DÉMONSTRATION

D*un théorème de M. Boole concernant des intégrales multiples;

Par m. a. CAYLEY.

Thiéorèhe. a Soient P, Q des fonctions de n variables a:, j,...; » lesquelles fonctions satisfassent à la condition

nni

» où, comme à l'ordinaire, i = V— i ; G(i^, w), H{i;, w) sont des » fonctions homogènes de p, tv des ordres i et n respectivement (on » verra, dans la suite, qu'il y a plusieurs fonctions P, Q qui satisfont ^ à une équation de cette forme).

» Cela étant, posons

w V=/.,..irrf^...^.

9 les limites de l'intégration étant données par la condition P == i ; » et soient

(3) G(i,i)=cr, H(i,i) = .->.

» On aura pour l'intégrale Y cette formule,

9 dans laquelle

Ce théorème remarquable est dû à M. Boole ^ qui me Ta communiqué sous une forme un peu différente [*] en me priant d'y suppléer la démonstration et d'en faire part aux géomètres; il ne m'a fallu, pour le prouver, que modifier un peu le procédé dont s'est servi M. Boole même, dans son Mémoire : « Researches in the integral calculus, » Irish lyansactions^ tome XXI.

Je vais donc reproduire cette démonstration en l'appliquant au problème dont il s'agit.

On démontre par une analyse semblable à peu près à celle par laquelle se démontre le théorème de Fourier, que l'expression

(6) J . da du dwe^ -" ... w>-^~«/a

/P se réduit (en n'y faisant attention qu'à la partie réelle) à ——j — ou à

zéro , selon que la quantité P se trouve ou ne se trouve pas comprise entre les limites o, i. Donc, en substituant cette intégrale triple dans l'expression de Y, on peut étendre depuis — qo jusqu'à oo les intégrations par rapport aux variables jp,^,.... De cette manière, et en réduisant par l'équation (i), on obtient tout de suite

w; T{\n-hq) Jo Jo Jo V^HÔV^ ^

Donc , en écrivant

p j pds w = -9 dw = r

[ce qui donne , par les éqitations (3) ,

G(i;, w) = w, H (y, iv) =i= i^^-^ç].

[*] M. Boole écrit

expression à la vérité plus simple , mais qui donne lieu , ce me semble , à quelques difficultés .

PURES LT APPUQUÉES. a47

les limites par rapport à la nouvelle variable s seront «o , o , et l'on obtiendra, en changeant l'ordre des intégrations,

(8) ^=r-â^^)I ^^-^' dans laquelle expression

(9) S = -e4^'r rfa r* rfpi^^e(«-')»''/à;

et il ne s'agit plus que de faire voir l'identité de cette valeur avec celle qui est donnée par Téquation (5). Pour cela, je remarque que l'on aura

!r* di^v'i e(«-«)«'» = r(jf -*- i) eH7H-0w (a — (7)-^-« Jo ou r(9-hi)e-i(^H-0iti(^a)-^~S

selon que (a — a) est positif ou négatif; les valeurs correspondantes de - Cî^"' / rfi;(^ e(« -»)•"■ sont

(11) ie(^-*-i)''*r(9-*-i)(a-a)-^-' et ^e-*^'T(ç-hi)(a-a)-^-*;

or, en ne faisant attention qu'aux parties réelles, et en réduisant par une propriété connue des fonctions F, ces valeurs se réduisent à

' . (a — a)"^""' et zéro respectivement; d'après cela, l'équation (9)

se réduit à

et enfin , en écrivant

a = ^4- /(i — 7)y da = (i — a)di5,

on obtient pour S la valeur donnée par l'équation (5), de manière que la formule dont il s'agit se trouve complètement démontrée.

Il parait difficile de trouver les formes générales de P, Q [rien n'étant, je crois , connu sur la solution des équations telles que l'équa-

tion (i)]; mais des formes particulières se présentent assez facilement. Ainsi, en ne considérant que les exemples que m'a donnés M. Boole (lesquels j'ai depuis vérifiés), soit

(i3) P = !i(te-i- mj-h...,), Q = u*-h j:'-f-j* H-....

En substituant ces valeurs dans l'équation (i) , les intégrations s effectuent sans difficulté et sous la forme nécessaire, et l'on obtient

G (i^, w) = WV^ — ' ^—-> H (P , w) = iV^,

OU enfin

Soit encore (ce qui comprend comme cas particulier le problème des attractions)

(i5) P = f.; + ^+..., Q=„.4-(a-x)*+(é-jr+...;

on obtient sans plus de difficulté

Soit encore , pour dernier exemple ,

on aura , pour ce cas-ci ,

ç = (/«jH-X»)(L*^ + A»)...,

ff= i [y» + a V('»i + X»)(L»« + A») +...].

Les formules qui se rapportent à cet exemple aussi bien qu'au premier sont, je crois, entièrement nouvelles.

PURES ET APPIJQUÉES.