GÉOMÉTRIE
Analogie entre des propositions de Géométrie plane et de Géométrie a trois dimensions. — Géométrie de la Sphère. — Hyperboloïde a une nappe ;
Par M. CHASLES (*),
Si l'on fait tourner autour de deux points fixes, dans un plan , deux droites rectangulaires, leur point d'intersection décrit une circonférence de cercle; et si l'on prend sur la droite qui joint les deux points fixes, deux autres points qui soient conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers, les distances de chaque point de la circonférence du cercle à ces deux nouveaux points sont entre elles dans un rapport constant.
Nous nous proposons de démontrer les propriétés analogues , dans l'espace, à ces deux propriétés élémentaires du cercle; lesquelles sont relatives à deux plans rectangulaires qui tournent autour de deux droites fixes, ou à deux arcs de grands cercles de la sphère qui tournent autour de deux points fixes en se coupant à angle droit.
(*) J'emploierai le plus souvent, dans les articles que M. le Rédacteur de ce Journal voudra bien accueillir, des considérations de Géométrie , de préférence à la voie du calcul. Quelquefois cette manière aura sur l'analyse l'avantage de la brièveté; d'autres fois, ce sera le contraire. Dans ce second cas, je prie le lecteur de voir, dans mon travail , non point seulement quelques théorèmes nouveaux, ou peut-être déjà connus, qu'on démontrerait plus aisément d'une autre manière , mais un exercice sur la méthode purement géométrique, auquel je me serai livré par goût.
PURES ET APPLIQUÉES. 3a5
Supposons d'abord que les deux droites fixes soient situées dans un même plan. Si, autour de ces deux droites, on fait tourner deux plans rectangulaires , la droite d'intersection de ces deux plans décrira un cône du second degré qui passera par ces deux droites, et dont les sections circulaires seront dans des plans perpendiculaires à ces mêmes droites respectivement.
En effet, quand deux plans sont rectangulaires, tout plan perpendiculaire à l'un d'eux les coupe suivant deux droites rectangulaires ; donc un plan transversal perpendiculaire à l'une des deux droites fixes coupe les deux plans mobiles suivant deux droites rectangulaires : or ces deux droites passent par les deux points fixes où le plan transversal coupe les deux droites fixes; leur point d'intersection engendre donc un cercle passant par ces deux points fixes , et sur lequel s'appuie la droite d'inlersection des deux plans mobiles. Ce qui démontre le théorème.
Soient (Planche I, fig. 2) SO, SO', les deux droites fixes, etsoitOmO' la section circulaire faite dans le cône par un plan transversal perpendiculaire à la première droite SO.
La droite 00' est un diamètre du cercle. Nous supposons, pour nous représenter la figure, que le cercle est situé dans un plan vertical, et les deux droites SO, SO', dans un plan horizontal.
Prenons les deux points D , D', conjugués harmoniques par rapport
aux extrémités du diamètre 00' (c'est-à-dire tels que l'on ait fwy:=:rwy)>'
et menons les deux droites SD , SD'; elles seront conjuguées harmoniques par rapport aux deux droites fixes SO, SO' (c'est-à-dire qu'on
siu DSO sin D'S0\ T t 1 t j / ? • .
aura - — — - - = . , -, ). Je dis que les distances de chaque point sm DSO' sinUiO/ * * '
m de la circonjérence du cercle , aux deux droites SD, SD', seront
entre elles dans un rapport constant.
Ainsi soient mp, mp' les perpendiculaires abaissées du point m sur
les droites SD, SD'; il faut prouver que l'on a -£-. = constante.
On a mp = niD . sin 7?i\)S , mp' = mD' . siu mD'S ;
mp mD sin mDS
mp' "~ mT>' ' sin mDS' Septembre i336. 43
Soient Oq, Oq' les perpendiculaires abaissées dn point 0 sur les deux droites mD . mD'; ces deux perpendiculaires sont égales entre elles, car on
0?=0D.sinmD0, 0«' = 0D'.sin mD'O ; %L = % . ™^°
1 ' Oq OD sin mu U
Or, dans le triangle D/?iD', on a
sin mDO mD' OD'
-. jtt^ = —=- = constante = r^- ;
sin mu 0 ml) OD
d'où OD.sin 7?iD0 = 0D'.sin mD'O ; et, par suite, Oq = Oq'.
La droite OS étant perpendiculaire au plan du cercle, et les points q , q' étant les pieds des perpendiculaires abaissées du point 0 sur les deux droites mD , mD' comprises dans ce plan , les droites Sq , Sq' sont les perpendiculaires abaissées du point S sur ces droites mD , mD1 ; et ces perpendiculaires sont égales, puisque Oq = Oq'.
On a dans le triangle S<yD, rectangle en q , sin ?nDS = ^-. Pareillement , sin 7?îD'S = ^ , d'où, à cause de Sq =: Sq' ,
sin mDS SD'
sinmD'S SD~*
Il vient donc
mp mu SD'
mp' mD' ' SD
Le rapport — =-7 est constant, par la propriété connue du cercle ; SD,
SD sont constantes; le rapport —, est donc constant, quelle que
soit la position du point m sur la circonférence du cercle. Ce qu'il fallait démontrer.
Le rapport des sinus des angles que la droite Sm fait ayec les deux droites SD, SD' est le même que celui des perpendiculaires mp , mp ; ce rapport des deux sinus est donc constant. On conclut donc, de ce que nous venons de démontrer . ce théorème :
Théorème I. Sij autour de deux droites fixes situées dans un même plan , on fait tourner deux plans rectangulaires ;
1°. La droite d'intersection de ces deux plans décrira un cône du second degré;
20. Les plans des sections circulaires de ce cône seront perpendiculaires aux deux droites fixes , respectivement ;
5°. Si dans le plan de ces deux droites , et par leur point de rencontre , on mène deux autres droites qui soient conjuguées harmoniques par rapport aux deux premières, les sinus des angles que chaque arête du cône fera avec ces deux nouvelles droites seront entre eux dans une raison constante.
Nous pourrions exprimer cette troisième partie du théorème, en disant que les distances de chaque point de la surface du cône, aux deux nouvelles droites , sont entre elles dans un rapport constant.
Quand on a un cône du second degré, si par son sommet on mène des droites perpendiculaires à ses plans tangents, ces droites forment un second cône qui est aussi du second degré, et qui jouit de cette propriété réciproque, que ses plans tangents sont perpendiculaires aux arêtes du premier (*). Ces deux cônes sont dits supplémentaires l'un de l'autre. Leur considération sert pour doubler les propriétés des cônes du second degré, de même que le triangle réciproque , ou supplémentaire, sur la sphère, sert pour doubler, ou dualiser, les propositions sphériques. Une propriété très importante de deux cônes supplémentaires , dont nous allons faire usage, c'est que les lignes focales de l'un sont perpendiculaires respectivement aux plans des sections circulaires de l'autre (**).
D'après cela, le théorème énoncé ci-dessus nous donne, par la considération du cône supplémentaire, le suivant :
Théorème II. Etant donnés deux plans fixes, si un point de leur intersection commune est pris pour le sommet d'un angle droit mobile, dont les côtés se meuvent dans les deux plans fixes respectivement ;
{*) Nous avons donné la démonstration de cette proposition dans notre Mémoire sur les propriétés générales des cônes du second degré.
(**) Voir le Mémoire cité ; page 1 3. Les lignes^/ôca/er d'un cône du second degré sont deux droites qui jouissent de propriétés analogues à celles des foyers dans les coniques.
5oS JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
i°. Le plan de cet angle droit enveloppera un cône du second degré ;
20. Les lignes jocales de ce cône seront perpendiculaires aux deux plans fixes , respectivement ;
5°. Si par la droite d'intersection de ces deux plans on mène deux autres plans fixes qui soient conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers (*) -, les sinus des angles que le plan de l'angle mobile fera avec ces deux nouveaux plans seront entre eux dans un rapport constant.
En observaut que, dans un augle trièdre , les sinus des angles plans sont entre eux comme les sinus des angles dièdres opposés, on voit qu'on pourrait donner à la troisième partie de chacun des deux théorèmes précédents un autre énoncé.
Les propriétés des cônes du second degré donnent toujours lieu à des propriétés correspondantes des coniques sphériques. On a appelé ainsi les courbes à double courbure qui résultent de l'intersection d'une sphère par un cône du second degré qui a son sommet au centre de la sphère. Ce sont des lignes de courbure du cône. Ces courbes ont des foyers qui sont les points où. les droites focales du cône percent la sphère. Les plans menés par le sommet du cône, parallèlement aux plans de ses sections circulaires , coupent la sphère suivant deux grands cercles qui jouent, par rapport aux coniques sphériques, un rôle aussi important que celui de leurs foyers. Nous avons .ippelé ces arcs de grands cercles les arcs cycliques de la courbe (**), à cause de la dénomination de plans cycliques que nous avions adoptée pour les plans menés par le sommet d'un cône, parallèlement aux plans de ses sections circulaires. Les propriétés des arcs cycliques d'une conique sphérique sont nombreuses. Plusieurs sont analogues aux propriétés des asymptotes dans les coniques planes. Par exemple , le trian-
[*) Deux plans C,D, menés par l'intersection de deux premiers plans A,B, sont dit?
... . , sinC,^ sinD.A conjugues harmoniques par rapport a ceux-ci, quand on a — -p^— = ^s^«
sinC, B sinD, B
(**) Mémoire de Géométrie sur les propriétés générales des coniques sphériques ;
in-4°, i83i , Bachelier.
gle formé par les deux arcs cycliques et l'arc de grand cercle tangent à la conique en un quelconque de ses points , a sa surface constante.
Ces définitions étant admises , les deux théorèmes démontrés ci-dessus donnent les deux suivants :
Théorème III. Etant pris sur la sphère deux points fixes , si autoui de ces deux points on fait, tourner deux arcs de grands cercles , jaisant entre eux un angle droit ;
i°. Le point d'intersection de ces deux arcs décrira une conique sphérique ;
2°. Les arcs cycliques de cette courbe seront dans des plans perpendiculaires aux rayons de la sphère qui aboutissent aux deux points fixes ;
3°. Si, sur lare de grand cercle qui joint ces deux points , on prend deux autres points, qui soient conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers (*) , le rapport des sinus des arcs menés de chaque point de la conique à ces deux nouveaux points , sera constant.
Théorème IV. Etant donnés sur la sphère deux arcs de grands cercles fixes , si Von fait mouvoir un arc de grand cercle égal à un quadrant , de manière que ses deux extrémités glissent sur les deux arcs fixes ;
1 °. Cet arc mobile enveloppera une conique sphérique ;
2°. Les foyers de cette courbe seront les pôles des deux arcs de g rands cercles fixes ;
5°. Si, par le point d'intersection de ces deux arcs , on mène deux arcs de grands cercles , conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers (**) , les sinus des inclinaisons du quadrant mobile sur ces
(*) Deux points c , d, pris sur l'arc de grand cercle qui passe par deux points donnés a , b , sont conjugués harmoniques par rapport à ces deux-ci , quand on a
sin . ca sin . da
sin . cb sin . db'
(**) Deux arcs de grands cercles C, D, menés par le point d'intersection de deu>. autres arcs de grands cercles A,B, sont conjugués harmoniques par rapport à ceux-ci , quand on a
sin . C, À sin . D, A
sin rC,B sin.D,B
55o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
deux nouveaux arcs , seront entre eux dans un rapport constant.
Maintenant considérons deux droites situées d'une manière quelconque dans l'espace, et faisons tourner autour d'elles deux plans rectangulaires; la surface engendrée par leur droite d'intersection devient un hyperboloïde; et les analogies que nous avons trouvées, dans le théorème I, entre le cône et le cercle, se conservent dans cet hyperboloïde.
Voici le théorème qui les exprime :
Théorème V. Si, autour de deux droites fixes , situées d'une manière quelconque da?is V espace, on fait tourner deux plans rectangulaires ,
i°. La droite d'intersection de ces deux plans engendrera un hyperboloïde a une nappe ;
2°. Les plans des sections circulaires de cet hyperboloïde seront perpendiculaires aux deux droites respectivement ;
3°. On pourra mener, d'une infinité de manières, deux autres droites dans l'espace, telles que les distances de chaque point de l'hjrperboldide à ces deux droites seront entre elles dans un rapport constant.
En effet, concevons un plan transversal perpendiculaire à l'une des deux droites fixes, autour desquelles tournent les deux plans rectangulaires; il coupera ces deux plans suivant deux droites qui seront rectangulaires, comme dans le cas où les deux droites fixes sont situées dans un même plan. Donc la droite d'intersection des deux plans mobiles s'appuie sur la circonférence de cercle située dans le plan transversal , et qui a pour diamètre la droite qui joint les deux points où ce plan rencontre les deux droites fixes. Or. cette droite d'intersection des deux plans mobiles s'appuie sur les deux droites fixes. On conclut de là qu'elle engendre un hyperboloïde; car prenons trois positions de cette droite génératrice, et considérons-les comme les trois directrices d'un hyperboloïde ; cet hyperboloïde passera par les deux droites fixes, puisque ces trois directrices s'appuient sur ces deux droites; de plus, cet hyperboloïde passera par la circonférence du cercle , parce qu'il passera par cinq points de cette courbe, qui sont ceux où les deux droites fixes et les trois positions de la droite mobile, prises pour directrices de l'hyperboloïde, s'appuient sur cette circonférence. Ainsi, cette circonférence est tout entière sur l'hyperboloïde. Il en résulte
PURES ET APPLIQUÉES. 35 r
que la droite d'intersection de deux plans rectangulaires quelconques, menés par les deux droites fixes , a trois points communs avec l'hyperboloïde; lesquels points sont situés sur la circonférence et sur les deux droites fixes; cette droite est donc tout entière sur l'hyperboloïde.
Ainsi, il est démontré que quand deux plans rectangulaires tournent autour de deux droites situées d'une manière quelconque dans l'espace, leur droite d'intersection engendre un hjperboloïde à une nappe dont les sections circulaires sont dans des plans perpendiculaires aux deux droites respectivement.
MM. Hachette etBinet, en démontrant par l'analyse la première partie de ce théorème {Correspondance polytechnique , t. Il , p. 71), avaient bien remarqué que l'hyperboloïde n'était pas d'une construction générale , parce que son équation, rapportée à ses trois axes principaux ne contenait que deux constantes. Mais ces deux géomètres n'avaient pas recherché à quel fait géométrique répondait ce résultat de l'analyse. Notre démonstration montre que le caractère particulier de l'hyperboloïde consiste en ce que les plans de ses sections circulaires sont perpendiculaires respectivement à deux génératrices.
L'hyperboloïde jouit de cette autre propriété caractéristique, que chacun de ses points a ses distances à deux droites fixes dans un rapport constant; et il existe une infinité de systèmes de deux droites pour lesquelles cela a lieu; de sorte que le rapport étant donné, les deux droites pourront être déterminées.
Cette proposition est la troisième partie du théorème que nous avons énoncé; en voici la démonstration.
Soit 00' la droite qui mesure la plus courte distance des deux droites OA , O'A' , autour desquelles on fait tourner les deux plans rectangulaires. Par cette droite 00' menons le plan perpendiculaire à la droite OA ; il coupera l'hyperboloïde suivant une circonférence de cercle OmO' , ainsi que nous l'avons démontré.
Soit /je un rapport donné; sur la droite 00', et sur son prolongement,
i ! tv ™ 1 .> . OD O'D
je prends deux points D, D , tels que 1 on ait ^-7 = ~jy- = fx; et par
ces deux points, respectivement, je mène deux droites DB, D'B', perpendiculaires à la droite 00', et telles que l'on ait
sin(OA , PB) sin(Q'A', PB)
sin(OA, D'B') sm(0'A',D'B') ^\ )'■>
je dis que ces deux droites DB, D'B', jouiront de cetlc double propriété :
i\ Que le rapport dts distances de chaque point m de la circonférence OrriO', à ces deux droites, est constant et égal à ^fy = P- ;
2°. Que le rapport des distances de chaque point de l'une quelconque des deux droites OA, O'A', à ces deux mêmes droites DB, D'B', est aussi constant, et égal à//.
En effet, la perpendiculaire abaissée du point m sur la droite DB est égale à 7?*D.sin.mDB (Planche I, fig. 5); et la perpendiculaire abaissée du même poiut sur la droite D'B' est égale à mD'.sin. wzD'B'. Le rapport de ces deux perpendiculaires est donc égal à
77?P sin.mDB
mD' " sin. mD'W '
Or, on a dans l'angle trièdre dont les trois arêtes sont DO, Dm, DB', et
dont l'angle plan ODB est droit, cos .mDB=sin.raDO .cos . (mDO,ODB), Pareillement ,
cos.mD'B' = sin.mD'0.cos.(/»D'0, OD'B').
cos.mPB sin.wPO cos.(mDO, OPB)
1C' cos. m PB' smTmDT) ' cas. (mD 0,OP'B')"
sin.mDO mD' OP'
Oa a I; ,vn = T^n = const- = nn >
et
sin.mDO mT) ' OP
cos.(mPO, ODB) sin{OA, PB) OP cos (mD'O, ODB') sin (OA, OB') — OP''
(*) On voit que cela se re'duit à prendre deux points P , P', tels que le rapport des distances de chacun des deux points 0 , O', à ces deux points, soit égal à fi ; ,'t quant à la direction des droites DB, D'B', qu'on mène par le point 0 une parallèle Oa à O'A', et qu'on cherche deux droites, Ob, Ob', telles que le rapport des distances de chaque point de l'une quelconque des deux OA, Oa, à ces deux droites, soit égalai; les droitesDB, D'B' devront être parallèles à Ob , Ob', respectivement.
Les deux points D, D', sont conjugués harmoniques par rapport aux deux 0, 0'; et les deux droites Ob, Ob', sont conjuguées harmoniques par rapport aux deui OA. Oa'.
rv cos.mDB Donc, -— = i.
cos .raUB
Donc les angles mDB et mD'B' sont égaux, et l'on a
sin 7«DB= sinmD'B'; et par conséquent le rapport des perpendiculaires abaissées du point m sur les deux droites DB, DB', est simple-
. mD OD r- r» r n
ment^= ÔF =^ C.Q.F.P.
Maintenant il nous faut prouver que les distances d'un point quelconque a , de la droite OA , aux deux droites DB, D'B', sont encore
entre elles dans le rapport ^7.
Que d'un point a de OA on abaisse une perpendiculaire aq sur D/; parallèle à OA, du point q une perpendiculaire qp sur DB; ap sera perpendiculaire sur DB; el l'on aura dans le triangle apq rectangle en q ,
ap = aq + qp = aq -|- qD .sin'.çDB.
Pareillement ap' étant la perpendiculaire abaissée du point a sur la seconde droite D'B', ou aura
âp'= ~âq'*+ 9^ = âq'%+ ^D7 sin'.ç'D'B'.
p. sin.oDB OD .-.„ , .-.,-.,
Ol'0na sm.gW = CÛT; «?=QD» «?=0D;
il vient donc
a~p = Ôd" + al) . sinV^DB,
et
a/=QD' + aO . ~.sin\«DB = ^5[0D + a0'. sin'.oDB]"; OD OD
— y OD' —' ap = z=r, • ap OD"
D'où aA=%. C. Q. F. D.
ap OD x
Il résulte de là , sans qu'il soit besoin d'une nouvelle démonstration , que les distances d'un point quelconque de la seconde droite O'A',
aux deux droites DB, D'B', sont aussi entre elles dans le rapport ^=p.
Ainsi il||est prouvé que, si l'on demande le lieu géométrique d'un
Septembre i836. /3
point dont les distances aux deux droites DB, D'IV soient eutre elles dans le rapport de OD à OD', ce lieu sera une surface qui passera par les deux droites OA , O'A', et par la circonférence de cercle OmO'. Or ce lieu sera évidemment une surface du second degré , parce que la formule de géométrie analytique qui donne le carré de la distance d'un point à une droite, contient les coordonnées de ce point au second degré; ce lieu sera donc un hyperboloïde à une nappe, passant par les deux droites OA, O'A', et par la circonférence de cercle 0/nO'. Mais il n'existe qu'un hyperboloïde qui satisfasse à cette double condition , c'est celui qui est engendré par l'intersection de deux plans rectangulaires tournant autour des deux droites OA , O'A' ; donc cet hyperboloïde jouit de la propriété que les distances de chacun de ses points aux deux droites DB, D'B' sont entre elles dans un rapport constant.
Ainsi le théorème V est démontré.
On prouverait aisément que chaque point de la droite Oa' , menée parallèlement à la droite O'A', a ses distances aux deux droites DB, D'B', dans le rapport jx; par conséquent cette droite est sur l'hyperboloide. Pareillement la parallèle à la droite OA , menée par le point 0', est sur l'hyperboloïde. On conclut de là que les plans tangents à l'hyperboloïde , aux points 0 , 0', sont parallèles entre eux et perpendiculaires à la droite 00' ; ce qui prouve que ces points sont deux sommets de la surface.
Démonstration du Parallélogramme des Forces ; Par M. AIMÉ.
i" Lemme. Si deux forces égales sont appliquées au point o (Planche I, fig. 4)> leur résultante, qui divisera leur angle en deux parties égales, sera d'autant plus petite que l'angle approchera plus de deux droits.
Considérons en effet les deux angles P'oP" et PoP'", tels qu'ils soient divisés en deux parties égales par la droite AB , et que l'on ait PoP '"■< P'oP"; si l'on applique quatre forces égales suivant les directions des côtés de ces angles et qu'on les représente par les lignes oP, oP'; oP", oP'", la résultante des deux forces oP, oP' sera dirigée suivant oR et celle des deux autres suivant oR'. Or, puisque l'angle RoR' est dirigé du côté de oA, la résultante totale tombera sur oA; ce qui prouve clairement que les deux forces oP, oP'" ont une résultante plus grande que celle des deux forces oP', oP".
2e Lemme. Le rapport entre la résultante de deux forces égales et l'une des composantes est constant , quand l'angle des forces ne variant pas, on fait seulement varier la grandeur des forces.
Cela est évident dans le cas des forcescommensu'-ables. Supposons donc deux forces égales appliquées au point A (Planche I, fig. 5), représentées en grandeur par les lignes AC , AC, et incommensurables avec l'unité de force. Considérons deux forces AB, AB' égales et commensurables et supposons que dans ce cas on sache que leur résultante est représentée par 2A0, je dis que l'on pourra en conclure que la résultante de AC, AC est représentée par 2A0'. Car si la résultante était représentée en grandeur par 2A0", on pourrait prendre une unité de force assez petite pour qu'en la portant sur AC et AC un même nombre de fois, on obtint deux forces égales AD et AD', dont la nouvelle résultante 2A0'" se trouvât comprise entre Ao" et Ao'. On arriverait donc à une
absurdité, car la résultante des deux forces AD et AD' ne peut être plus grande que celle des deuxforces AC, AC.
5e Lemme. Soient quatre forces égales P, P', P", P'"(fig. 6) appliquées au point S; appelons a chacun des deux angles égaux PSP" et P'"SF; désignons par £ l'angle P"SP"\ Alors l'angle PSP' sera égal a £ -f- 2a. Divisons chaque angle et en deux parties égales par les droites SA, SA'; l'angle ASA' sera ê + a. Divisons en deux parties égales l'angle ê par la droite So. Cette construction étant effectuée, je veux établir que si pour trois quelconques des quatre angles et, Ç, £-f- a , € -f- 2a, la résultante de deux forces égales est représentée par la diagonale du parallélogramme construit sur les côtés qui représentent les forces, elle le sera aussi pour le quatrième.
En effet, menons PoP', Ao'A', P"o"P'". Nous avons par construction 4So'=2So + 2Sor/; or, dans tous les cas, nous devons avoir la résultante des quatre forces P, P', P", P'" égale à celle des deux résultantes de P, P" et P', Pm. Si donc le parallélogramme des forces est vrai par exemple pour les trois angles et, £, ê-f-a, il sera vrai pour £-f-2a. Car soit x la grandeur de la résultante pour l'angle £-f-2a: on aura 4So' = x -f- 2S0" , d'où l'on tire x=iSo. C. Q. F. D.
4e Lemme. Si la résultante de deux forces égales faisant entre elles un angle 2a est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les côtés qui représentent ces forces, la même chose aura lieu pour un angle moitié moindre a.
Pour le prouver, faisons £ = o dans la figure G qui se change alors dans la figure 7. Je dis que 2SA représentera la résultante des deux forces égales P, P'" comprenant entre elles un angle et. En effet, représentons par 2X la grandeur inconnue de cette résultante qui divise l'angle PSP" en deux parties égales : 2X sera aussi la résultante des forces P', POT : la résultante des forces ix dirigées suivant SA, SA', n'est autre chose que la résultante totale 4S0' ; l'angle ASA' est d'ailleurs égal à a comme l'angle PSP": en vertu du 2e lemme, nous pouvons donc
4S0' 2.x, . .. So' SA .. , ,. c .
poser - — = ^p ; et puisque 1 on a ^- =■ ^p, il en resuite x — sA,
Ces quatre lemmes étant établis, nous pouvons démontrer facilement le théorème suivant :
Théorème. Si deux forces P et P' faisant entre elles un angle et,
sont appliquées à un même point, la résultante de ces deux forces sera représentée en grandeur et eu direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui représentent en grandeur et en direction les forces données.
Pour le démontrer, je vais distinguer deux cas : d'abord celui de deux forces égales; ensuite celui de deux forces inégales.
ier Cas. Nous avons, établi dans le quatrième lemme, que si deux forces égales faisant un angle a déterminé, out leur résultante représentée par la diagonale du parallélogramme construit sur les forces,
pour un angle moitié moindre - la résultante sera aussi représentée par la nouvelle diagonale. Il en sera évidemment de même pour - ,
g.. . ., et pour — . Dans le troisième lemme, faisons Ç = o, et nous
verrons que si le théorème du parallélogramme des forces est vrai pour un angle a, il sera vrai pour 2ct: faisons ensuite £z=.a, et nous verrons qu'il est vrai pour aa : faisons £ = 2«, et nous verrons qu'il est vrai pour 5a, puis enfin pour nx. Ainsi le théorème sera vrai pour
— , si l'on peut trouver pour a. une certaine valeur différente de zéro
qui satisfasse aux conditions du théorème. Or, dans le cas de trois forces égales situées dans un même plan et faisant entre elles des angles de i 20°, le théorème a lieu évidemment. Donc il est généralement vrai pour un angle dont la valeur numérique peut se mettre sous la forme
. Je dis maintenant qu'il est encore vrai même pour un angle
dont la valeur numérique ne serait pas réductible à cette forme. En effet, supposons que pour l'angle P'SP'" (fig. 6), la résultante au lieu d'être 2S0" soit plus petite et représentée par 2S0'". Nous pourrons
trouver un angle PSP' de la forme — , et tel que sa résultante
2S0 soit plus grande que 2S0'"; or d'après le ier lemme, l'angle PSP' étant plus ouvert que P"SPr", il correspond à une résultante plus petite. Nous voyons donc que notre supposition nous conduit à une absurdité. On ferait voir de même que la résultante ne peut être plu^ grande que 2S0". Donc elle lui est égale.
Nous avons dit que le théorème avait lieu évidemment pour l'angle de i20°: on peut faire voir à priori, qu'il a encore lieu pour une infinité d'angles. En effet, supposons les trois angles P"SP', PSP", ASA' égaux chacun à 1200 (fig, 7). Faisons tourner l'angle P"SP autour de SA , comme charnière , de manière que son plan devienne perpendiculaire à celui de la figure. Faisons tourner de même P'SP'" autour de SA'. Les deux forces P' et P" feront alors un certain angle pour lequel je dis que le théorème a lieu. En effet, les résultantes de P', P" et de P, P'" sont égales entre elles; de plus leur somme est égale à celle des deux forces 2SA, 2SA', où à 4S0'. Or, 2S0' est précisément la diagonale du parallélogramme construit sur P et P'" et aussi de celui construit sur P', P". On pourrait répéter la même opération en se servant du nouvel angle PSP'" et l'on voit que l'on aurait une infinité d'angles différents avant d'arriver à un angle égal à deux droits.
2e Cas. Il reste à examiner le cas de deux forces inégales faisant entre elles un angle quelconque.
Représentons par BS et SA (fig. 8) la grandeur et la direction des deux forces données. Cherchons la résultante de ces deux forces. Pour la trouver, nous pouvons appliquer sur BS une autre force égale à BS, sur SA une autre force égale à SA.
Dans ce nouvel état , la résultante totale aura la direction et une grandeur double de la première résultante. Or je dis qu'on peut facilement trouver cette nouvelle force. En effet par SA, supposé plus peut que BS, nous pouvons mener un plan perpendiculaire à celui du triangle BSA, et construire sur la ligne CC perpendiculaire à SA un triangle isoscèle dont les deux côtés soient égaux chacun à BS. Nous pourrons remplacer les deux forces SA par les nouvelles forces SC , SC Combinons maintenant BS avec SC : nous aurons une résultante égale à 2SD ; de même BS et SC nous donneront 2SD' égal à 2SD. Donc la résultante totale est égale à 4S0; donc dans le cas de deux forces quelconques faisant un angle aussi quelconque entre elles, la résultante est égale à la diagonale du parallélogramme construit sur les côtés qui représentent les forces en grandeur et en direction.
t , ■ iv. • ^V Vd"y Qdy . v
Intégration de L équation — ■+- -jpr H- -j^r -+- etc. — Y ,
(fans laquelle on suppose p, q, m, n; etc., des nombres entiers; Pj Q, etc. des coefficients constans et V î«rae fonction quelconque de la variable indépendante x,-
Par A.-M. FAVRE-ROLLIX (*).
Pour plus de simplicité, nous supposerons qu'il y a dans le premier membre de l'équation proposée trois termes seulement : le lecteur verra sans peine que notre méthode reste la même quel que soit je nombre des termes de ce premier membre.
Soit donc l'équation ^ + ^ + ^ = V. (i)
Je prends la différentielle à indice - de chaque membre, et je trouve
IL M+E n + P l
d'y Vd V Qrf !r^V
dx" dx 1 dx * dx1
ce qui revient à
V ^ V-r" "t~ dx'J P ~~ P' V '
dx1 dxq dx9
p Substituant dans l'équation (2) la valeur de à? y tirée de l'équation (1), on a
(*) J'ai traité cette question et d'autres plus générales dans un Mémoire destiné au prochain cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique. (J. Liocville.)
ip
dqj , (Vd™ , Qdy\ /y p ày Qdy\
ip ' \dx'n dx" ) \ dxm dx" ) ~
dx"
dJ
ou bien
ip p
±Z-Jf±-£ + 2PQ Ç-S +Q»l/; ) — — — (^
^ di
<*r9 <fe'
équation que je mets sous la forme
, . , , . /Prfmr . Qdyy
en observant que les exposants du développement de \^-^ -+- ~^) »
par rapport aux quantite's -~ , -p-n devront porter sur les indices de différentiation , et non sur ces quantités elles-mêmes, et indiqueront combien de fois les indices m et n doivent être répétés et non combien
jjg f0is 3. -2. doivent être multipliés par eux-mêmes.
dxm dx
Traitant l'équation (3) , comme on a traité l'équation ( i ) , on arrivera facilement à la nouvelle équation
dTj . (Vd"y Qdy\' d^J __ (Vdr Q^v £V /M" Qrf|Yv —^ ■+" \~dx^ "*" dx" )— ?P \dxm"r~dxn) p ~l~W,~r dx) '
dx" àJ dx"
En continuant ainsi l'on aura, si q est un nombre entierj, l'équation finale
)P Kdx^dx-J )P \dxr dx") 3)E
d.T q dx ? <b *
facile à intégrer, puisque la variable y n'est plus affectée de différentielles à indices fractionnaires. ( Le signe -+- devra être pris si q est impair, et le signe — devra l'être si q est pair.)
PURES ET APPLIQUÉES. M i
NOTE
Sur ht résolution des Equations numériques ; Par M; VINCENT (*).
i. Dans une note qui m'est commune avec M. Bourdon , et qui fait partie de la sixième édition de son Algèbre, il a été démontré que Si dans une équation numérique rationnelle en x dépourvue de racines égales , on fait successivement, et conformément au procédé de Lagrange,
x = a + 7 , oc' = b + ^, x" = c + p ,
o?i parvient toujours par la suite des transformations , et quels que soient d'ailleurs les nombres a, b, c. . . [supposés toutefois positifs et >• i ], à une équation transformée qui se trouve dans l'un de ces deux cas : ou de ne plus avoir que des permanences, ou de ne plus offrir quvuE variation,- dans ce second cas, l'équation en x a une racine réelle positive représentée par la fraction continue
et n'en a qu'une seule de cette valeur; le premier cas, au contraire, arrive toutes les fois que l'équation n'a aucune racine susceptible de l'expression indiquée.
Non-seulement cette propriété des équations numériques, pro-
(*) Cette Note a deji été publiée dans les Mémoires de la Société royale de Lille (année i834) : dans l'intérêt des professeurs , nous avons cru devoir la réimprimer ici, avec quelques additions que l'auteur y a faites depuis. J. L.
Octobri l836. 44
prié te exclusivement inhérente à la réduction de leurs racines réelles eu fractions continues, est tout-à-fait suffisante, ainsi qu'on peut le voir, pour conduire à la séparation de ces racines, comme naturellement, c'est-à-dire sans que l'on soit obligé de déterminer à priori leur quotité ou de leur assigner des limites (*), et pourvu seulement qu'afin de s'épargner une infinité d'essais inutiles, on se laisse diriger dans le choix des nombres a , b , c , . . . . par le théorème de M. Budan (**) ;
*) Qui ne connaît aujourd'hui le beau théorème de'couvert par M. Slurm sut les limites des racines?. . . . Bien que la méthode de résolution proposée dans ce qui va suivre, en soit absolument indépendante , toute complète et rigoureuse qu'elle nous paraisse, le théorème de M. Slurm n'en est pas moins d'une extrême importance à nos yeux , pour la facilité avec laquelle il permet de reconnaître à priori le nombre et les limites des racines réelles ; et sous ce rapport il offrira toujours un puissant auxiliaire à toutes les méthodes de résolution , quelques avantages qu'elles puissent d'ailleurs présenter. Il ne faut pas perdre de vue, au surplus, que l'emploi du procédé de M. Slurm se trouve tout préparé par les opérations nécessaires à la séparation préalable des racines égales.
;**) Ce théorème peut être énoncé comme il suit :
Si, dans une équation en x que nous représenterons par f (x) = o , on fait alternativement x = p -)- x', x = q -f- x", p et q étant deux nombres réels de signes quelconques , et tels que Von ail p <T q [c'est-à-dire que£> soit le plus rapproché de l'infini négatif, et q le plus rapproché de l'infini positif] : — i" La transformée en x' = x — p ne peut avoir moins de variations que la transformée en x" = x — q; — 2° le nombre des racines réelles de l'équation f(x) = o, comprises entre p e(q, ne peut jamais surpasser celui des variations perdues dans le passage de la transformée en (x — p) à la transformée en (x — q) ; — 3° quand le premier nombre est moindre que le second , la différence est toujours un nombre pair. — [Dans le cas particulier où l'un des nombres/», q, serait nul, la transformée correspondante devrait être remplacée par la proposée ellemême].
Fourier, qui était parvenu de son côté au même théorème, et qui en a donné, dans son Analyse des équations , ouvrage publié après sa mort par M. Navier, une démonstration différente de celle de M. Budan , l'énonce d'une autre manière qui revient à-peu-près à la suivante :
Si dans la suite des (m-f- 1) fondions f(x), f'(x), f"(x) . . . , f(m)(x), on substitue alternativement à la place de x deux nombres réels quelconques p , q [p étant <^q] , et que l'on représente par P, Q, les deux suites de nombres résultant respectivement de ces substitutions : — i° La suite P ne peut présenter moins de variations que la suite Q ; — 20 le nombre des racines réelles de l'équation f(x) = o,
mais en outre, la même propriété fournit un caractère au moyen duquel on peut reconnaître d'une mauière certaine quand cette séparation est complètement effectuée. Pour ces deux raisons, j'ai pensé qu'il ne serait pas sans intérêt de reprendre ici la proposition énoncée, et de faire voir comment elle peut se déduire de la théorie des fonctions dérivées, indépendamment de l'algorithme particulier sur lequel reposait sa première démonstration.
Ensuite , m'appu yant sur la propriété citée et profitant des travaux de M. Buclan et de ceux de Fourier, j'indiquerai, pour résoudre les équations, un procédé mixte qui, réunissant autant que possible, la rapidité de la méthode de Newton avec la sûreté de celle de Lagrange. me parait offrir les avantages de 1 une et de l'autre sans en avoir les inconvénients.
2. Supposons donc, pour démontrer la proposition énoncée ci-dessus (i), que l'on ait effectué les substitutions successives
soient —,,—,, deux réduites consécutives de la fraction continue qui PI
comprises entre p et q , ne peut jamais surpasser celui des variations perdue* dans le passage de l'hjpothese x=p à l'hjpothhse x=q; — 3° quand le premier nombre est moindre que le second , la différence est toujours un nombre pair.
Pour l'historique de ce théorème , ainsi que pour l'examen des avantages qu'il présente dans les applications et les points de vue sous lesquels il pouvait laisser quelque chose à désirer, nous renverrons aux Leçons d'algèbre de M. Lefébur> de Fourcjr.
Il est surprenant que Fourier n'ait pas cherché, dans son ouvrage , à démontrer la proposition qui fait l'objet principal de la présente note, et qui seule, à ce qu'il nous semble , pouvait donner à sa méthode tout le degré de rigueur et de précision dont elle est susceptible. Tl a bien , à la vérité , dans les Mémoires de l'Institut (année 1827) , énoncé que la réduction en fractions continues devait toujours effectuer la distinction des racines réelles et des racines imaginaires; mais il n'a donné aucune preuve de cette assertion , et n'a pas non plus expliqué de quelle manière ce départ pouvait s'opérer. — [D'un autre côté, l'on croit qu'un<proposition relative à cet objet se trouvait dans ses papiers. Il est à craindre que la nouvelle perte que les sciences viennent de faire dans la personne de M. Navier. ne nous prive de ce document qu'il eût été intéressant de posséder. ]
résulte de ces transformations , et y le dénominateur complet de la traction intégrante qui vient immédiatement après , de sorte que l'on ait
x —VL±J£-
l'équation transformée en y pourra alors être considérée comme le résultat de la substitution immédiate de cette valeur de x dans l'équation proposée en x\ de même que réciproquement, en éliminant y entre cette transformée et la valeur précédente de x, on retomberait sur l'équation primitive.
Cela posé, considérons les facteurs réels du premier et du second degré de l'équation en x; examinons les facteurs en y qui leur correspondent respectivement dans l'équation en y; et par suite voyons quelle forme prendra cette dernière équation elle-même.
Soit d'abord un facteur réel du premier degré (x — et). Il et» résultera
<ir + P
qr + p
d'où
Or, pour que ce facteur du premier degré eu / puisse avoir une variation [et , par conséquent , en introduire au moins une dans l'équation en r] , il faut et il suffit que la racine a. soit comprise entre les deux
réduites consécutives —, et -, ; et comme ces réduites , quelles que
soient les fractions intégrantes successives avec lesquelles on les forme, tendent continuellement vers l'égalité puisque leurs différences consécutives vont sans cesse e. diminuant, il s'ensuit qu'après un certain nombre de transformations , une seule des valeurs de x [supposées toutes inégales entr'elles], pourra rester comprise entre deux réduites consécutives, lesquelles représenteront alors des valeurs de plus en plus approchées de cette racine.
Soit maintenant un facteur réel du second degré, tel que
correspondant à un couple de racines imaginaires
oc = a, =h /S V7 — 1 • [1 en résultera
ce qui donnera le facteur double du premier degré:
et par suite le facteur réel du second degré :
Or, pour que ce facteur puisse introduire des variations dans l'équation en y , il faut nécessairement que l'on ait:
ce qui exige deux conditions: la première, que a. ou la partie réelle des deux raciues , soit comprise entre les deux réduites consécutives
—, et %\ la seconde, que le carré de & ou du coefficient de v — 1 dans PI n
ces deux racines, soit inférieur à la valeur numérique du produit
et à plus forte raison, que /3 soit <.—r-, puisque les valeurs numériques des facteurs
forment une somme égale à
La première de ces deux conditions pourrait bien être remplie indéfiniment , et alors la série des réduites convergerait vers un nombre égal à la quantité et; mais la seconde finira tôt ou tard par ne l'être plus, puisque, les dénominateurs des réduites croissant indéfiniment, la différence de deux réduites consécutives peut devenir moindre que toute quantité donnée.
Il résulte de là , que par la suite des calculs, on parviendra toujours a une équation qui se trouvera dans l'un de ces deux cas: ou que tous ses j acteurs réels , tant du premier degré que du second, seront composés de termes entièrement positifs ; ou bien que ces fadeurs seront positifs à l'exception d'un seul de la forme (y — <p), <p étant un nombre positif et > i, Dans le premier cas, l'équation n'aura évidemment que des permanences; dans le second, on sait déjà qu'elle doit avoir un nombre impair de variations, et nous allons prouver que ce nombre impair finit toujours par se réduire à un. — {Voyez une Addition à la fin du cahier.
3. Pour cela, faisons un moment abstraction du facteur {y — <p) et de tous ceux qui lui correspondaient dans les équations en x, x' , x" . ■ . . ; puis, dans le produit des autres facteurs de l'équation en x , produit que nous appellerons X et que nous supposerons du degré m, remplaçons x par
lï + p =£,! /Y - w h;. £
qj+ v 1 i (ij + p ) 1 1 {l'J + p)
ou simplement faisons x= A-f- u, en posant, pour abréger,
