figures d'équilibre.

Concevons la figure de la machine en repos, pour laquelle ce centre se trouve sur la courbe au point de contact avec Tune quelconque d des tangentes intermédiaires horizontales. L'équilibre subsistera entre les forces ou leurs poids équivalents; et la figure dont il s'agit sera stable ou instable, selon que la tangente d laissera entièrement au-dessus ou an-dessous d'elle les deux parties de courbe qui se raccordent en son point de contact: seulement cette stabilité est plus ou moins resserrée , selon que la tangente d est elle-même plus ou moins rapprochée d'une autre tangente horizontale supérieure. Une remarque analogue s'applique à la figure instable.

Mais si le point de contact de la courbe avec d est un point d'in* flexion, il correspondra à une figure d'équilibre de la machine qui ne sera ni absolument slable ni absolument instable, et qui, néanmoins, participera de l'une et de l'autre de ces propriétés. En effet, comme alors une branche courbe se trouve inférieure à la tangente rf, et l'autre supérieure, il s'ensuit que, si l'on dérange le système de manière à élever le centre de gravité, il reprendra ou du moins il tendra à reprendre la figure primitive; et si, par suite du dérangement, le centre s'abaisse, le système s'écartera de plus en plus et jusqu'à une nouvelle tangente horizontale, car les forces agiront alors dans le sens même du dérangement produit. Une telle figure d'équilibre d'une machine, qui répond à un point d'inflexion à tangente horizontale dans la courbe décrite par le centre de gravité des poids équivalents, est ce qu'on peut nommer une figure d'équilibre ambiguë ou douteuse. Lorsqu'une machine, dans son état dynamique, passe par une figure douteuse, la force vive, dont l'accroissement instantané est nul alors, ne sera cependant ni un maximum ni un minimum. En effet, dans le

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cas où le mouvement du centre de gravité est ascendant, la force vive diminue pendant que ce point mobile s'élève vers le point d'inflexion ; pendant l'instant où il décrit I élément de d ^ la force vive reste stationnaire, pour diminuer ensuite par degrés insensibles pendant que le centre s'élève sur la courbe au-dessus de r/, et jusqu'à atteindre une nouvelle tangente horizontale. Il est aisé de suivre pas à pas les diverses faces par lesquelles passe alternativement la force vive totale de la machine dont la valeur maximum absolue a évidemment lieu pour là position la plus profonde, et la valeur minimum absolue pour la position la plus élevée du centre de gravité des poids équivalents.

Nous conclurons de là, et conformément à la remarque présentée par M. Lejeune-Dirichleî, qu'il est inexact de dire, avec les auteurs de mécanique rationnelle, que les figures d'équilibre d'un systèui^ soient exclusivement et alternativement stables et instables, attendu qu'elles peuvent être séparées par une et même par plusieurs //gw/r^ douteuses^ dont nous venons de constater l'existence.

Mais nous ne croyons pas qu'il soit permis d'alléguer ici , avec l'au tetu' cité, l'exemple du pendule comme rentrant dans ces cas rares. En effet, le pendule nous offre un exemple tout spécial du mouvement oscillatoire autour de sa figure d'équilibre; et, pour de tels cas, les auteurs n'ont sans doute jamais entendu affirmer que là le système passe alternativement par sa figure stable et instable. Mais si l'on imagine au pendule une force vive initiale suffisante, il aura son mouvement révolutif complet; et comme le centre de gravité des forces qui le sollicitent, ou des poids de ses parties ici, décrit alors une circonférence de cercle, c'est-à-dire une courbe fermée qui n'admet que deux tangentes horizontales et aucun point d'inflexion , il s'ensuit que, la chose étant convenablement envisagée, le pendule nous offre, au contraire, un des exemples les plus simples dans lesquels la figure d'équilibre douteuse n'existe pas.

Remarque V. Disons brièvement ce que nous nommons, pour abréger le langage, un poids équivalent à une force donnée qui agit d'après un mode connu sur une machine : tangentiellement à la ligne d'action de la force on peut placer une poulie de renvoi, faire passer suivant cette ligne même un cordon parfaitement flexible et inexten-

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sible d'une longueur définie, et enfin suspendre à son extrémité un poids capable d'exercer le long du cordon et sur la machine un effort égal à la force ; c'est son poids équivalent. Or, si pour chaque figure de la machine on dispose toujours les poulies de la même manière par rapport aux points d'application des forces , et que l'on emploie constamment les mêmes longueurs de cordon , l'ensemble des poids équivalents aura un centre de gravité, et les positions de ce centre seront sur une même courbe continue, si toutefois les forces données sont elles-mêmes constantes ou qu'elles ne varient que par degrés insensibles dans leurs intensités et dans leurs lignes de direction.

Hematyue VI. La question de la détermination des figures et des positions d'équilibre n'est ni sans difficulté ni sans importance dans la mécanique rationnelle , et surtout dans la mécanique appliquée. En effet, dès que l'on connaît la figure stable et instable qui succède, on en déduit immédiatement l'équation de condition qui fait connaître le poids et la masse du volant destiné à régulariser le mouvement général à un degré donné. Navier et M. Poncelet ont les premiers fait connaître cette méthode par quelques beaux exemples ; mais nous ne sachions pas que l'on ait encore traité la question suivante que nous n'avons réussi à résoudre que d'une manière peu approchée, et dont voici l'énoncé : On sait que la machine à vapeur fixe de Watt a à peu près des dimensions constantes bien connues; on demande de déterminer, eu égard à ces proportions, les diverses figures d'équilibre de la machine, en négligeant ou en tenant compte du poids du balancier et de sa masse, et en laissant du même côté les résistances passives. Ces figures étant trouvées d'une manière au moins très-approchée, calculer le poids ou la masse du volant destiné à régulariser le mouvement à un degré donné. Nous devons faire remarquer que les procédés graphiques indiqués par yi. Poncelet dans son Cours de machines de Metz, et qui sont fondés sur un beau théorème de MM. Chasles et Bobillier, résolvent aussi la question d'une manière approchée. On |)ourrait se proposer aussi de déterminer les positions d'équilibre d'une ellipse homogène pesante, qui serait placée entre deux plans inclinés, se coupant suivant une droite horizontale»

Bruxelles, ii janfier 1S48.

PURES ET APPLIQUÉES. 23r

SUR UN CAS REMARQUABLE DE TAUTOCHRONISME ; Par m. J. BERTRAND.

Tous les géomètres connaissent ta double propriété dont jouit la cycloïde d'être tantochrone soit dans le cas du mouvement d^un point matériel pesant, soit encore lorsqu'on suppose une résistance proportionnelle à la vitesse. Dans le tome IV, page 1 76 des Mémoires présentés à l'Jcadémie des Sciences par des Savants étrangers, on trouve un Mémoire de M. Necker dans lequel est indiqué un troisième cas de tautochronisme de la cycloïde, dans Thypothèse d'une résistance proportionnelle au frottement, ou , en d'autres termes, à la pression que supporte la courbe. Dans ce cas seulement, le point auquel les mobiles pesants parviennent tous dans le même temps n'est pas \e point le plus bas de la courbe, mais le plus élevé de ceux où un point matériel posé sans vitesse pourrait rester en équilibre. Ce théorème très- remarquable étant resté à peu près ignoré , et le Mémoire dans lequel il se trouve consigné renfermant d'ailleurs quelques inexactitudes, il ne sera pas inutile d'en donner ici une démonstration nouvelle.

D'après une formule de Lagrange , dont j'ai récemment donné la démonstration dans ce Journal, il y aura tautochronisme dans un mouvement quelconque, si la force s'exprime au moyen de la vitesse 9 et de l'arc p qui reste à parcourir par la formule suivante *

-K^-idn.

u étant une fonction quelconque et Ç une fonction quelconque aussi de la seule variable p. J'ajouterai (ce que je n'ai pas dit dans l'article où cette formule est démontrée) qu'il faut nécessairement supposer que , pour p = o et p = o, on trouve F^= o.

f*] (Jne faute d'impression t^est glistée dant la Note où cette formule est démontrée (tome Xll de ce Journal, page 126). Ob doit trouTcr

résultat qui coïncide (& la notation prà») avec U formule que nous employons ici, si Pon change le signe de la fonction arbitraire or et si Ton remarque, on outre, que, dans la formule de Lagrange, les forces positives sont supposées tendre à diminuer la valeur de u, tandis que, dans no» calculs, Thypothèse contraire a été faite implicitement.

23a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Or, en supposant qu'un point matériel pesant descende sur la cydotde en éprouvant une résistance proportionnelle au frottement, la force qui le sollicite a , comme il est facile de le voir, une composante tangentielie représentée par la formule

a désignant le rayon du cercle générateur, /le coefficient de frottement et a la distance de l'origine des arcs au point le plus bas de la cycloïde. Or je dis qu'on peut déterminer les fonctions arbitraires ct et Ç de manière à faire coïncider les formules (i) et (2). Posons , en effet ,

on trouv e

i dp 4«Ç y'iôa»— (p-H«)=

et la formule ( i ) devient

ce qui coïncide avec la formule (i) si on suppose

La quantité a, qui jusqu'ici reste arbitraire, se déterminera par la condition qu'un mobile placé sans vitesse au point d'arrivée y reste en équilibre, ce qui exige que la tangente de la courbe ait une inclinaison sur l'horizon précisément égale à Tangle de frottement.

D*après une remarque faite par Lagrange et qui s'applique à tous les cas où l'on peut employer sa formule , le tautochronisme subsisterait encore si la force qui produit le mouvement était augmentée d'un terme proportionnel à la vitesse.

La cycloïde est donc tautochrone pour le cas d'un point matériel pesant qui éprouve une résistance proportionnelle à la vitesse et un frottement proportionnel à la pression exercée sur la courbe.

Il est digne de remarque que la formule de Lagrange, quoique n'ayant pas, à beaucoup près, le degré de généralité qu'on lui supposait, s'applique néanmoins à tous les cas connus de tautochronisme.

a34 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Lorsqu'on remonte au premier âge de la civilisation, il faut se rappeler l'origine dés choses dont souvent on dédaigne de s'occuper, à cause de leur extrême simplicité. Pour compter 17 sur les doigts de la main , on est obligé de fixer son attention sur le nombre de fois qu'on a passé la main entière. D après le système de Protée, c'est-à-dire d'après le système quinaire, on aura ^ unités plus 3 fois 5; si le nombre est phis grand, on pourra plier un doigt de la main droite chaque fois qu'on aura passé tous les doigts de la main gauche. On comptera de cette manière. sur une main les groupes de 5 ou de 10 quand l'autre main indiquera les unités.

On a vu des voyageurs soutenir que beaucoup de peuples ne comptaient pas au delà de 5 ou de ao, parce que chez ces peuples, pour compter, on rassemblait des petites pierres et des grains de blé en monceaux de 5 on de 20; pourquoi ne pas soutenir que les nations de l'Europe moderne les plus avancées dans les sciences ne comptent pas au delà de 10? Pour 17, par exemple, ne disent-elles pas 10 et 7 ou 7 et 10?

Dans tous les temps , sur tous les points du globe terrestre , on a senti que les groupes d'unités assurent des pauses, des repos, pour compter. Les peuples les plus différents , en raison de la membrure identique de chaque individu de la grande famiUe humaine (4 extrémités 5 fois divisées), s'arrêtent soit à une main, soit aux deux, ou bien encore aux mains et aux pieds. D'après cette variété de points d'arrêt, se forment les groupes de 5, 10, i5 et ao.

Dans l'ancien continent on trouve plus généralement le groupe fondamental de 10; dans le nouveau continent celui de ao unités: cependant, chose singulière! les Mexicains comptaient d'après une méthode très-régulière par groupe de îo, tandis qu'ils écrivaient par vingtaines et par les puissances de %o [*]. Chez les Guaranis^ les groupes nor-

[*] Chez les Mexicains, les hiéroglyphes simples étaient pour le premier groupe 20, un drapeau; pour le carré de 20 ou 4oo, une plume remplie de grains d*or, lesquels servaient comme monnaie dans certaines provinces du Afexique ; pour le cube de 20 ou 8000, un petit sac, xiquipilUy avec 8000 fèves de cacao pareillement destinées au trafic par échange.

PURES ET APPLIQUÉES. a35

maux 5 , lo, 20 sont appelés une main y deux mains ^ mains et pieds. Dans la langue des VarouroSy peuplade riveraine de Vjépoure, 4o s'exprime par noeni poume {âtux hommes), de noeni deux et poume hommes ; er , en effet , les doigts des pieds et des mains , des quatre extrémités, étant comptés, l'homme tout entier apparaît comme un symbole de ao.

En persan, le poing fermé se dit peiitchay de pend cinq, provenant du mot sanscrit pancha. Ce dernier terme, d'après l'ingénieuse remarque de M. Bopp [*], a engendré le quinque romain. Ainsi, le mot français cinq, l'italien, l'espagnol cinco, etc., dérivés du mot latin, remontent à une source étymologique qui prouve l'usage de l'instrument arithmétique naturel, de la main. A Jawi^ où l'influence de rinde a dominé, on dit dans le langage de cour chaiour et poncho pour 4 et 5. Dans le javanais vulgaire de même que dans le malais, le bouggui, le tagala, le bisaya, et dans presque tous les idiomes du monde maritime, le mot Lima signifie cinq, et chez la plupart de ces peuples il signifie encore main.

Dans la langue des anciens Goths, 70 se dit sibun-téhundj 80 ahtaùtèhund, 90 niun-têhund, 100 taihan-téhund , 200 tva-hunda, etc. La ressemblance du mot hund avec le mot hand main est frappante. 7Vahunda signifiant 200 devait avoir une autre finale que le mot goth adopté pour 100, comme en latin centum y du centi. Dans taihun ou têhund on pourrait reconnaître tvai-hund, deux mains, allemand zwei hand, anglais two hands, hollandais twee handen: de là sibuntèhund, 70 ou 7 fois 2 mains; ahtan-téhund, 80 ou 8 fois a mains,..., tai-hun téhund (10 x 10 = 100 = 2 mains fois a mains).

Le système quinaire fut en vigueur chez beaucoup de peuples. A Rome, on employa le système quinaire : les nombres écrits IV, V, VI , VII, VIII ne le prouvent-ils pas suffisamment? Ne sait-on pas encore

[*] Le c/i sanscrit prononcé comme en anglais, c'est-à-dire tch, devient Je r grec ; de Ikpanta pour panc/ia, de \k pente, VéaUea pempé et le verbe pempadzeïn. En latin, au contraire, gu répond an sanscrit ch ou pltitÔt tch, d'où quinque et quatuor pour panera et c^atour.

a36 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

que dans 1' Abacus romain, à côté de chaque cordon représentant les groupes 7i, /i^, n*^.,,, il existait un cordon plus petit dont une boule valait 5 de celles de son annexe? Les Aztèques admettaient 5 âges du monde et ils avaient une semaine composée de 5 jours. Les Scandinaves aussi avaient une semaine de 5 jours et divisaient, comme les Perses, le jour en 5 parties. En zend, les* traces du système quinaire uont été découvertes par Anquetil-Duperron.

En ouolof , les mots benne, niare, niatte^ nianelte, dhiouroun signifient ly 2, 3, 4? S; puiî* l^s mots dhiouroun benne, dhiouroun niare, dhiouroun niatte, etc. (5 et i, 5 et a, 5 et 3, etc.) signifient 6, 7, 8, etc. En Afrique encore, dans la langue fouiah ou fellah, les nombres de 6 à 9 se forment par l'addition des quatre premiers avec 5 : gui-e-gom (5 et i); gui-e-didi (5 et aj, gui-e-tati (5 et 3); gui-e-nai (5 et 4)- I^e cette combinaison, qui existe chez beaucoup de peuples africains, on n'aperçoit que de faibles vestiges dans les dialectes de l'archipel Indien; toutefois M. Gustave d'Eichthal a remarqué que la série des nombres foulahs offrait des affinités nombreuses et certaines avec la série polynésienne, si'rie décimale qu'on trouve en usage depuis le Japon jusqu'à Madagascar.

M. Duponceau , le savant franco-américain , a observé que dans la plupart des langues de l'Amérique septentrionale, le mot six est formé du mot un auquel on ajoute une désinence et quelquefois une syllabe préfixe; le mot sept est formé du mot deuao qui est son excès sur cinq , mais ce n'est pas toujours de leur propre langue que les Indiens du nouveau continent empruntent le mot deux dont ils forment le mot sept. Le nombre trois est incorporé dans le mot qui signifie huit, et dans quelques dialectes seulement on rencontre quatre dans le nombre neuf; le plus généralement c'est un.

Dans la lamgue chibcha des Muyscas (habitants du plateau de Candinamarta qui avaient, comme les Japonais et les Thibétains , un chef spirituel et un chef temporel), 11, ta, i3 se disent: pied-un, pieddeux, pied-trois, quihieha ita, quihieha bosa, huihieha mica, de quihieha (pied) et des trois premiers nombres ita, bozha ou bosa, et mica. Le mot numéral pied signifie dix, parce qu'on nomme le pied

quand déjà les deux mains sont comptées. Vingt s'appelle, dans le système de langage des Muyscas, pied-dix ou maisonnette (gue'ta), peut-être, dit M. Alex, de Humboldt, parce qu'on comptait avec des grains de maïs au lieu de petites pierres, et un petit monceau de mais, ajoute-t-il, rappelle le magasin, la grange au maïs[*]. Du mot gue ta ou vingt dérivent 3o, 4o, 80, qui se dénomment vingt et dix [**], deux vingt, quatre vingt, absolument comme les expressions celtiques passées dans les langues romanes, quatre vingt, six vingt, sept vingt, huit vingt, quinze vingt. Deux et trois vingt ne se trouvent pas en français; mais dans les dialectes galliques ou celtiques de la Bretagne occidentale, l'on dit ugent vingt, daou ugent deux vingt ou 4o, tri'iigent trois vingt ou 60, et même deh ha nao ugent pour rgo ou dix au-dessus de neuf vingt. Ce groupe fondamental de 20 unités se retrouve encore dans d'autres parties de l'ancien monde, par exemple chez les Basques, chez les peuples du Caucase et chez les Mindingues.

Dans le Sougn Siddh'antay l'un des plus fameux ouvrages astronomiques des Hindous, on lit ce passage traduit littéralement par l'illustre Colebrooke ; « Le cercle des constellations se meut vers l'orient » trente vingt en un youga, etc.... » De ce simple fragment du Souga Siddh'antay nous tirons cette conséquence, que pour ^00 les Hindous (lisaient encore trente vingts absolument comme dans les langues celtiques on disait quinze vingt pour 3oo. Oserai-je, comme induction,

[*] Il me semble qu'un monceau de petites pierres fait naître assez nettement l'idée de maisonnette sans qu'il soit besoin d'attribuer ce nom numéral à Tusage des grains de maïs. D'ailleurs les Indiens, en employant les grains de maïs pour leurs calculs, n'en faisaient point de petits las, mais bien des quippos ou quippo-camagos; et Acosta, dans son Historia natural de las Indias, liv. vi , chap. 2, nous apprend avec quelle habileté ils s'en servaient. « Ils se mettent plutôt à la raison par ces quippos » sur ce que chacun doit payer dans la répartition des impôts, que nous ne pourrions » faire , nous, avec la plume. Par cela on peut juger s'ifs ont de Tentendement et si ces » hommes sont bétes. Quant à moi, je tiens pour certain qu'ils nous surpassent dans » les choses où ils s'appliquent. »

[**] Dans le pays de Galles : deg or ugain, dix et vingt.

avancer que dans l'Inde on a connu le système vigénaire et rapprocher encore par ce trait de ressemblasoe des langues qui ont d'ailleurs tant d'affinité, les langues celtiqueis et le sanscrit. 11 est un préj^é généralement répandu, c'est que, dans l'Inde, on trouve seulement des chiffres et non des lettres employées comme chiffres. Bien plus : il en est qui pensent que le système exclusif, unique, de l'Inde est le système avec valeur déposition de dix chiffres parmi lesquels le zéro. Oui, nous aussi, malgré les travaux du savant géomètre M. Chasles, qui tendent à prouver le contraire , nous croyons devoir attribuer aux Hindous et non pas aux Grecs ou aux Romains le système de numération éx^r'iie que nous ont transmis les Arabes; mais, avec M. Alex, de Humboldt, nous reconnaissons dans l'Inde les traces de beaucoup de syst^i,ne^ de numér^^tion différents, avec ou sans valeur de position, avec des chiffres ou des lettres, etc. [*].

Ces divers systèmes ont-ils été contemporains, ou bien ont-ils paru à des époques différentes; n'ont-ils point été les produits de contrées distinctes, bien que rassemblées sous une même désignation? Au mot Indien y en effet, reste toujours attaché un certain vague; la dénomination d'Indien e^t attribuée non à un peuple isolé, compacte, indivisible, mais à unç foule de peuples qui n'ont d'autre lien que celui de la juxtaposition. Je serais presque tenté de dire que dans l'Inde, cette

[*] Chez les Grecs et chez les Romains aussi, il y eut différents systèmes de numération. Archimède et Apollonius simplifièrent les systèmes de numération des Grecs, et l'exemple que cite Cumberland dans son Traité des Poids et Mesures de l'Ecriture, prouve assez Tabsence de toute idée de valeur de position : « Herodian informs us the »> Greeks an€ieiit!y wrote 34, putting three delta for 3o, be cause each A stood for déca n or ten, bieng the first letter of that word and each I for single units. » Ainsi 34 aurait été écrit anciennement par tes Grecs ÀAAIIIT. Chez les anciens Grecs et Romains, on ne prouve , q«e je sache , aucun caractère analogue à notre zéro et en Cai$9nt fonction. Aussi chez eux le germe de la méthode hindoue ne put être transplanté du domaine de Tafithmètique palpable dans le domaine de Tarithmétique graphique. Les Hindous ont possédé le zéro , comme chacun sait, et notre mot chiffre lui-même, bien improprement choisi, témoigne de cette vérité. Le mot arabe sifr signifie vide et n'est que la traduction du zéro sanscrit, sounga (vide). Le nom sipher s'est maintenu dans la langue anglaise pour marquer le zéro, et c'était là sa signification.

PURES ET APPLIQUÉES. ^ic)

terre minière des sciences, il y a eu place pour tous l^s systèmes de numération , comme M. Cousin Ta dit ponr tous les systèmes de philosophie.

Le système décimal dans la numération parlée a été employé dans tous les temps et chez presque tous les peuples de la terre , les Coptes, les Juifs, les Grecs, les Romains, les Indiens, les Chinois, les Japonais, tes Arabes, les Golhs^ les Polynésiens, etc. Maiwcm, qne Von suppose avoir fleuri dans le ix® siècle avant Jésus*Chris*, se scirt seulement de la division décimale quand il traite de l'admiiii»iratioi> civile. Dans une traditioi^ très-ancienne, rapportée par Soyoutî sur la foi de Tabrifii, les Arabes, bien longteuips avant Mohammed et l'islamisme, avaient une formule consacrée paa? Tubage pour expvimoi: uoe cli>eu^ tèle nombreuse; ils- disaient : « Je suis père de dixy frère de dix, oncle » de dix, » ce qui signifiait : Mes nombreux amis m'environnent comme d'une armée. Chez les Chinois, le mot ouan (dix mille) est pris dans un sens indéterminé pour multitude, foule, grand nombre. Francis Davis traduit ce mot par mang. D'après M. de Paravey, la forme antique chinoise ouan est le nom de la reine abeille et du pavot, et, par suite aussi du nombre suprême dijc mille ^ la niche étant censée contenir dix mille abeilles, et le pavot dix mille grains. Nous ajouterons comme rapprochement curieux que dans son Arénaire , Archimède trouva, d'après des mesures comparées, qu'im grain de pavot a un diamètre moindre que —j de doigt ou o™, 000468, et que ce même grain de pavot équivaut à 10000 grains de sable. Le grain de sable étant pris pour unité, le grain de pavot serait égal à 10000.

Quant aux Hindous, il y a chez eux un luxe de noms de nombres sans exemple dans toute autre langue ancienne ou moderne, luxe qui implique une habitude excessive de la classification décimale des nombres. Pour n'en citer qu'une preuve, le nom de adant-singhar est celui du plus petit nombre de 4o chiffres ou de l'unité suivie de 39 zéros.

Il est un fait remarquable que nous ne pouvons passer sous silence. Deux mots malais bias et pouloh se traduisent par dix. Voici ce qui les distingue : bias ne s'emploie que depuis 1 1 jusqu'à 19 inclusive-

a4o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

ment. En dehors de ces limites, c'est toujours pouloh qui figure :

Sa-blas, doua-blas, tiga>blas, , sambilan-blas ,

i-hio=ii, 24-10=12, 3 4- 10 = i3, . ... , 94- 10=: 19,

Sa- pouloh , doua-pouloh , tiga-pouloh , , sambilan-pouloh ,

Un dix ou 10, deux dix ou 20, trois dix ou 3o, . . . , neuf dix ou 90.

Ainsi les neuf premiers nombres placés devant bias (10) sont additifs; ils deviennent multiplicatifs ou coefficients devant pouloh.

Chez les Goths, le fait est analogue; ainsi pour exprimer 11, la,... dans leur langue, on dit ain-lif, tva-lif,.... L'incorporation des mots un et deux dans ces noms de nombres est évidente. Zj/ remplace le mot malais bias; la signification propre de ces deux mots est également inconnue: slu pouloh malais correspondent </g«5 jusqu'à 5 dix ou 5o, et téhund (deux mains?) pour le reste.

PURES ET APPLIQUÉES. 'i4i

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24a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

elles, leurs résultantes se feront encore équilibre. Or les deux forces Prft/ et Prfo* donnent une résultante égale à leur diflFérence P {dcf — ^/a), que nous pouvons supposer appliquée à Télément do et dirigée suivant la normale. Nous faisons la même chose pour tous les éléments correspondants des deux surfaces ; et les forces P (rf</ — dti) , appliquées à la première, se feront équilibre.

Or il résulte d'une formule démontrée par M. Bertrand, dans un Mémoire sur les surfaces isothermes orthogonales, que la différence dcf -— dfj des deux éléments correspondants peut se mettre sous la

forme dads \X -h i V La démonstration de cette formule y est présentée à peu près dans les termes suivants :

Quelque petit que soit l'élément d<j^ nous pouvons toujours le concevoir décomposé en une infinité de rectangles infiniment petits par rapport à lui-même. Supposons ces rectangles déterminés par les lignes de courbure; les deux surfaces ayant les mêmes normales, les lignes de courbure se correspondent, et à chaque rectangle ABCD, formé par quatre lignes de courbure sur la première sur&ce, correspondra un rectangle A'B'C'iy sur la seconde. Posons

AB = a, AC=j3,

A'B' = a + e/a, A'C = /3 -h rfjS.

Les droites A'A, B'B sont normales à la première surface, et vont se rencontrer en un point O à une distance R du point A et R + ^^ du point A^ Nous aurons donc, dans le triangle A'B'O,

a-f-rfa :a :; RH-ciy ; R,

donc

et , de même ,

, tnds

rf^ = e.

et, par suite, le rectangle A'B^Ciy sera

PURES ET APPLIQUÉES. a43

a44 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

D'après le théorème précédent, les forces appliquées à la première surface se font équilibre, et, en faisant attention que R-hds et r -h ds sont les rayons principaux de la seconde surface, nous voyons qu'il en est de même des forces appliquées à cette dernière. Si nous composons ces forces entre elles, leurs résultantes se feront encore équilibre: or

les deux forces Vda (4 + --) et Pcfa' ( ' . -h t-tt^) ' composées entre elles , donnent une résultante égale à leur différence

en remplaçant da' par sa valeur

dd -h dtrds (4 + ^) ^ cette différence devient

p,/cr (^^ + ' 5 - -) -H Prf^ ds (4 + -] (— ^ -4- — ^) .

XK-^ds r-^ds R rj \R r j \Si'\- ds r-^dsj

Réduisant et négligeant les quantités infiniment petites du quatrième ordre , l'expression de cette force deviendra

iiVdads^-'

Cette force a fdads — peut être considérée comme appliquée à l'élément d7 de la première surface. Nous pouvons faire la même chose pour tous les éléments correspondants des deux surfaces. Ainsi donc

les forces ^Vd^ds^r^ appliquées à tous les éléments de la première

surface , se font équilibre , et ces forces sont proportionnelles à ^ : le théorème énoncé se trouve donc démontré.