m ' (jr + Om
d'où résultera, après la multiplication par (j'-\- t)m, le polynôme en/:
Kt-Oj
Maintenant, la fraction « = — — qui entre dans ce polynôme, diminue à mesure que le nombre des transformations se multiplie, et peut devenir, par la suite du calcul, moindre que toute quantité donnée . el comme d'ailleurs le coefficient K conserve toujours une valeur finie, attendu que par hypothèse l'équation primitive en x n'ayant pas de racines égales, la quantité k ne saurait être la valeur approchée d'aucune racine du polynôme X, il s'ensuit que les polynômes transformés tendent sans cesse vers une limite , de la forme
c'est-à-dire [abstraction faite du coefficient K], qu'ils approchent continuellement de la puissance m' d'un binôme dont le premier terme est l'inconnue y de l'équation transformée, et le second terme une
quantité numérique t = ~, I égale au rapport du dénominateur
d'une réduite au dénominateur de la réduite suivante, rapport qui, par conséquent, est toujours moindre que l'unité.
Mais on sait: — i° que dans le développement de toute puissance entière d'un binôme, les coefficients vont en augmentant depuis les deux termes extrêmes jusqu'au milieu.
Donc, dans le développement de K {y + t)~ , en tenant compte des puissances successives de t , puissances qui vont en diminuant puisque t est < i , plus de la moitié des coefficients des puissances successives et ascendantes de y vont en augmentant.
1° .On sait encore que dans ce même développement de (7 -f- t)m, le rapport de chaque coefficient au précédent , en avançant d'un quelconque des deux termes extrêmes vers l'autre terme extrême, va en diminuant , puisque la fraction '" ~ ^ + ' , qui représente le rapport du (n -+- 1)' coefficient au n' , va elle-même en diminuant a mesure que n augmente; ou bien, ce qui est la même chose, le rapport de chaque coefficient au suivant va en augmentant.
Donc, en effectuant sur le polyuome X [que nous supposeron-, pour fixer les idées, du 6e degré], la série des opérations indiquées, et poussant le calcul suffisamment loin, on arrivera toujours à un polynôme en y, tel que le suivant:
py + Qy + R^-4 + Sj3 + Ty> + Uj + V ,
dans lequel , les coefficients P, Q, R étant tous positifs, on aura
en outre les deux inégalités continues :
i° Entre plus de la moitié de ces coefficients depuis Y jusqu'à P :
20 Depuis le dernier terme jusqu au premier :
Û<T<S<R<Q<P Cela posé , en multipliant le polynôme en y par le facteur [y — <p), on aura pour produit:
+ (u - T«or
Or, puisque d'ailleurs <p > 1 , on a d'abord
V < U < U<p, U < T < T<p, T < S < Sf.v.r.7...;
d'où il résulte que toujours au moins la moitié des termes du produit total, à commencer par le dernier, sont négatifs; et quant aux termes de degrés plus élevés en^, un ou plusieurs d'entre eux peuvent être encore négatifs; mais dès que l'un d'eux est positif, les autres de degrés plus élevés le sont aussi. Par exemple , si
d'où
il en résulte à fortiori:
d'où
d'où
et de même des autres termes s'il y en avait davantage.
Ainsi, comme il fallait le démontrer, l'équation que l'on obtient en égalant à zéro le polynôme en y , ne peut avoir plus d'une variation; et d'ailleurs, à cause du premier terme qui est positif, on voit qu'e//e en a nécessairement une.
4. Examinons maintenant comment cette propriété des équations peut servir à faciliter et à simplifier la recherche de leurs racines; et pour cela, expliquons d'abord en peu de mots le procédé auquel on est naturellement conduit par le théorème de M. Budan , lorsqu'on veut exprimer ces racines en fractions continues. ,
Soit, pour cela, l'équation générale:
/ (x) = A + Bx + Cx> + Dxs ■+■ Ex* = 0.
En posant x = a -f- x' , on aura pour transformée :
fia + x) = f(a) + /'(«) t + /» Tk 'à f'"{a) T^rnr
Octobre i836. 4^
35o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Alors, si l'on fait f (a) = A',
jLïl = c< ,
Jl^L— F' 1.2.3.4 ~ '
l'équation en x' pourra s'écrire ainsi :
A' + BV -f. C'x'> -f- DV1 + EV* = o.
Déplus, si l'on suppose a=i, on aura simplement :
et généralement, quel que soit le degré de l'équation eu x, on obtiendra toujours facilement et à la seule inspection, les coefficients de la transformée en x' = (x — 1), d'après la formule du Triangle arithmétique. «•
La même règle qui sert à passer de l'équation eaxà l'équation en {x — i), conduira de celle-ci à la transformée en (x — 1), de là à la transformée en {x — 5). ... ; et ainsi de suite.
On obtiendrait, pour la même équation et par un procédé pareil, les transformées en [x-\-\), (x-\-s), (.r + 3), .. etc., en observant seulement de changer, dans chacune des sommes qu'exige le calcul des coefficients A', B', C, D'..., les signes de tous les termes de rang pair.
5. Cela posé, admettons que l'on ait déterminé les coefficients des transformées successives en (x=p i) , en (xz^pi), en (xzp 3). . ., et que l'on soit parvenu ainsi, d'une part à une transformée en (x — l) qui n'ait plus que des permanences, et d'autre part à une transformée en (x -f- V) qui n'ait plus que des variations.
Cette opération faite, on connaît les parties entières de toutes les racines réelles que l'équation en x a ou peut avoir.
En effet [les racines entières étant supposées déjà extraites], pour que deux nombres entiers consécutifs, dzrr, =fc(rt-f- i)[a pouvant d'ailleurs être nul], comprennent une racine ou plusieurs, il est nécessaire , relativement aux racines positives, que la transformée en {oc — a) ait plus de variations que la transformée suivante en (pc — a — i), et pour les racines négatives, que la transformée en {x + à) ait moins de variations que la transformée en (x-j-a-t- i). Mais ne nous occupons que des racines positives (*).
Si donc, clans le passage de la transformée en (x — a) à la transformée en (x — a — i), un certain nombre de variations ont disparu, alors seulement il y a lieu de supposer l'existence de racines réelles comprises entre a et (a + i), en nombre égal au plus à celui des variations perdues.
Dans cette hypothèse , on pose x — a = —, ; et les coefficients de
l'équation en x' s'obtiennent en renversant simplement l'ordre des coefficients de l'équation en (x — a) [ et changeant, s'il y a lieu et si l'on veut, tous les signes , afin de rendre le premier positif] ; puis ou calcule les coefficients des transformées en (pc' — i), en (x' — 2), en
(pc' — 5), jusqu'à ce qu'on arrive à une transformée qui n'ait
plus que des permanences.
La valeur x' devant être plus grande aue l'unité pour toute valeur réelle de x comprise entre a et (rt+i), il s ensuit qu'il ne sauraitexister de pareilles valeurs de x si l'équation en (x' — 1 ) n'avait déjà plus que
(*) Dans les applications , il est préfe'rable pour la simplicité' de la lue'thode , de ramener la recherche des racines négatives à celle des racines positives, en changeant préalablement le signe de x dans l'équation proposée. Par ce moyen, on évite le procédé de calcul des transformées en (x ■+■ i ) , (x -f- 2). . . .
des permanences; et généralement, le nombre des racines réelles de l'équal ion proposée, comprises entre a et (a-f- i), peut être tout au plus égal à celui des variations de l'équation en (x' — i).
Maintenant, pour qu'une valeur de x' [ou plusieurs] soit comprise entre b et (&+ i), b étant un nombre entier positif au moins égal à l'unité , il faut que , dans le passage de l'équation en (pc' — b) à l'équation en (x' — b — i), un certain nombre de variations aient disparu: et c'est seulement dans cette hypothèse que l'on peut supposer des valeurs de x', en nombre égal au plus à celui de ces variations, comprises entre b et (b -\- i).
On fait alors x' — b = —^ ; les coefficients de l'équation en x" s'obtiennent encore en renversant simplement l'ordre des coefficients de l'équation en (x' — b); et l'on calcule de même les coefficients des transformées en [pc" — 1), en {pc" — i), en (x" — 5),. . ., jusqu'à ce que 1 on parvienne à une transformée qui n'ait plus que des permanences.
En raisonnant sur x" comme on a raisonné sur x', on fait , s'il y
a lieu, x" — c = -g , puis x" — d = — , 5 et ainsi de
suite.
On opère, d'ailleurs, comme il vient d'être développé, pour tout système de deux équations ou de deux transformées consécutives, entre lesquelles il a disparu des variations [sans tenir compte, toutefois, de celles qui disparaissent entre les transformées en x' et (pc' — 1), en x* et (x" — 1),. . .]; et l'on pousse chacune de ces séries ou branches d'opérations, jusqu'à ce que l'on parvienne aune équation en aw, telle que la transformée en (xw — l), qui s'en déduit, ou n'ait plus que des permanences, ou ne présente plus qu une seule variation. Toute série d'opérations qui se trouve dans le premier cas, est terminé^ , et ne donne aucune racine réelle. Dans le second cas , au contraire , les valeurs déjà obtenues dans la série correspondante , pour x , x', x", x'", x",. . ., forment une fraction continue dont les réduites successives représentent des valeurs de plus en plus approchées de l'une des racines réelles de l'équation proposée.
6. Ces racines se trouvant ainsi complètement séparées, soit^" l'inconnue de la dernière transformée relative à l'une d'elles. Pour approcher davantage de la valeur de cette racine, nous pourrions continuer
le calcul en suivant toujours la même marche ; et nous serions sûrs de n'avoir, dans toutes les transformées subséquentes , qu'une seule variation , et par conséquent une seule racine positive, laquelle, de plus, serait toujours nécessairement plus grande que l'unilé.
Mais les approximations successives fournies par la réduction en fraction continue ne croissant que très lentement , changeons maintenant notre marche, et exprimons en décimales la valeur cherchée de /, suivant le procédé de Newton.
Ce procédé, dans le cas actuel , et vu la forme particulière à laquelle nous avons ramené l'équation à résoudre, se trouve affranchi des inconvénients qu'il présente dans le cas général ; et en outre , comme on va le voir, il n'exige nullement ici la considération des différentes hypothèses que Fourier a dû discuter dans son ouvrage (*).
Notre équation en y n'ayant qu'une variation, deux conditions faciles à remplir sont seules nécessaires pour assurer la régularité, la simplicité , et la rapidité du calcul qu'exige sa résolution ; et ces deux conditions peuvent même se réduire à une seule, savoir : Que l'on connaisse une première valeur suffisamment approchée de y et moindre que sa valeur exacte , pour laquelle il suffira souvent de prendre sa partie entière.
Afin d'expliquer ceci, faisons y=g-\- h, g étant la valeur approchée et déjà connue de y , et h la quantité positive inconnue qu'il faut ajouter à g pour avoir la valeur totale. En représentant par /"( r)=o l'équation en y, on aura :
/(g+ k) = o, ou , en développant ,
••••+/Cm)^)7^^ = °'
équation qui, d'après le théorème de M. Budan , ne pourra non plus avoir qu'une seule variation.
(*) Voyez sur cet objet, outre les Leçons d'Algèbre de M. Lefébure de Fourcj. le Traité élémentaire d' Algèbre de MM. Majer et Choquet.
- 5 i JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
Maintenant , de l'équation précédente on tire
~~ n§) i/.te)VT^r<f(^>*i.*.3^-'/r;^f;i.a.3...mr
Or , on sait que dans un pareil développement, il est toujours possible de prendre h assez petit pour que le signe de la somme ne dépende que Je celui de son premier terme ; donc puisque h doit être positif, les deux quantités f{g) et /'(g) seront de signes contraires, c'est-à-dire que j (g) étant négatif, f'(g) sera positif ; et alors la variât ion unique de l'équation en h se trouvera située entre le terme tout connu f(g) et le terme du premier degré hf'(g). Telle est la première condition que nous exigeons avant de procéder à l'approximation newtoirienne ; et cette condition sera toujours aisée à remplir : quand la partie entière de j, prise pour g, ne suffira pas, on cherchera le chiffre des dixièmes par les moyens usités, le chiffre des centièmes si cela était nécessaire, et ainsi de suite; mais, nous le répétons, très souvent la partie entière suffi ra , et elle ne sera même pas toujours indispensable.
Cette première condition remplie, les fonctions dérivées f"(g) ,
/'"(§)> ■ • • ■ etc-' seront toutes positives; et en prenant fif\ pour la valeur de h , on aura nécessairement une quantité trop forte.
Quant à la limite de l'erreur, il est clair que si l'on nomme M la plus grande valeur que puisse prendre le plus grand des coefficients de h'', 7z3, . . . dans l'accolade , cette erreur sera moindre que la somme des termes de la progression
ou
ou enfin, plus simplement, et à fortiori , elle sera moindre que
Quoique la valeur numérique de cette expression soit très facile à calculer, nous pouvons encore, à l'exemple de Fourier, obtenir une évaluation plus simple de la limite de l'erreur, en ne considérant que le coefficient de h* : car il résulte d'une proposition démontrée par
PURES ET APPLIQUEES. 555
Lagrange , que si g et g' sont deux nombres comprenant y, et ne différant, par exemple, que dutie seide unité d'un certain ordre décimal, le premier nombre g étant ainsi une limite inférieure de y, et le second g' une limite supérieure, l'erreur commise lorsqu'on fait
h — ~J,, f est toujours moindre que - Jf » h*. Par conséquent, la fraction - tuLv , que nous représenterons maintenant par M, étant
déterminée une fois pour toutes dès le commencement du calcul pour deux valeurs de g et g' qui ne diffèrent que d 'une unité, à'im dixième..., pourra servir dans toute la suite des opérations, a apprécier l'erreur commise sur l'évaluation de h : il suffira pour cela de multiplier M par la fraction variable h*, ou simplement par l'unité de l'ordre immédiatement supérieur au premier chiffre significatif de //.
Ainsi, tant que l'on ne connaîtra que la partie entière de la racine, on devra faire h = i ; et pour que l'on puisse alors passer sans recherche intermédiaire à la détermination des chiffres décimaux, il faudra que
i\I soit <C — : c'est la seconde condition dont nous avons parlé;
quand elle ne sera pas remplie, on déterminera par des essais directs; comme nous l'avons dit plus haut, le chiffre des dixièmes. On pourra ensuite chercher le chiffre des centièmes en divisant — f(g) par /'(g), pourvu toutefois que M soit < î ; sans quoi il faudra aussi déterminer directement le chiffre des centièmes ... ; et ainsi de suite.
Généralement, représentons par n\e nombre des chiffres décimaux déjà déterminés, etpar v le nombre des chiffres delà partie entière de M. Quand M sera compris entre r et o, i , v sera égal à zéro; quand M sera moindre queo,i, v deviendra négatif, et sa valeur absolue représentera le nombre de zéros placés entre la virgule décimale et le premier chiffre significatif; enfin, dans le cas particulier ou M serait une puissance exacte de 10 ou de o, i , la valeur de v, positive ou négative , serait l'exposant de cette puissance (*).
Cela posé, pour que l'on puisse obtenir une nouvelle valeur approchée de la racine avec ri chiffres décimaux exacts, «'étant >•«, et
(*) Le nombre n est également susceptible de devenir négatif , ce qui poivrait arriver si tous les chiffres de la partie entière même n'étaient pas encore déterminés.
(ri — ri) étant le nombre des nouveaux chiffres décimaux , il faudra que l'on ait
io» ■ i
— - < ou = — -. , \o'n ioD '
OU I02n— ï— n' -> qu = I,
ou enfin in — v — n! > ou = o.
Par conséquent, le nombre (ri — n) des nouveaux chiffres décimaux qu'il sera permis de calculer, est égal à (n — v) ; ou bien, le nombre total des chiffres alors connus, ou ri, est égal à m — v ; et ainsi il est constamment le double du nombre des chiffres connus par l'approximation précédente, plus ou moins [suivant la valeur de M] le nombre constant v (*).
Au reste , tout ceci a été longuement expliqué par Fourier dans son Analyse des équations. Seulement ici , nous le répétons, à cause de la forme particulière à laquelle l'équation a été ramenée , le quotient de — f (g) par f(g) est toujours une limite supérieure de la racine, et ce nombre diminué d'une unité du dernier ordre décimal, toujours une limite inférieure ; et c'est cette dernière qu'il faut prendre pour valeur de g dans l'approximation suivante.
Une remarque est encore nécessaire relativement à la valeur du quotient dont nous parlons : ce quotient n'est ordinairement pas exact ; et lorsqu'on a déterminé les n' chiffres cherchés , on néglige les suivants. — Or, si cette partie négligée approche beaucoup à'u/ie unité de l'ordre précédent, on devra [la limite de l'erreur ayant été prise nécessairement au-dessus de sa valeur exacte] on devra regarder comme probable que la partie restante est inférieure à la véritable valeur de la racine ; et alors on prendra cette partie pour la valeur suivante de g. Il n'y aurait qu'un très petit inconvénient à se tromper sur ce point, et l'on reconnaîtrait immédiatement l'erreur à l'approximation suivante : car alors f(g) se trouverait positif au lieu d'être négatif comme il le devrait, la nouvelle équation en h ayant perdu sa variation. — Au
(*) Dans les cas ordinaires, les chiffres qui exigent une détermination directe, sont les deux premiers de la racine, quel que soit d'ailleurs le nombre de ceux qui composent la partie entière ; quant aux nombres de chiffres déterminés après ces deux-là dans les approximations subséquentes, ils suivent la loi de la progression fj i : a : 4 c 8 : 16 : etc.
contraire, lorsque la partie du quotient que l'on aura négligée ne sera qu'une petite fraction de l'unité de l'ordre précédent, il sera probable que la partie restante n'est pas inférieure à la véritable valeur de la racine ; et l'on devra retrancher une unité. Dans ce cas , une fausse induction se reconnaîtrait encore à l'approximation suivante, parce que l'on retrouverait dans la nouvelle valeur de h, l'unité supprimée à tort. On pourrait alors , soit continuer la résolution avec cette dernière valeur de h, soit reprendre le calcul de l'approximation précédente après y avoir rectifié la valeur de g ; et ce second parti sera toujours à préférer, afin de ne pas compromettre le degré d'exactitude des approximations ultérieures.
Ainsi, dans la règle que l'on vient de donner pour la détermination de la valeur de /*, on peut sous-entendre que le quotient de — f par f est calculé à une demi-unité près du dernier ordre décimal, sauf à vérifier la limite inférieure prise en conséquence pour la valeur de h, afin de s'assurer que cette valeur n'est pas trop petite ou trop grande d'une unité du dernier ordre (*).
7. Maintenant, l'équation en^- étant supposée complètement résolue , il l'esté à savoir avec quel degré d'approximation l'on pourra obtenir la valeur de x lorsqu'on y introduira celle de^.
Pour cela , rappelons que l'on a
1J+ P désignons par y la valeur approchée de y , déterminée au moyen du calcul précédent, et supposée, comme nous l'avons dit, inférieure à la véritable ; et soit e l'unité du dernier ordre décimal de y : la véritable valeur de y sera comprise entre y et y-\-t; celle de x le sera entre
et ainsi l'erreur commise sur la valeur de x en la supposant égale à
(*) Dans le cas où la rectification dont nous parlons ici serait ne'cessaire , il est facile de voir que les calculs déjà faits donnent un moyen très simple de l'effectuer, sans que l'on ait besoin pour cela de recommencer toutes les opération-- ; il est sans doute inutile que nous insistions là-dessus.
Octobre i836. 4^
la première de ces deux fractions, sera moindre que leur différence' ou que
qy ¥p g (y + 0 4- p jpg' — gp')t
q'y+P ?'(v + *)+/>' (?V+fO(7'y + />'+9'0
{q'Y+p'){<fY+p'+q'A ' et par conséquent, à fortiori, cette erreur sera moindre que la valeur
numérique de la fraction — ; -r:.
^ (qv+p)
Donc, pour avoir la valeur de x réduite en décimales, on appréciera à vue le nombre des chiffres contenus dans le carré de la partie eutière de (q'y -f- p') ; et ce nombre de chiffres diminué d'un sera celui des chiffres décimaux exacts que 1 ou pourra obtenir dans la valeur de x , de plus que dans celle de y.
Quant au sens de l'erreur, il dépend du rang de la transformée en /, toute valeur approchée de la racine de cette équation, pourvu qu'elle le soit par défaut et non par excès , jouissant à cet égard des mêmes propriétés que le quotient entier incomplet qu'elle remplace. Cette erreur est donc de sens coutraire à celle que produit la réduite précédente —,, en supposant toutefois que l'on n'ait apporté aucune altération au quotient de qy -f- p par q'y -f-/>'.
8. Pour faire une première application de ce qui précède, je prendrai l'équation suivante, déjà traitée par Lagrange :
x3 — jx + 7 s= o.
Je forme le tableau des coefficients des différentes transformées, d'après la méthode d& numéro 4; et j'obtiens ainsi
D'où je conclus que l'équation propose'e a nécessairement une racine réelle négative comprise entre — 5 et — 4; et que les deux autres racines, si elles sont réelles, ce qui est encore douteux , ne peuvent être que positives et comprises en + i et -f- a.
Occupons-nous d'abord de ces dernières.
Pour reconnaître leur nature et en obtenir une première valeur approchée si elles sont réelles, je fais d'abord, comme il a été dit au
numéro 5, x = i -j- —,, d'où résulte l'équation
x'3 — 4x'< + 5x' + i = o ; qui donne de même, pour les coefficients de ses transformées ,
Ainsi, je vois que les deux racines cberchées sont réelles, et que x' est compris, pour l'une entre i et 2 , et pour l'autre entre 2 et 5. Les racines se trouvent donc déjà complètement séparées ; les deux premières valeurs approchées de chacune d'elles sont :
et pour en avoir une troisième, je fais alternativement les deux hypothèses :
d'où résultent les deux équations en x" :
La première de ces équations n'étant pas encore ramenée à n'avoir qu'une variation, je continue la réduction des racines en fraction continue; et je forme pour cela les deux tableaux (1) et (2) qui
suivent ;
d'où il résulte que la valeur de x' est comprise , pour x, , entre
2 et 3, et pour x^ entre i et 2 ; ce qui donne les deux nouvelles
réduites :
x, — 3, xt £.
Quant aux équations eu x'" qui s'en déduisent , elles sont identiques ; et ainsi la détermination des deux racines positives de l'équation proposée est ramenée à la résolution d'une seule transformée, qui est la suivante :
Cette équation en x'" n'ayant plus qu'une variation, on pourrait passer à la résolution en décimales, suivant la méthode indiquée au numéro 6. Mais rien n'obligeant à adopter cette nouvelle marche pour la première équation qui se présente avec une seule variation; et, de plus, les dernières réduites obtenues n'ayant encore que de très petits dénominateurs ,' circonstance qui ne permettrait pas d'élever de beaucoup le degré d'approximation fourni par la résolution en décimales (voyez 7), je cherche encore une valeur réduite de chaque racine; il y a d'ailleurs pour cela, dans l'exemple actuel, une raison que l'on comprendra dans un instant.
.le forme donc le tableau des coefficients pour les transformées en (x'" — 1 ) , (x'" — 2) , .... ; et j'ai ainsi :
ce qui me donne une valeur de xm comprise entre 4 et 5, et par suite les deux nouvelles réduites
toutes deux exactes à moins d'un centième près. Alors je fais
et l'équation à résoudre sera la suivante, à laquelle je m'arrêterai pour chercher en décimales la valeur de sa racine positive :
f — 20 y1 — gy — 1 = o.
Mais auparavant, j'observerai encore que celle équation est également propre à donner la racine négative de la proposée: en effet, si dans
cette dernière on fait x = — ( 3 4- ) > on obtient de nouveau la
même équation en y; et telle est la raison de préférence que j'ai indiquée tout à l'heure. Ainsi, la racine positive de cette seule équation en y donnera les trois racines de la proposée (*) , au moyen des trois formules suivantes:
^ 22-r + 5 ~ '9.T 4- 4 lJ+ « x' ~ i3jr + 3' *• — ,4>r + 3' x* — J •
Cherchons donc cette valeur de y.
9. Sans avoir besoin de développer le tableau complet des trans-
(*) Cette propriété de l'équation en y mériterait peut-être un examen spécial.
formées eu (y — i), (jt-ça), , on voit sur-le-champ, en
mettant les deux premiers termes sous la forme (y — 20) y', que la racine cherchée et comprise entre 20 et 21 (*).
Je fais donc y = 20 + h ; et en nommant /(y) le premier membre de l'équation en y, et /' (y), f"(y), f'"{y), ses dérivés, j'exécute le calcul suivant {voyez 6) :
/ (20) = 203 — 20.20» —9.20' — 1 = — 181 (**); -j— /' (20) = 3.20* — 40.20' — 9 =5gi;
D'où résulte l'équation en h :
h3 + 4oà* -f- Sgih — 181 = 0;
et par suite , h = ^ — il h' — JL h3.
391 3gi 391
Pour voir si le premier terme de cette valeur de h est suffisant pour m'en faire connaître , sans erreur, le chiffre des dixièmes, je remplace dans le coefficient de h% , le numérateur 4o = 7/"(2o),
(*J Une abréviation analogue peut être employe'e pour l'équation ci-dessus en je*. (**) Cette réduction peut s'effectuer très simplement et à vue, de la manière suivante :
20— ao=o; 0X20=0; o — 9= — 9; — 9X20= — 180; — 180 — 1= — i8t=zf.
De même pour /' s
Et ainsi des autres.
Cette marche, que j'emploierai dans les tranformations suivantes, me paraît préférable à celle de Fourier , en ce qu'outre l'avantage d'une grande simplicité, elle présente encore celui de donner les diverses fonctions /, /', /"•" indépendamment les unes des autres.
par le nombre 43 = \f* (2i)(*) ; et j'obtiens ainsi, pour la valeur de M [voyez 6) réduite en décimales,
M = ~~ =: o,n , a très peu près.
A la rigueur il faudrait, pour remplir la seconde condition exigée au numéro 6, que M ne dépassât pas un dixième; mais comme l'excès est peu considérable , et que d'ailleurs Mh* n'est pas la valeur exacte de l'erreur, mais une limite supérieure de cette erreur, je puis me permettre, sauj vérification du résultat obtenu en conséquence, et sauf les observations faites au numéro 6, de prendre pour la valeur
de h. à un dixième près, la fraction r — . Or , cette fraction , réduite en décimales , donne
h r= 0,46 ; donc 4 est la valeur probable du chiffre des dixièmes de y , ce qui se vérifiera en effet à l'approximation suivante; et d'ailleurs, on voit dès à préseut, que le produit o, 11 x (o, 4)* est moindre que o, 02, et que par conséquent la valeur de h dépasse o, 44- Mais nous devons, pour le moment, nous en tenir au premier chiffre.
Je fais donc maintenant j = 20,4 + h'; et pour obtenir les coefficients des'diverses puissances de h' qui entrent dans le développement de f (20,4 -f- h'), j'effectue le calcul suivant, profitant ainsi des valeurs déjà calculées de f(2o), f'{io), et f"{p.o):
f (30, 4) = (o,4)3 + 40 (o,4)1 4- 59 1 M)' — lSl ?
\ \f (20, 4) = 3 (0,4)' -h 80 (0,4)' + 39i ; £gf (20,4) = 3 (0,4)' -f- 4o;
(*; Le numérateur de M s'obtiendra constamment , dans une équation du troisième degré , en ajoutant à la valeur numérique déjà calculée pour \f{g), trois unités du dernier ordre décimal. — On peut établir pour chaque degré une règle analogue.
(**) Les quantités désignées par = étant constantes et égales à 1 dans toute
la suite du calcul , je me dispenserai dorénavant de les indiquer.
16, 16 4-3gi,
Je divise ensuite — i8,i36 par 4- 423,48; le quotient, à un demi-millième près, étant o,o43 , je fais h' = 0,042, et j'ai ainsi pour nouvelle valeur de y ,
Observons en passant, que l'incertitude dont la valeur de la limite M restait affectée dans le calcul de la première approximation, se trouve maintenant détruite; car on a
{f (20,5) 4'>5 1 /' (20,41 = 4^4» = 7^ ou = °'°9 ?
et ainsi la valeur de M est bien réellement et pour toute la suite du calcul, inférieure à 0,1.
Je fais actuellement y = 20, 442 4" h"> et je développe comme ci-dessus les valeurs de y(2o,442)> de fi de \f" . . . ., en y faisant servir les valeurs déjà obtenues pour f (20,4), f\io,[\). . . ., etc.
j/'(20,442)=5(0,0 42)»4-82,4(0,042)'4-423,48 TTî/,(20,442)=3(0,042)'4-4I,2!
Maintenant je divise cette valeur de f par celle de f ; et le quotient, à une demi-unité près du septième ordre, étant
o, o 00 6490, je fais h' = o, o 00 6489,
d'où y = 20, 4 42 6489'; ^
et je continue le calcul de la même manière.
J'obtiens ainsi les valeurs suivantes, que je ne fais que rapporter :
ttCTOBRE |836. /±n
Continuant, et abrégeant encore, j'obtiens pour dernière approximation de la valeur dey,
valeur exacte jusqu'à la trente-unième décimale.
Une approximation de plus me donnerait soixante- trois décimales; mais j'abandonne ce calcul qui ne présente d'autre difficulté que celle de trouver un espace suffisant pour y placer tous les chiffres à leurs rangs respectifs.
10. Reste à substituer ce résultat dans les expressions trouvées au numéro 8 pour x, , xit et x3; ce qui donne
00 ' ~266 7 54 4365 03486948 0968052761493247' 392 4 IO 33o2 74327077 9876384805259861
6b 3 27 g468 85420064 g45gi66o2i883o57 Xs ~ 20 4 42 6489 6180668S 3 1 "'1388673961079"
Enfin, si l'on veut exprimer les valeurs ^le x,. x,, x3, en décimales, il faut observer que la valeur de y remplace le dénominateur incomplet 20 dans les réduites
Or, les deux premières pouvant être calculées exactement avec quatre décimales, et la troisième avec deux, il s'ensuit que si l'on remplace le nombre entier 20 par la valeur trouvée de y, x\ et x% pourront être obtenues exactement jusqu'à la trente- cinquième décimale inclusivement, et x3 jusqu'à la trente- troisième. Au reste, on peut aussi obtenir exactement les deux dernières décimales de x3 , en observant que la valeur absolue de cette racine doit être égale à la somme des deux autres. Et l'on a ainsi
xt = 1, 692 021 4?1 63o og5 8G9 627 814 897 002 obg 14,
xt = 1, 356 895 867 892 209 445 8p4 5gg 5io 021 5oo 58,
— x3 = 3, 048 gTj 53g 622 5o5 5i3 522 214 4°7 °2^ ^69 72,
valeurs exactes jusqu'à la trente-cinquième décimale inclusivement; l'approximation suivante eût conduit jusqu'à la soixante-septième .
11. Je vais encore m'occupera quelques exemples; mais je n'en pousserai le calcul *jue jusqu'à la séparation des racines, ce qui est suffisant pour le but principal que je me suis proposé, et je ne ferai qu'indiquer le tableau des opérations.
Deuxième application.
x* — I2JT4 — 2X3 -f- 37«r* -f- iox — 10 = o.
Cet exemple, dont je dois la communication à la complaisance de M. de Fourcy , est très propre à faire ressortir l'avantage de la réduction en fraction continue; carie premier membre étant le développe-
ment du produit des trois facteurs
x* + ix — i , x' — ix — i, et xl — 5, dout les racines sont respectivement
x = — i =fc ya , x = i =fc: \/5 , et x = =fc \/5 ,
a toutes ses racines réelles. Et bien que deux d'entre elles soieut comprises entre + 1 et + 5, et deux autres entre — i et — 3, on va voir que la séparation s'en fait avec la plus grande facilité.
