Tome Xlil. ~ Octobub
32t JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
lieu du point O pour lequel on a^ entre les perpendiculaires OP OPj,..., OP„^., abaissées sur les premières , et les perpendiculaires OP'j OPg,..., OP',^.| abaissées sur les autres, la relation
k étant une quantité constante, est une ligne de degré n ou d'un degré moindre.
Proposition LVIII. Étant donné m droites L, , Lj,..., L^i, le lieu du point O pour lequel on a, entre les droites OQo OQj,..., OQ,„ rencontrant L, , Lj^.-m L,„ sous des angles donnés, la relation
ôqI + ôq,V...+ oq1=a,
k étant une quantité constante, est une courbe (an oval figure) du degré n ou d'un degré moindre.
Proposition LIX. Étant donné deux groupes de droites L|, La,..., hf„ et L',, Lj,... , L'^, situées d'une manière quelconque, le lieu du point O tel, que menant à celles-ci des droites OQ,, OQ2,..., OQ^, OQ'j, OQg,.. , 0Q'„,, sous des angles donnés, on a la relation
k étant une quantité constante, est une ligne du degré n ou d'un degré moindre.
30. Je passe maintenant aux théorèmes proprement dits. Pour ne pas être trop long, je me bornerai à donner les équations d'où dépendent les quantités dont il ne s'agit que de démontrer l'existence.
Proposition L Si du point D, pris sur le côté BC du triangle ABC, on mène aux deux autres côtés AB, AC des parallèles qui les rencontrent en E, F^ on a la relation
AB X AE -K AC X AF = ÂD V BD x CD.
Stewart en donne la démonstration, assez facile k retrouver d'ail -
par le centre du cercle, et R le rayon de celui-ci ; on a
AD=v'(/-.a:')> + (9'-y)\ BD= v /(p- ~ .r^ + (y-- jT, AE = V(/^'-a:T-H(î'-rT. BE = V (/>- -x^)' + (y--j^- )% CD= ^/(x'-lr-h(y->7)^ CE= V(^"-S)^ + (y->î)%
a étant une quantité indéterminée. Substituant ces valeurs de AD, BD, AE, BEy CD, CE dans la relation annoncée par Stewart, et éliminant x\ y\ x'\ jr"^ il vient une équation qui doit être satisfaite quelle que soit la valeur de a; donc les coefficients des diverses puissances de a doivent être nuls séparément. Or cette équation est à deux termes, et se décompose dans les deux suivantes:
+[{p'- 1)' + (9' - *jn [{p-- ?)• + (9" - «n » = o, i+[(f"-i)'+(î"'-*3n(p'-i)r" ^^ ^
+ {{P' - §)' + (9' - n)'] [(/»'- ?)• + (9' - rif] ? = o,
lesquelles fournissent, en général, un certain nombre de systèmes de valeurs de Ç et de y? propres à représenter le point C.
Propositiow LXI. Étant donné un cercle et deux points A, , Aa , on peut trouver deux droites L| , L, telles, qu'abaissant d'un point quelconque O de la circonférence des perpendiculaires OP,, OPj sur celles-ci, on ait la relation
oil X QÂl = A> (ÔPi ^- ÔpI),
A* étant une quantité constante.
Cette relation s'exprime en écrivant
[(^ - P'f + {X- qj] [(* - p'J +{X- q'f] = k^ \{t^ — j: cos <^, — ^ sin f^,)* -h (^j — x cos v^—y sin V2f]\
p\ q'j p", q" sont toujours les coordonnées des points A|, A 2, et les quantités 1^^%^ Uy ^2^ qui figurent dans le second membre » fixent les positions des droites cherchées, comme il a été dit au 11" 20. Développant , éliminant ensuite jr au moyen de l'équation
Si l'on élimine x\jr\ ^"jj" au moyen des équations
a étant un coefficient variable, on trouve une équation en a à deux ternies, laquelle se sépare en deux autres, savoir :
(A| V5\ -h Aa cTj) Ç -+- (A:^ BT^ COS p^ -h Xra tyj cos v^ (|* -f- >3* — R*) = o, (A:, rz\ + k^fsl) yj -+- (A', or^ sin v^ -4- Aa^a sin p^) (?* -»">?* — R*) = o, où Ton fait, pour abréger,
w, = /i — I cos i', — >3 sin p<, Wa = ^2 — I cos i^a — »? sin Pj-
Ces deux équations feront connaître les valeurs des coordonnées § , yj du point C.
Proposition LXIII. Étant donné un cercle et deux droites L, , La Jormant entre elles un angle égal au double de celui du triangle équilatéral y on peut tmuverdeua: autres droites L'^, L^ telles, V^'H J tiit entre les perpendiculaii es OP^, OPa abaissées d* un point quelconque O de la circonférence sur les droites données, et les perpendiculaires OP\ , OPg abaissées du même point sur les droites trouvées, la relation
ÔP,V OPa = A(oP';-f. ÔP'^), A étant une quantité constante.
Prenons pour origine des coordonnées le point d'intersection des droites L, , La , et pour axe des x la droite qui coupe en deux parties égales l'angle at^ qu'elles forment. Afin de généraliser la question, je ne ferai d'abord aucune hypothèse sur cet angle, et j'écrirai en conséquence
(^sin V 4-^ cos i^)' -h (jcsin v -—y cosi^)' — A [(ô, — X cos y, — y §in y,)* H- (6a — :c cos fa — / sin (pa)*] = o?
9i> fa> ^19 ^3 servant à fixer la position des droites inconnues , conformément à la notation indiquée au n^ 20«
Pour que cette équation soit celle d'un <:ercle, il faut d'abord que les termes du troisième degré disparaissent. Or cela ne saurait avoir lieu en disposant des coefficients qu'ils renferment, car leur en?
semble est égal à a:rsinv(^'sin^P -1- 3j^ cos^ p). Si l'on faisait sinp = o, l'équation ne donnerait qu'un point, quelles que fussenr les valeurs de 91 , Ça, 6| , ôj- H fo"t donc que l'ensemble des autres termes soit divisible par jrsini^ ou simplement par a:. Par suite, on a nécessairement, les solutions imaginaires étant écartées,
siny, = o, sin Ça = 0, 6, = o, 63 = 0,
et l'équation du lieu , ramenée au second degré, peut s'écrire
a:^ sin* i^ -h 3 r* cos* v ~ = o.
•^ sin V
Cette équation ne sera celle d'un cercle qu'autant que les coefficients de X* et de jr^ seront égaux entre eux ; on posera donc
sin* V = 3 cos* if y d'où cos v = ±- -:
ce qui nous donne l'hypothèse admise dans l'énoncé de Stewart, laquelle est ainsi la seule possible. Au moyen de cette valeur, l'équation devient
ou
-Hr' =
équation d'un cercle qui a pour rayon -^ k ; on aura donc
R étant le rayon du cercle donné.
Cette analyse montre que le cercle ne peut être donné à volonté, comme l'annonce Stewart, puisqu'il passe par le point de rencontre des droites Li, L^ et a son centre sur la bissectrice de leur angle. On voit aussi que les deux droites inconnues, quand elles sont réelles, se réduisent à une seule, qui est l'axe des j.
Proposition LXIV. Etant donné un cercle et deux droites L^ , Lj formant entre elles un angle double de celui du triangle equilateral.
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on peut trousser lai point C tel^ que menant par ce point une droite quelconque qui rencontre la circonférence en D, £, e^ abaissant sur L,, La les perpendiculaires DP4, DPj , EQi , EQj, on aura la relation
dp' -4- dp' Cd' eq'-hÊq,' ce'
Prenons les mêmes axes que dans la solution précédente , et nom* mous />, 9; 4, >7; x''iX'\ ^'\y*' les coordonnées du centre du cercle, et des points C , D , E ; cette relation devient
Éliminant x\y\ x'\j'" au moyen des équations
où a est un coefficient variable, il vient une équation qui se partage en deux autres, savoir,
>JÇ[(I -/>)» + (*»- 9)' -R']-|(>3-?)(r + 17') = 0,
ce qui suffit pour déterminer |, y?. On remarque qu'une solution est donnée par l'hypothèse | = o, à laquelle correspondent les valeurs (le y? qui satisfont aux équations
A la suite de ces propositions relatives au cercle, qui sont les dernières de son livre, Stewart dit qu'on en trouverait d'analogues pour les sections coniques. Suivant lui , elles auraient facilité la solution de certains problèmes. On voudrait, par exemple, trouver sur une circonférence de cercle un point tel, que le produit de ses distances à deux points fixes soit égal à une quantité donnée. La solution consiste simplement à construire une cassinoïde dont les points d'intersection avec la circonférence sont les points cherchés. Stewart fait remarquer qu'on résoudrait aussi ce problème en traçant
PURES ET APPLIQUÉES. i^c^
une ellipse; car, d'après la proposition LKI, on peut déterminer deux droites y telles que le carré du produit des distances d'un point quelconque de la circonférence aux points donnés soit égal à une constante multipliée par la somme des carrés des perpendiculaires abaissées du même point sur ces droites. On connaîtra donc la somme des carrés des distances du point cherché aux droites dont il s'agit, c'est-à-dire une ellipse sur laquelle il doit se trouver.
Addition relative aux équations du Vl" ^.
Ces équations peuvent se résoudre au moyen de la transformation que voici :
L'équation , trouvée au n** 4 ,
étant mise sous la forme
Çî
on voit que le point dont les coordonnées sont Ç,, >j, se trouve sur une section conique ayant pour centre l'origine des coordonnées, et pour
demi-axes principaux y ôy: S/r,^î?, i/— SAv^r. Et comme une semblable relation existe entre les coordonnées Sj , yja , §3 , yj, des deux autres points inconnus, on en conclut que ces trois points se trouvent sur cette conique, laquelle peut être une ellipse, une liyperbole ou n)éme une courbe imaginaire, selon la combinaison de signes présentée par les quantités SAi,a?, SkibJ. Puisque l'on a supposé que SA",est positif, on aura une ellipse quand l'une et l'autre seront positives. C'est d'ailleurs le seul cas où les points cherchés soient réels , attendu que les sommes ?? H-- ?2 H- §3 > >?? -f- >?2 "•" ^3 "^ sauraient être alors
