THÉORIE NOUVELLE

Du Mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe;

Pab m. st.-guilhem,

Ingénieur des Ponts-et-Chaussées.

Lemme i". Si les droites oa,, oa%, oas, etc., représentent les composantes de la vitesse oa dont un point o est animé, je disque si l'on fait tourner un corps solide d'un mouvement de rotation autour de l'axe oa, avec une vitesse angulaire égale à oa, on pourra considérer ce corps comme tournant à la fois d'un mouvement de rotation autour des axes oa„ oat, oa3, etc., avec des vitesses angulaires respectivement égales à oa, , oa^ , oa3 , etc.

Pour le démontrer, menons par le point o un plan perpendiculaire à oa ; prenons dans ce plan un point m situé à l'unité de distance du point o; si nous supposons ce point doué d'une vitesse angulaire é<*ale à oa autour de oa, le corps dont il s'agit étant un corps solide, il suffira de prouver que le point m satisfait aux conaitions énoncées. Or, menons par le point m un plan perpendiculaire à om; projetons sur ce plan les droites oa, oa,, oa%, etc. et appelons ces projections/?, p, , pt, etc. : puisque des droites parallèles se projettent toujours sur un plan suivant des droites parallèles , il est clair que la droite p représenterait en grandeur et en direction la résultante des vitesses p,, « f p3, etc., si le point m était doué de ces vitesses. Imaginons que les droites p, p„ p„ p3, etc., formant un système solide, tournent autour du point m dans le plan perpendiculaire à om, jusqu'à ce que la droite p vienne coïncider en direction avec la vitesse du point m; elle coïnci-

tfVPTmBRE i836. 4°

3io JOURNAL DE MATHEMATIQUES

dera aussi en grandeur avec cette vitesse , car la droite oa étant paral-l lèle au plan de projection s'est projetée sur ce plan dans sa véritable.' grandeur. La vitesse angulaire du point m sera donc la résultante des vitesses p, , pit p3 , etc. , dans leur nouvelle position. Désignons par l„ /„ l3, etc., les distances du point m aux axes respectifs oa,, oa„ oa3, etc. On voit facilement par la manière dont nous avons obtenu les droites pt> l\> P3> etc. que l'on a les relations

pt sa oa,.lt, p% = or/j./,, pz = oa3.l3, etc.

Mais les droites p,, p^, p3, etc., dans leur nouvelle position , sont respectivement perpendiculaires aux axesotf,, oalf oa%, etc., et distantes de ces axes des quantités /,, l2, l3, etc.: donc le point m peut être considéré comme tournant à la fois d'un mouvement de rotation autour des axes oa,, oat, oa3, etc. avec des vitesses angulaires égales à oa,, oa2, oa3, etc.; donc, etc.

Observation. Le sens dans lequel le corps tourne autour des axes oa, , oa„ oas, etc. , est déterminé par la condition que si l'on fait coïncider successivement les directions de ces axes , sans altérer le mouvement de rotation du corps autour de ces axes, avec l'axe primitif oa, le corps tournera autour de oa dans le sens où le corps tournait autour de cet axe.

Lemme 2. Si uu corps solide en mouvement renferme un point fixe, on peut se représenter le mouvement du corps comme un mouvement de rotation autour d'un axe dont la position varie au commencement de chaque instant et reste fixe pendant cet instant.

En effet, soit o lepoint fixe; m un point quelconque du corps dont la vitesse ne soit pas nulle. Menons par le point m un plan perpendiculaire à la vitesse de ce point ; il est facile de voir que tous les autres points du corps situés dans ce plan , auront une vitesse perpendiculaire à ce plan. En effet , soit m' un autre point du corps situé dans ce plan : puisque le point m' reste à une distance constante du point o, sa vitesse sera nécessairement perpendiculaire à om' : elle sera aussi perpendiculaire à la droite mm' , car cette droite faisant au bout d'un instant un angle infiniment petit avec sa première position ( sans quoi il y aurait des points du corps, situés à une distance finie du point fixe,

PURES ET APPLIQUÉES. Su

qui auraient des vitesses infiniment grandes, ce qu'on ne suppose pas), le point m' se mouvra nécessairement comme le point m suivant une droite perpendiculaire à mm! \ donc la vitesse du poiut m' est perpendiculaire à la fois aux deux droites om', mm' ; donc elle est perpendiculaire à leur plan. Si l'on construit d'une manière semblable le plan correspondant à un autre point du corps non situé dans le premier plan , il est visible que l'intersection de ces deux plans devra être immobile, car autrement les vitesses des différents points seraient à la fois perpendiculaires aux deux plans, ce qui est absurde. Donc, etc.

L axe immmobile autour duquel le corps tourne pendant un instant, à une époque quelconque, est l'axe instantané du corps à cette époque.

Nota. Les deux lemmes précédents sont relatifs à des pi*opriétés purement géométriques des corps solides: nous n'avons voulu employer pour les établir que des considérations de pure géométrie.

Recherche des équations différentielles du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe.

J'appellerai force effective la force qui agissant dans la direction de la vitesse produirait dans le premier instant la variation qu'éprouve cette vitesse dans cet instant.

Lorsqu'un corps sera considéré comme tournant à la fois autour de plusieurs axes, je nommerai la force effective correspondante au mouvement de rotation qui est censé avoir lieu autour de l'un des axes, la force effective de rotation autour de cet axe.

Le corps solide que nous allons considérer ayant un point fixe, j'imaginerai que l'on ait mené parce point trois axes rectangulaires ox, oy, oz , immobiles dans le corps, et pour simplifier les calculs, je supposerai que ces trois axes sont les trois axes principaux du corps relatifs au point fixe.

Je regarderai , comme positifs , les moments des forces qui tendent à raire tourner le corps, i°. autour de l'axe ox , des/ positives vers les z positives ; 2'. autour de l'axe or , des z positives vers les x positives ; j°. autour de l'axe oz, des x positives vers les^- positives.

L'axe instantané aura sa direction positive déterminée de manière

5,2 JOURiNAL DE MATHÉMATIQUES

qu'en faisant coïncider celte direction avec la direction positive de l'axe ox par exemple, le corps tournera des y positives vers les z positives; il est facile de voir que si l'on fait coïncider la direction positive de l'axe instantané avec la direction positive de l'axe oy ou de l'axe oz, le corps tournera des z positives vers les x positives ou des x positives vers les y positives.

Les vitesses angulaires du corps autour des axes ox , oy, oz s'obtiendront, pour une époque quelconque du mouvement, en prenant sur la direction positive de l'axe instantané une longueur égale à la vitesse angulaire du corps autour de cet axe et en projetant cette droite sur les trois axes ox, oy, oz; les projections représenteront, pour la grandeur et pour le signe , les vitesses angulaires du corps autour des trois axes. Si ces projections sont positives , les mouvements de rotation auront lieu, i\ autour de l'axe ox, dcsy positives vers les z positives; 2°. autour de l'axe oy, des z positives vers les x positives ; 5°. autour de l'axe oz, des x positives vers les^- positives. Si quelqu'une de ces projections est négative, le mouvement de rotation correspondant aura lieu en sens contraire.

Cela posé, appliquons à chaque point du corps une force égale et contraire à la force effective qui sollicite ce point ; il est évident qu'en vertu des liaisons qui unissent invariablement les différents points du corps, il y aura équilibre entre les forces nouvellement appliquées, les forces centrifuges développées autour de l'axe instantané et les forces motrices. Donc la somme des moments des forces effectives par rapport à chacun des axes ox, oy, oz, est égale à la somme des moments des forces centrifuges , plus la somme des moments des forces motrices , par rapport au même axe.

Évaluons chacune de ces sommes. Soit m un point du corps dont la masse est m, p sa distance à l'axe instantané, o> la vitesse angulaire du corps autour de cet axe. La force effective qui sollicite la molécule

m a pour expression mf -£-; elle peut, d'après notre premier lemme,

être remplacée par les trois forces effectives de rotation ma ■£, mb^t,

rncj autour des axes ox, oy, oz; a, b, c, désignant les distances du point m aux axes ox , oy, oz, et p, q , r les vitesses angulaires du

PURES ET APPLIQUÉES. 5iS

corps autour des mêmes axes, lorsque le corps est considéré comme tournant à la fois autour de ces trois axes.

Les moments de ces forces autour des axes ox, oj, oz sont respectivement ma%-£, mb*-?-, me* 4- 0'» d'après une propriété facile

dt ' dt ' dt r l '

à démontrer des axes principaux , les forces effectives de rotation autour de l'un des axes principaux se font équilibre autour de chacun des deux autres (*). Donc, la somme des moments des forces effectives, par rapport à chacun des trois axes principaux, est égale à la somme des moments des forces effectives de rotation autour de ces axes, par rapport aux mêmes axes. Donc, si l'on désigne par A, B, C les moments d'inertie du corps, par rapport aux trois axes principaux, les sommes des moments des forces effectives

autour de ces axes seront respectivement A J- , B ^- , C — .

Passons à l'évaluation des moments U, V, W des forces centrifuges. Soient x, y, z, les coordonnées du point m, par rapport aux axes ox, oj, oz; h la distance de l'origine des axes au plan perpendiculaire à l'axe instantané, mené par le point m; la force centrifuge du point m sera évidemment égale à mii'p. Cette force sera équivalente, à cause du point fixe, à la force ma h appliquée au point m, suivant une droite

(*) Considérons la force mb -£ ; le moment de cette force autour de l'axe ox est, dt

..,.,,.. „ , dq x dq comme il est facile de le voir par une ngure , — mo — .j.jrr^ Y-.mxjr.

signe — provient de ce que la force mb — tendant par hypothèse à faire tourner le

point m, qui estdans l'angle des coordonne'es positives, des z positives vers les x positives, tendra à faire tourner ce point, autour de l'axe ox, des z positives vers lcs^ positives ; par conséquent son moment par rapport à l'axe des x sera négatif.) La somme des moments des forces effectives de rotation autour de l'axe des j-, par

i apport à l'axe des x, sera donc — -~ "î.mxy, d'où l'on voit que ces forces se feront équilibre autour de l'axe des x, si l'on a tmxy = o , c'est-à-dire si l'axe des x est un axe principal du corps. En faisant les mêmes calculs pour tous les autres cas, on tirera toujours une conclusion semblable ; donc, etc. Si les axes ox, oj, oz n'étaient pas les axes principaux du corps , ces mêmes calculs feraient connaître les moments des forces dont il s'agit.

Si 4 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

parallèle à Taxe instantané. Cette dernière force fera avec les axes des angles dont les cosinus seront rfc - , =fc -, dz - (le signe -f- ou le

signe — ayant lieu suivant que la force est parallèle à la directiou positive ou négative de l'axe instantané). Les projections de cette force sur les axes ox , oy, oz seront donc ztzmcoph , dz mcoqh , dz masrh : par conséquent , les moments de la force mco*h autour des axes ox , oy, oz, seront, soit que l'on adopte le signe supérieur ou le signe inférieur, mmh ry — qz) , mcah(pz — qx) , m<t>h(qx — py).

Remarquons d'ailleurs que le plan mené par le point m perpendiculairement à l'axe instantané a pour équation

en substituant pour h cette valeur dans les expressions précédentes et faisant la somme de tous les moments relatifs à chaque axe , on aura

U = 2m (ry — qz) (px + qy + rz) , V = 2 m (pz — rx) (px + qy -f- rz) , W= 1m(qx — py) {px ■+■ qy + rz) ,

ou simplement, en observant que l'on a 2myz=o, Hmzx—o, 1mxy=.o,

U= rq(B - C), Y =pr(C- A), Wb qp(k — B).

Il ne reste plus à évaluer que les moments des forces motrices données par rapport aux axes ox, oy, oz, ce qui ne peut présenter aucune difficulté, lorsqu'on connaît la grandeur et la position de ces forces par rapport à ces axes ; en désignant les trois sommes de moments de ces forces, par rapport à ces trois axes, par F, G, H, on aura définitivement les trois équations suivantes :

Af = F-f-r2(B-C),

Crf7 = H + #- B).

Ces équations feront connaître, à une époque quelconque, les vitesses angulaires du corps autour des trois axes principaux.

Pour compléter la solution du problème que nous nous sommes proposé, il reste à déterminer la position d'un des axes principaux à une époque quelconque. Pour cela (Planche 1, fig. 1 ) du point o, comme centre avec un rayon égal à l'unité, décrivons une sphère ; soit ABC le cercle suivant lequel elle coupe un plan fixe dans l'espace; x ,y, z les points où les axes principaux ox , oy} oz , viennent rencontrer la surface de cette sphère; A le point où le grand cercle xj vient rencontrer le cercle fixe ABC. Soit %[/ la distance angulaire du point A à un point fixe D du cercle ABC; ô l'angle que l'arc A.r fait avec l'arc AD et •>{,, l'arc Ax. Il est évident qu'au moyen des trois quantités 4' 6 et <p le point x sera parfaitement déterminé dans l'espace. Cherchons les variations qu'éprouvent les trois quantités -s}/, G et <p dans l'instant dt. D'après les principes du calcul infinitésimal, la variation de chacune de ces quantités sera égale à la somme des variations infiniment petites qu'elle éprouvera en faisant tourner le corps successivement autour des trois axes ox, oy, oz, avec les vitesses angulaires p, q , r.

Nous désignerons la variation dune quelconque de ces quantités résultant de la rotation du corps autour de l'axe ox par la caractéristique d, ; autour de l'axe oy par d%, autour de l'axe oz par d3. D'après cette convention, on aura d^ = d,-^, -^-d^ -f- d^ , et ainsi des autres.

Supposons qu'en faisant tourner le corps autour de l'axe ox, desj positives vers les z positives, le cercle Ax ait pris la position ax; qu'en faisant tourner le corps autour de oy, des z positives vers les x positives, le cercle Ay ait pris la position a' y; enfin, qu'en faisant tourner le corps autour de oz, des x positives vers les y positives, le cercle Br ait pris la position bz.

Abaissons des points a et a! des perpendiculaires sur l'arc Ax , prenons à partir du point A sur l'arc Ax, une longueur AN égale à go" ; abaissons du point N deux perpendiculaires, l'une sur le cercle ax , l'autre sur le cercle a'y.

Cela posé , rappelons-nous que dans un triangle rectiligne rectangle, un côté est égal à l'hypoténuse multipliée par le sinus de l'angle op-

posé ou par le cosinus de l'angle adjacent et que les arcs semblables sont entre eux comme leurs rayons. Nous trouverons facilement à l'aide de la figure , les relations suivantes :

d,<p = dt-\, cos 9 ,

d%<p = dt-^, cos 6 ,

d3<p = rdt

o = d3^, cos 9,

d,-\, sin 9 = pdt . sin <p, rf»4 sm 8 = ï1^ • cos <p , c?3\[/ sin 9 = o,

e?,9 = — jwfo . cos <p , e?a8 = qdt . sin (p , rf39 = o;

de ces équations on déduit immédiatement,

d<p = d-\ cos 6 -f- rdt

d-\ sin 9 = /vfe sin <p + qdt cos <p , V (B)

rf9 s= çtfc sin <p — pcfe . cos (p.

Ces trois équations jointes aux équations (A) résolvent complètement le problème du mouvement d'un corps solide autour du point fixe.

Nota. En tirant des équations (B)^ les valeurs de pdt, qdt, rdt , on obtient facilement les équations que l'on donne ordinairement dans les traités de Mécanique.

PURES ET APPLIQUÉES. 3i7

v^^^.^vl^^^V^^\^\\^\\^u^\v\^^W^U^^^u\\u^^\^\v^\\^^\n\^^^v^^\\^^^>\^'\v^\\'^»'^^-^^1u^^\^^v

NOTE

Relative à la détermination des plans principaux d'une surface du second degré rapportée a trois axes quelconques ;

Par M. St GUILHEM ,

Ingénieur des Ponts-et-Chausse'es.

Soit

( Kx'-{- Bj'-f- Cz'H-D/s + Ezx-\-Fxy = Gx + Hy+ Kz-f-T , 1 ou, pour abréger, <S> (x , y , z) = <p (x , y, z)

l'équation de la surface dont il s'agit. Menons par un point arbitraire (xt>Jrnzî) une droite dont l'unité de longueur projetée sur les axes des x, des^", des z, parallèlement aux plans des^-z, zx} xy, ait pour projections sur ces axes les trois quantités a, b, c. Cette droite sera représentée par les trois équations

(2) x = x, + ar, y = y, -f- br, z = z, ■+■ cr,

r étant la distance du point (xlfyt, zt) au point (x,j\z). Si l'on met pour x, y, z ces valeurs dans l'équation (1), elle prendra la forme... Pr» + Qr + R = o.

Pour avoir l'équation d'un plan diamétral qui divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à la droite (2) , il suffira évidemment de poser Q = o, ou bien

(5) (2Aa + Ec-f-Fè>/4-(2Bè-f-...)Jr/ + (2Cc-f-...)s/4-S = o,

en désignant par S le terme constant.

Septembre i836. 41

r»iS JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Pour que ce plan soit un plan principal, il fautqu'en décrivant de l'origine des coordonnées comme centre, avec un rayon égal à l'unité, une sphère, le plan diamétral de cette sphère, conjugué aux cordes parallèles à la droite (2), soit parallèle à ce plan. Désignons par a , € , y les angles que les axes des z, des x et des/ font respectivement avec les axes desjj', des z et des x ; l'équation de la sphère sera

[ x* -j-y2 -j-z" -J-2JZ cosa-f-2r.r cos£ -f- ixycos y= 1 , [on pour abréger, "if" (x ,y, s)== 1 ;

l'équation du plan diamétral qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à la droite (2), sera

(5) 2 (a -f- c eosê -f- b cosy) xt-\- i{b -f- . . . )y,-\- z{c + . . . z, = 0,

Pour que ce plan soit parallèle au plan (3), il faut que l'on ait

(f\\ 2Aa + Ec-t-F6 2B6 -f- aCc +

^ ' 2(0+,/' cosfe + b cos},) —" i(b-\-...) ~~ 2(c-f-...)

Désignons par L , M, N, P, Q, R les coefficients de x',y2, z*,yz, zx, xy dans la fonction <b(x , y, z) — ?slr(x, y, z), en ayant soin de réduire les trois derniers à la moitié de leur valeur. On aura évidemment les trois équations suivantes :

S La -f- Kb -f- Qc = o, Ra -+- M* + Pc = o , Qa -f- Pb + Ne = o.

Le terme constant étant égal à o dans ces trois équations, le dénominateur commun des valeurs de a, b, c doit aussi être égal à o; car ces valeurs ne peuvent pas être nulles toutes trois à la fois. Formant ce dénominateur, d'après la formule connue, nous aurons immédiatement

L(MN — P') H- R(PQ — NR) + Q(PR — MQ) = o, ou bien ,

(8) LMN — LP* — MQ' — NR1 -f- 2PQR = o.

Cette équation est du troisième degré par rapport à A.

Ajoutons que ses trois ratines sont toujours réelles. Pour le démontrer , prenons A de manière que MN — P* = o , c'est-à-dire de manière que (B — A) (C — A) — (^D — Acosa)' = o. Il est facile de voir que cette équation admettra deux racines réelles, l'une qui rendra M et N négatifs, l'autre qui les rendra positifs. En effet, si l'on prend successivement A= — 00, À = B ou ==C, A=cc , on a nécessairement deux variations de signes ; donc cette équation a deux racines réelles, l'une comprise entre l'infini négatif et la plus petite des deux quantités B et C, l'autre entre la plus grande de ce» deux quantités et l'infini positif. Soient m et n ces deux racines : si on les substitue dans le premier membre de l'équation (8) mis sous la forme — ( MQ" -f- NR" + 2 ^MK. QR) , elles donneront la première un résultat positif, la seconde un résultat négatif. Obsei'vons d'ailleurs que le terme dépendant de A3 dans le premier membre de l'équation (8) , est le suivant :

— x3 ( 1 — cos' a — cos* C — cosa y + 2 cos a, cos € cos y) ,

et que la quantité comprise entre parenthèses dans ce terme est le quarré du volume d'un parallélépipède dont les arêtes contiguës coïncideraient en direction avec les axes et seraient toutes trois égales à l'unité (Voyez Géométrie de Legendre, page 3oo). Donc si l'on fait successivement A = 00 , A = m, A = «, A = — 00, on aura trois variations de signes. Donc l'équation (8) a ses trois racines réelles ; à

chaque valeur de A il correspond une valeur de - et de - ; et

comme c est alors donné par la formule

cH — -\ — - + 1 + 2 cos a H- 2 - cos G -f- 2 - . - cos y ) = 1 ,

Vc' ca c c ce * J

on pourra toujours trouver pour chaque valeur de A les valeurs des trois quantités a,b , c qui détermineront la direction d'un plan priucipal. La surface donnée aura donc trois plans principaux , lesquels seront nécessairement rectangulaires entre eux.

Menons par l'origine trois plans parallèles aux trois plans dont nous venons de déterminer la direction et rapportons la surface aux trois axes suivant lesquels ces trois plans se coupent; l'équation résultante

"2o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

sera de la forme

A'x' -f- B^* -f- C'z' = une fonction linéaire de x ,y , z :

les trois quantités A', 15', C, sont faciles à déterminer, ou plutôt elles le sont déjà ; en effet , désignons par a , b , c , les projections de l'unité de longueur du nouvel axe des x sur les anciens axes; par x' le nouvel .< pour le distinguer de l'ancien : on aura

x = ax' + ...., y = bx' +...., z = ex' -{-...;

donc le coefficient de x' dans la transformée, sera

Art1 -f- B/;! -f- Ce' -4- Dbc -f- Eca -f- ¥ab.

Or, observons que si l'on imdliplie les deux termes du premier membre des équations (6) par a , les deux termes du deuxième membre par b , les deux termes du troisième par c, qu'on ajoute ensuite les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, cette dernière somme sera égale à 2 , la première sera égale au double de la quantité précédente; d'où l'on conclura que la quantité précédente est égale à A. Donc A' est une des racines de l'équation (8). On ferait voir de même que B', C, sont deux racines de lajmême équation. Donc A', B', C, sont les trois valeurs A qu'on a déjà employées pour déterminer les directions des nouveaux axes.

Déterminons maintenant la position des trois plans principaux. Si la surface a un centre à une distance finie, les trois plans principaux passeront par ce point : en désignant par 2T' ce que devient <p[x, y, s)+T, lorsqu'on met pour x,y, s, les cooi'données du centre, [l'équation de la surface rapportée à son centre et à ses axes principaux sera

on suppose qu'on a pris pour axe des x un des trois axes principaux qui rencontre la surface.

Si la surface a son centre à une distance infinie, l'équation (8) est satisfaite en faisant A=o; car si l'on fait A = o dans les équations (7), ces équations coïncident , à une constante près , avec celles qui servent

à déterminer les coordonnées du centre. Donc le dénominateur commun de ces valeurs est égal à o. Donc l'c juation (S) est satisfaite.

Supposons qu'on ait pris pour axe des x la droite pour laquelle on a À = o : cette droite ne rencontre la surface qu'en un seul point, car on a , dans cette hypothèse ,

ika -f- Yc + Yb = o, 2B6 -j = o, 2CC +. . .= o;

par conséquent, la droite dont il s'agit est nécessairement représentée par les équations

2A x -f- Ez -\- Yj = o , 2Y>j -f- . . . = o , 2C2 + . . . = o :

or l'intersection de cette droite avec la surface est la même que celle de cette droite avec le plan <p(x, y, z) = o. L'équation de la surface se réduira donc dans ce cas à la forme

By + C'z* = Gx + Hr -f- Kz -f- T,

laquelle pourra encore se transformer ainsi ,

On suppose dans cette équation que le sens des x positifs a été choisi convenablement.

Si l'on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes au point (£ > * > K) t on aura l'équation

qui est celle de la surface rapportée à son diamètre principal. Les deux plans des zx et des xy sont les seuls plans principaux de la surface ; le troisième est à l'infini.

Examen du cas où la surface donnée est représentée par l'équation

Si l'on fait A = , , l'équation (S), appliquée au cas actuel, devient t3 — (p'*-\-q'i-\-r'*)t1-t- (q'*r'* s,\n'a-t-r''p'1s'm*€ -{-p^q'' s\n'y)t

eu posant

v = yi — cos*a — cos'£ — cos*y-\- 2cosacos£ cosy :

les trois racines de cette équation donneront visiblement les carrés des trois demi-axes principaux.

Cette équation montre eu même temps que si un ellipsoïde est rapporté à trois diamètres conjugués quelconques, i°. la somme des quarrés des demi-axes conjugués est constante; 2°. la somme des carrés des parallélogrammes construits sur les demi-axes conjugués pris deux à deux est constante; 5°. le carré du parallélépipède construit sur les demi-axes conjugués est constant.

On trouverait d'une manière semblable les relations analogues pour les byperboloïdes.

Examen du cas où la surface donnée est représentée par une équation

de la forme —, -f- — , = x.

J iq ar

J'appellerai les tangentes à la surface qui coïncident avec les axes des y et des z, les tangentes conjuguées , correspondantes au diamètre qui coïncide avec l'axe des .r. J'appellerai 2q' et ir les paramètres conjugués du diamètre qui coïncide avec l'axe des x , relatifs aux tangentes qui coïncident avec les axes des y et des z'. Si les axes sont rectangulaires, ces paramètres sont les paramètres principaux de la surface.

Cela posé, soit comme précédemment À := - l'équation (8) appliquée au cas actuel devient

** — (2^ sin1 ë + iq' siny*) t + ^p'q's1 = o.

Les deux racines de cette équation donneront les deux paramètres principaux de la surface.

Celte équation démontre en même temps les théorèmes suivants : Lorsqu'un paraboloïde elliptique est rapporté à l'un quelconque de ses diamètres et à deux tangentes conjuguées correspondantes, si l'on prend sur le diamètre à partir de l'origine une longueur égale à l'unité, sur chacune des deux tangentes correspondantes à ce diamètre une longueur égale à la racine quarrée du paramètre relatif à cette tangente, i°. la somme des quarrés des parallélogrammes qui ont pour côté commun la longueur prise sur ce diamètre, et pour l'autre côté la longueur prise sur chacune des tangentes conjuguées, est constante; 2°. le quarré du volume ou simplement le volume du parallélépipède construit sur les longueurs qu'on a prises sur le diamètre et sur les tangentes conjuguées est constant (*).

On trouverait de la même manière, les relations analogues pour le paraboloïde hyperbolique. Ces relations n'avaient pas, je crois, encore été remarquées.

'*) Après avoir trouvé ces théorèmes par la méthode qui vient d'être indiquée , je me suis aperçu qu'on pouvait les déduire fort simplement des relations connues entre les diamètres principaux et les diamètres conjugués d'un ellipsoïde; en effet, soient a, b, clés trois diamètres principaux de l'ellipsoïde ; a, b' ', c trois diamètres conjugués; «, C, y les angles que les diamètres c', b' , «'font respectivement avec les diamètres b', a', c : on aura les trois relations suivantes c a* -\- b* -}- c1 = a- -|- b'- ■+■ c'" (i) < ô'ca -j- c'a* + a'b' = b'*c'* sin1 a. -J- c'a'* sin1 C -f- d*b'" sin1 y [ a'^c1 = d*b'*c'-\* ,

v- désignant le quarré du volume du parallélépipède dont les arêtes contiguës coïncident en direction avec les diamètres a\b' ,c' et sont toutes trois égales à l'unité. Divisons la première des équations (r) par a- ; la deuxième par a3; la troisième par a*. Faisons croître ensuite a, b, c, a', b', c indéfiniment, mais de manière qu'à

la limite — =i, — = <?,' — ==r, -r=ry,-r = r: nous aurons les relations

q -f- r := q' sin3 y + r' sin3 C , qr = q' r v1 ,

lesquelles donnent lieu aux théorèmes énoncés dans le texte.

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