Tome XllI. — Skftbmdrs 1848 4o

3i4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

par conséquent , si l'on écrit

Jr&^it'

-———^ \i-j\ (cT-SA-eCosafi-cosa^») +sin»2Ç) j,

on aura l'équation polaire du lieu des pieds des perpendiculaires abaissées de l'origine sur les droites cherchées.

Le facteur entre accolades peut être mis sous la forme

— Ski sin^ i'i (gj- SA:,- cos* i'i — M cos* y H- gj- SA,- cos* i/,- (^ Ski sin* p, — i j sin* <f , de sorte qu'il vient finalement

S^,cos*i'|.SX,sin'p,

[Ski sin* i^i /g-j- S^, cos^ ^i — i ) cos* y 1 H- SAv cos* i', (^ SA:, sin* t', — i ) sin* (p 1

On reconnaît dans cette éqiiation le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées de l'origine sur les tangentes à l'ellipse dont les axes principaux coïncident en direction avec ceux des coordonnées, et ont pour longueurs, dans le sens des x et des j^,

/s^,,.(-|-SA.cos..-.) ^ S^.r/(^S^..,.n»..-r) V S*,cos'i'/ ' V S^isin'p,

Tous les triangles ou systèmes de trois droites qui satisfont à la question peuvent donc être considérés comme tangents à cette ellipse.

Les pieds des perpendiculaires 9^^ d^t ^s ont pour centre de gravité ou de figure celui de cette courbe ; c'est une conséquence des équations

$^ cos ç), -i- ôjicos fa -h Ôg cos Çg = o ,

9, sin f I -h 9j sin Çj 4- S^ sin f s s? o.

2o. On peut satisfaire à la relation

^,0P.4-^7QP,-h...-hif«0P, OP^,H-OP^,

3i6 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Supposons qu'elle le soit, nous aurons deux droites se coupant à angle droit , et en appelant A leur point d'intersection » la somme

OFj -h OP'a sera égal à OA , et nous pourrons écrire

on a, comme ci- dessus,

e, = o, 62=0 et C==y/^S*,-^.^

L'angle f^ demeure arbitraire. Dans ce cas, la question a changé de nature; à la recherche de deux droites, on substitue celle d'un certain point A.

Si les droites L^^ L,,.*-» L^ sont les côtés d'un polygone régulier, et que les coefficients ki soient égaux à l'unité , on a

- Scos*«^, = - Ssin» ifi=i et C* = R%

R étant le rayon du cercle inscrit; ce cas forme l'objet de la proposition V.

Dans la proposition YIII, Stewart a considéré un demi-polygone régulier. Alors on a , comme ci-dessus ,

— S COS* (;,==— S sin* f', == i ;

lit Fft

les droites L'^ , L, sont perpendiculaires entre elles , et la même propriété a encore lieii. Si l'on calcule la distance p dix point A au centre du cercle inscrit, on trouve qu'elle est égale à une quatrième proportionnelle au périmètre du demi-polygone , à sa base (entre deux sommets opposés) et au diamètre du cercle; il s'ensuit 6nalement

^ (ÔP; + ÔpI +...+ OpI) = i (oXV iR* - p*) .

26. Quand on a /i = 3, hypothèse qui répond aux propositions XXIV et XXV , il faut d'abord résoudre les équations

PURES ET APPLIQUÉES. 3r;

cos' fi -h COS* Ç, -I- COS* 98 H- COS* Ç4 = ^ s*, cos* i^/,

cos*flp4 sin (Pi -+- COS* (Pa sin cp, -h cos* q?, sin q),»

3f8 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

d'où Ton tire

sin 9, = d: I , sin 92 = ±1 y^H- 7, sin (p^ = ±, y/i-h q.

Or, avec quelque combinaison de signes que l'on substitue ces valeurs des sinus dans les relations

sin 9, 4- sin 9^ + sin 93 = o, sin^ 9, 4- sin* 93 -h sin' 93 = o,

les résultats qu'on obtient sont contradictoires; donc il n'est pas permis de regarder l'un des angles inconnus comme arbitraire. En d'autres termes, les quatre équations ci-dessus suffisent généralement pour déterminer ces angles.

Les longueurs d^ d,, d,, 64 dépendant des six équations

0i cos* 9, -h 0a cos* 9a 4- 6, COS* 9, 4- Ô4 COS* 94 = ^^- SAt, ti cos* i//, ô, COS 9, sin 9i 4- 0a cos 9, sin 9a 4- 0^ cos 9, sin 93