Il est à remarquer que si l'on avait à la fois

S ki cos* i^,- = o , S A:,- cos* i^, sin p, = o, SA", cos Vi sin* Vi = o, SA*, sin* Vi = o,

la question se résoudrait complètement; car d'abord on aurait

cos* <p, 4- cos* (p2 -+■ cos* ç)3 -h cos* 94 = 0, cos* (pt sin yi -+- cos* (p^ sin (pa -h cos* (pa sin y, -h cos* 94 sin 94=0, cos (fi sin* Çi H- cos 92 sin* y^ -4- cosç , sin* y, -h cos Ç4 sin* ^4=0,

sin* Çi -i- sin* (p^ -I- sin* ç^ -h sin* 94 = 0,

et ces équations ne changeant pas , ainsi qu'on peut sien assurer sans peine lorsqu'on ajoute à chacun des angles inconnus un même angle choisi arbitrairement, il en résulte qu'on peut supposer d'abord 9* = o, et que les valeurs obtenues ainsi pour 9,, 92, Çj auront toute la généralité requise en leur ajoutant un angle arbitraire 94.

Cherchons actuellement à déterminer les coefficients de l'équation

cos' (p -h p cos* 9 -H 9 cos 9 H- r = o,

dont les racines sont cos 91, cos 92, cos 93; 94 étant nul: on trouve, par les fonctions symétriques, pzrziy q = r^ et cette équation se met sous la forme

(cos 9 H- i) (cos* 9 -+- 9) = o , d'où

cos9i = — I, 00692= -+. ^—. ç, cos9g = — V^9> sin9< = o, sin 9a = ±1 v''"*- 7> sin 93 = ±: \/i-f-y.

On reoonnait immédiatement que q demeure indéterminé^ et qu'il reste six équations entre $« , 629 ^s» ^49 ^«9 ^9 c'est-à-dire autant d'équations que d'inconnues. On vérifie d'ailleurs sans peine que ces équations se résolvent complètement et fournissent pour les incoufuies des valeurs détemninées.

28. Pour w = 4 , ce qui est le cas de la proposition XXXVIII et de la proposition XXXTII, les coefficients étant égaux à Tunité et m > 4? l'excès du nombre des équations sur celui des inconnues démontre clairement que les énoncés de Stewart ne se vérifient point; k plus

'i2o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

forte raison , il en est de même pour des valeurs supérieures de n , si ce n'est dans quelques cas particuliers, ceux, par exemple, où les droites données sont les côtés d'un polygone régulier circonscrit à un cercle de rayon R. Alors les sommes des puissances n des perpendi* culaires abaissées d'un point quelconque sur ces droites s'expriment d'une manière simple. Nommons f la longueur de la droite qui va du point O au centre du cercle, et 9 l'angle qu'elle fait avec la perpendiculaire OP, ; ceux qu'elle fait avec les perpendiculaires OP^, OP, ,...,

sont 9 -f- — » <p -h 2 — V : on a donc

ôp';+ôp;+...+ôp;„=s;i""'[r-pcos(ç+^)]'.

Développant et ayant égard à la relation rappelée dans le n° 8. il vient

Quand le point O est sur la circonférence du cercle inscrit dans le polygone, la somme ci-dessus se réduit à

y/lR^X - ^^(^^•"')(^^-^)-(^-^0 :=: ^ '-3. 5, 7. .,(2/1—1) ^,, 2* 1.2.3. ../Z I.2.3.4*--^

Stewart a démontré ces théorèmes pour n = 2 , dans la proposition y, comme il a été dit au n® 85, et les a seulement énoncés pour n = 3 dans les propositions XXII et XXIII j et pour /t = 4 dans les propositions XXVIII et XXIX; c'est seulement dans les propositions XXXIX et Xi 2 qu'il donne la formule ci-dessus et la précédente , en restreignant celle-ci au cas où le point O est dans l'intérieur du polygone y quand l'exposant n est impair. Mais on aperçoit sans peine qu'elle subsiste lorsque le point O est extérieur au polygone, pourvu que l'on regarde comme négatives les perpendiculaires abaissées sur les côtés qui, prolongés au besoin , passent entre ce, point et le centre du cercle inscrit. Cette proposition est intuitive pour /? = i.

PURES ET APPLIQUÉES. 3a i

THÉORiMES PARTICULIERS.

29. Je terminerai celte analyse par un examen rapide de celles des propositions du géomètre anglais qui n'ont pu trouver place dans ce qui précède. L'ordre dans lequel il les présente porte à croire qu'elles étaient, dans sa pensée, au moins en grande partie, des lemmes propres à conduire synthétiquement aux propositions principales que nous avons discutées, et qui se trouvent dépourvues du degré de généralité qu'il leur attribuait.

Quelques-unes n'ont besoin que d'être énoncées pour qu^on en aperçoive la vérité; elles sont relatives au degré ou à la nature de certains lieux géométriques, et il est tout simple qu'en les traitant par la méthode des coordonnées de Descartes , on trouve à priori des résultats auxquels la synthèse ne parvient que péniblement. Voici ces propositions :

Proposition lAY. Le lieu du point O (fou l'on peut mener à m droites parallèles L4, L,,..., L;„, sous des angles donnés autant de droites OQ< , OQ2,..., 0Q,„, telles que la somme des puissances n de leurs longueurs soit constante j est une ligne droite.

Proposition LV. Le lieu du point O, tel que la somme des puissances n des perpendiculaires abaissées de ce point sur n -4- i droites données soit constante j est une ligne courbe (an oval figure) de degré n ou d'un degré moindre.

Proposition LVL Étant donné deux groupes L,, Lj,.., L,„ e< L',, Lj ,..., L'^ de droites toutes parallèles entre elles ^ ou se coupant en un même pointy le lieu du point O telj que menant à celles-ci sous des angles donnés, les droites OQ, , OQ,..., OQ^, OQ'j , OQ'a,...^ 0Q!„, on a

OQ.->-OQi-h.. -f-OoL ^ OQ'.-hO(£-h...-HÔQl'

k étant une quantité constante^ est une ligne droite.

Proposition LVII. Étant donné deux groupes L,, L,,..., L„^, et I^^ L'a,..., L'„^, de n-h 1 droites situées d'urie manière quelconque, le