Soit d'abord n = i . Les équations à résoudre sont
cos 94 -f- cos 9a = ^7" Ski sin i^, , sin 94 -+- sin 9, = — SA:,- sin i^,,
On peut toujours disposer de la direction de l'axe des x, de manière que l'on ait
SA:, cos i^, = o;
car si cette condition n'est pas remplie , appelons 9 l'angle que le nouvel axe des x doit faire avec l'axe des Xj et posons
SA:, cos (i^, — 9) = o ; il vient
cos 9 SAî, cos i^,- -♦- sin 9 S>f,- sin i^, = o ,
d'où l'on tire
S Ai cos c, *
On a donc , au moyen de ce changement de direction des axes ,
cos 9a = — cos 9i , et, par conséquent, deux solutions
9a = 71 — 94 et 92 = 71-1-94.
La première donne
sin 94 = ^ SA:, sin i^,.
Quant aux longueurs 64, 0a, elles ne sont soumises qu'à la condition de donner une somme constante ; c'est pourquoi elles sont indéterminées. On aperçoit sans peine que tous les systèmes de deux droites qui résolvent la question se coupent sur une parallèle à Taxe des x ,
à la distance ^, '. * de cet axe.
La seconde solution exige que l'on ait
SA, sin i^, = o,
PURES ET APPLIQUÉES. 3ii
ce qui n'a lieu que dans des cas particuliers. Alors les deux droites trouvées L'^ , L'^ sont parallèles entre elles, et leur direction est indéter-
3i2 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
c'est-à-dire en posant
X Ski cos' ifi -hjrSki cos «^, sin i^i = Ski ti cos p, , :cSÂ:,cosi^eSini^, -\-jrSkiSm^s>i = SÂr,^/sin i^,,
et les valeurs de x et de y^ tirées de ces deux équations, sont celles des coordonnées de la nouvelle origine. On aura donc, quand les axes y auront été transportés,
S*, ti cos Vi = o, Skiti sin Vi = o.
De plus, on peut les tourner dans leur plan d'une quantité angulaire i^, de manière que SXti- cos i^,- sin V/ devienne nul. Il suffit pour
cela d'écrire
Ski cos (Vi — i^) sin (c/, — (/) = o , ou
cos 2 (/ Ski cos Vi sin Vi = - sin 2 v (Ski cos' Ui — S/r, sin' Vi) ,
ce qui donne
28^, sin i>i cos Pi
^ S ^, cos' P£ — S ^, sin' P, '
de là deux valeurs de (^, différant entre elles de -^ c'est-à-dire deux
directions formant un angle droit: l'une étant prise pour axe des x, l'autre devient donc Taxe de§^. Cette recherche a la plus grande analogie avec celle de l'équation la plus simple d'une ligne du second ordre en coordonnées rectangulaires.
24. Je laisse de côté les cas particuliers où les coordonnées de l'origine deviennent infinies ou indéterminées. Les nouvelles équations, dans le cas le plus général, sont :
cos' ç, + cos' (p2 -f- cos' (p3 = gp Ski cos' i;,,
cos (p, sin (pi H- cos Ça sin 9^2 + cos y 3 sin y , = o ,
sin' (pt -4- sin' Ça + sin' y, = — Ski sin' p,,
9, cos fi -h 6a cos (pa + ^8 COS ^3 = 0, 6, sin y, -h 02 sin f^ ^- ^8 sin ç/, = o ,
6\ + dl-+-6l = ^Sktt?.
Des trois premières on tire
cos açi -f- cos aipa 4- cos ay, =r — Ski cos a t^, ,
sin 29, 4- sin a^j 4- sin açj = o;
puis, en faisant passer 9. dans le second membre, élevant au carré et ajoutant,
cos^ (9, — 9jJ = i 1^^— SAv cos ai;, — cos ay^ V 4- sin^ aç) J ,
d'où
sin* (93 - 9a) = I - ^ |^^ SA,. cos ai^, - cos 29, V 4- sin* 29^ |.
D'un autre côté, en décomposant
cos a 92 4- cos a 93 et sin a 9, 4- sin a 9, en produits de sinus et de cosinus, on trouve
tang (93 4- 9,) = —
— sinay.
T-T- SA, cos 2Vt — cos 2y,
On connaît donc 93 4- 92 et 9, — 9, quand 9, est donné; ce qui suffi t pour déterminer 9, et 92.
I^s trois équations en d,, 0a« Oz donnent, par un calcul facile,
d^ =2 — Sh t^ sin'(y3~yO ^ r
* SX-, ' ' sin'(y3 — ?.)4-sin»(<p, — <p,)4-sin*(«p, — y,)'
$1 = ~Skit^ - sin' (y. -y,}
$2 =: -L Ski t^ sin^(y» — y.)
' SX'. ' «n'(f3 — yi)4-sin'(y, — y,)4-sin=(y, — ^J*
Or sin* (92 — 9,) et sin* (9^ — 93) s'expriment en fonction des sinus et cosinus des angles a 9, et a 92, de même que sîn* (93 — 93) en fonction de sin a9, et cos a9< , et l'on a, toutes réductions faites,
sin* (93 - 92) 4- sin* (92 — 9,) 4- sin* (9, - 9,) = (s|-)' \^^i cos' «V . SA, sin* v^ ;
