CD E F G

274 — 55o — io5+ 26+14

+ 1+ 12+ 48+ 66+ 1— 5o + 6 + io{+ 196+ 42 — ko — ^9~l~ 6 + 6 + i85 — 220 — 492' — 166+ 61+ 42 + 6 — 584—1212— 114+ 6i8+36i+ 78 + 6 — 84-+2184+4776+2962+841+114 + 6 + + 4- + + + +6

Résume : six racines réelles.

i " entre o et i ,

Positives/2 x — 2 "+" Jl

i" entre o et — r , ]Negalives<

Troisième application .

— 6xs + 4ox3 + 6ox% — a B C D E F G

y ' j5 racines dout 2

^' I douteuses

xz=.—, : une racine réelle.

, £ / 2 racines dou-

? I teuses.

oj+1+6 o — 4°H~(3°+43l+429 1 1+ + + + + + +

2 racines imaginaires.

D E F Gl

o| — 1 — 6 0+40 — 60— 1+1 une racine réelle, et i|| — 27 — 125 — 235—90—- 5o+5+i|| 2 racines imaginaires.

Résumé.

Quatre racines imaginaires ; Une racine réelle entre o et + 1 ; Une racine réelle entre o et — 1.

i3. Quatrième et dernière application.

Je considère une dernière équation que je trouve à la page 196 du i5e cahier du Journal de l'École Polytechnique , et qui résulte d'un calcul pris pour exemple par M. Bret , dans ?a théorie de l'élimination.

-^o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Cette équation est du 9e degré ; mais elle a pour racine + 1 et — 1 ; j'y supprime donc les facteurs (x — 1) et (x + 1), quoique ces facteurs puissent facdement se découvrir par la méthode même ; et j'obtiens alors pour l'équation à résoudre ,

4x7 — tir6 — 7-r5-r- 8x* + 7X3 — -îbx% — 22X — 5 r= o

Racines positives.

ABC DEFGH

i>2 racines l'/douteuses.

une racine

~*~ x'î réelle.

£i II2 racines imaginaires.

Racines négatives.

A B C DEFGH

1 1 4 racines •r'J douteuses.

lî

Cfae seule racine réelle comprise entre 2 et 5.

1 ) 4 racines x" S douteuses.

4 racines imaginaires .

Addition au numéro 2.

Comme le calcul de la recherche des deux racines indiquées par les variations du facteur réel du second degré, produit de deux facteurs imaginaires du premier, ne se termine que quand ces deux variations disparaissent entre une transformée principale en y et sa première transformée secondaire en(jr — 1), il est nécessaire, pour compléter les développemens contenus dans le numéro 2, de faire voir que ces deux variations finissent en effet par disparaître entre deux pareilles transformées.

Et en effet, si l'on pose f=z 1 + f ', et que l'on ordonne par rapport à y' , on obtient

îtd - *)*+ *>*

+ m - •)"+ *]/ + ri<$ - «)'+ *$

Or, on voit d'abord que le coefficient du terme en j'3 et le terme sans j', sont essentiellement positifs , car ils ne sont respectivement autre autre chose que

(q -<]'*)> + q'- (2% et [fa — q'ct) +{p — /,'*)]" + fa' + p'T P •

Quant au coefficient de f , il peut se mettre sous la forme suivante : 2q'li? "~ ") (<? — ?'* "+■ P ~ P'a) + W + P') 6'] '

ou , ce qui est la même chose ,

Maintenant, d après une propriété des tractions continues, , , , est compris entre —, et a; de sorte de f , . \, — a.), étant de même signe que (^ — «M , est de signe contraire à (%-, — aj- et par suite le produit (% — a, y , p , — a) est négatif. Comme d'ailleurs la somme de ses facteurs vaut d= ( —, — , (/) = >, j , ,) ? et que par conséquent ce produit a lui-même pour valeur maximum — T--7- — r-, nombre qui peut devenir moindre que toute fraction don- ., , • , i /. . , .

née, us ensuit que sa racine carrée ou — mr~. — rr finira par devenir

moindre que /3 ; et alors le facteur du second degré en j' que nous considérons, n'aura que des permanences; ce qu'il j allait prouver.

11 est bon de faire également une observation sur les facteurs réels du premier degré et de la forme (/ — -<p), pour lesquels nous avons dit que l'on doit avoir <p > i. Le calcul que l'on exécute peut bien , à la vérité , douner implicitement lieu à de semblables facteurs dans lesquels le nombre <p soit moindre que l'unité'. Mais outre que ces facteurs doivent évidemment perdre leur variation à la transformation suivante , il est facile de reconnaître encore , qu'ils correspondent à des racines réelles de l'équation proposée, exprimables par des fractions continues identiques jusqu'à la précédente réduite exclusivement, à la fraction calculée; de telle sorte que pour représenter ces racines, il faudrait reprendre la même fraction continue, en altérant seulement la dernière réduite par une augmentation convenable du quotient incomplet qui avait servi à la former.

Il serait sans doute superflu d'entrer dans plus de détails à ce sujet.

MÉMOIRE

Sur une classe a" Equations à différences partielles Par C- STLR3I.

Les géomètres ont résolu un grand nombre de problèmes relatifs à la distribution de la chaleur dans des corps de différentes formes et aux petits mouvements vibratoires des corps solides élastiques, des corps flexibles et des fluides, en supposant ces corps homogènes et identiques dans toutes leurs parties. Dans la théorie de la chaleur la fonction inconnue qui représente la température variable d'un point quelconque du corps dépend de l'intégration d'une équation à différences partielles contenant sous forme linéaire cette fonction sa différentielle ou dérivée première par rapport au temps et ses différentielles partielles du premier et du second ordre, quelquefois même d'un ordre supérieur au secoud par rapport aux coordonnées d'un point quelconque, toutes ces différentielles étant multipliées par des fonctions connues de ces coordonnées. Dans les questions dynamiques, les fonctions inconnues qui représentent les déplacements d'un point quelconque suivant certaines directions dépendent aussi d'équations à différences partielles linéaires qui renferment les différentielles secondes de ces fonctions par rapport au temps et leurs différentielles partielles de différents ordres par rapport aux coordonnées, multipliées par des fonctions connues de ces coordonnées.

Les solutions qu'on a données de ces diverses questions sont analogues à celle du problème de la corde vibrante qu'on doit à D. Ber- Notbmese i836. 48

nouilli et à Lagrange. Elles se composent de la somme d'une infinité de solutions particulières d'une même forme déterminée. Les cas les plus simples qu'il faut d'abord considérer , sont ceux où la fonction inconnue ne dépend que du temps et d'une autre variable indépendante qui fixe la position d'un point quelconque du corps; alors chaque terme de la série qui représente cette fonction satisfait séparément à l'équation à différences partielles qui a lieu pour tous les points du corps et à des équations particulières qui ont lieu à ses limites. Le terme général de la série est le produit de deux quantités distinctes; la première est une exponentielle dont l'exposant est égal au temps multiplié par un certain paramètre ou bien c'est le sinus ou le cosinus du temps multiplié encore par un paramètre; la seconde quantité est une fonction de la variable indépendante autre que le temps, et du même paramètre, laquelle dépend d'une équation différentielle ordinaire de forme linéaire; on obtient cette équation en substituant dans l'équation à différences partielles, à la place de la fonction inconnue le produit des deux facteurs dont il s'agit , et supprimant le premier qui se trouve commun à tous les termes de l'équation. Cette seconde fonction qui ne renferme pas le temps et qu'on peut multiplier par un coefficient constant arbitraire, doit aussi satisfaire aux équations aux limites; et de là résulte une équation transcendante déterminée dont l'inconnue est le paramètre qui multiplie le temps dans l'exponentielle, ou sous le sinus ou le cosinus, et dont les racines en nombre infini sont toutes les valeurs de ce paramètre, valeurs qu'il faut substituer successivement dans le terme général de la série. On achève ensuite la •«olution en déterminant par des méthodes connues les coefficients arbitraires de cette sério , de telle sorte qu'à l'origine du temps elle représente l'état initial de la fonction dont on cherche l'état variable.

Ces problèmes, même restreints, comme nous venons de le dire au cas d'une seule dimension deviennent beaucoup plus difficiles, quand le corps dont on s'occupe n'est pas homogène dans toutes ses parties, c'est-à-dire quand les qualités spécifiques, telles que la densité ou l'épaisseur, la capacité de chaleur, la conductibilité, l'élasticité, sont variables d un point à un autre suivant des lois quelconques. Les équations du problème étant posées, il faut toujours commencer,

PURES ET APPLIQUEES. 375

comme précédemment, par chercher des valeurs particulières de la fonction inconnue qui satisfassent à toutes ces équations , à l'exception de celle qui exprime l'état initial qu'on suppose arbitraire. Une quelconque de ces valeurs particulières est encore le produit de deux quantités de même nature que dans le cas de lhomogénéité. Mais ici l'on est arrêté d'abord par la difficulté d'intégrer l'équation différentielle linéaire à laquelle doit satisfaire la fonction de la variable indépendante autre que le temps et du paramètre indéterminé , et ensuite par celle de former et de résoudre l'équation transcendante qui doit donner les valeurs de ce paramètre. Dans les questions même les plus simples et les plus conuues relatives à des corps homogènes, où l'on est parvenu à intégrer l'équation différentielle dont il s'agit et à écrire l'équation transcendante, sous forme finie ou en série, on a quelque peine à démontrer que cette équation doit avoir des racines réelles en nombre infini, et à reconnaître la marche et les propriétés distiuctives des fonctions qu'on obtient en substituant ces différentes racines à la place du paramètre indéterminé dans l'expression analytique de la fonction satisfaisant à l'équation différentielle qu'on a intégrée. On ne voit pas non plus comment les altérations qu'on peut faire éprouver aux qualités spécifiques du corps influent sur la grandeur des racines et sur les propriétés des fonctions qui en dépendent. Ces discussions me semblent indispensables, si l'on veut bien connaître les circonstances les plus intéressantes de ces phénomènes; elles doivent même nécessairement précéder la recherche de l'intégrale générale.

Le présent mémoire a pour objet les questions nouvelles que je viens d'indiquer rapidement. Je crois les avoir résolues pour les cas assez nombreux où la fonction inconnue dépend d'une équalion linéaire à différences partielles contenant cette fonction , sa différentielle première ou seconde par rapport au temps et ses deux différentielles première et seconde par rapport à une autre variable qui fixe la position d'un point quelconque du corps, la fonction et ses différentielles étant multipliées par des fonctions connues de la dernière variable.

Pour plus de précision et de clarté, j'ai choisi comme exemple un

problème qui a toute la généralité qu'on peut désirer dans le cercle que je me suis tracé. Je considère la distribution de la chaleur dans une barre droite ou courbe d'une matière homogène ou non homogène et d'un épaisseur constante ou variable, mais assez petite pour que tous les points d'une section plane perpendiculaire à l'axe aient sensiblement la même température au même instant; cette barre est placée dans un milieu d'une température constante qu'un peut supposer égale à zéro M. Poisson a donné dans son grand ouvrage sur la chaleur les équations de ce problème et leur a appliqué ses méthodes générales d'intégration; mais il ne s'est pas occupé des propriétés de l'équation transcendante et des intégrales particulières que j'ai cru devoir étudier. J'ai fait usage dans mes recherches de la théorie sur les équations différentielles linéaires du second ordre que j'ai exposée dans un précédent mémoire publie dans le Journal de M. Liouville. Je vais indiquer sommairement les principaux résultats auxquels je suis arrivé.

Je cherche d'abord suivant la méthode connue que j'ai rappelée plus haut, des valeurs particulières de la fonction qui désigne la température variable d'un point quelconque de la barre; je suppose donc cette fonction égale au produit de l'exponentielle e~" praline fonction V de l'abscisse x et du paramètre indéterminé /'indépendante du temps t. L'équation transcendante en /' à laquelle on arrive n'a pas de racines imaginaires, ainsi que M. Poisson l'a démontré pour cette équation et en général pour toutes celles qu'on rencontre dans les problèmes de physique mathématique. Je fais voir en outre que la même équation n'a pas de racines égales et qu'elle na pas de racines .légatives. Je prouve ensuite à l'aide de ma théorie sur les équation? différentielles linéaires du second ordre, qu'elle a une infinité de racines positives dont lp.^us petite peut être zéro dans un cas particulier. En substituant chacune de ces racines à la place du paramètre indéterminé dans la formule Ve— ", on a donc une infinité de solulions particulières, ^atis(aisant à l'équation à différences partielles et aux deux équations qui ont lieu aux extrémités de la barre. Si les températures initiales sont exprimées par la fonction V qui correspond à l'une des racines de l'équation en r, les températures variables de tous les points seront exprimées par le seul terme \e~". elles seront donc à

PURES ET APPLIQUEES. 57:

chaque instant proportionnelles à leurs valeurs initiales , et pour des temps croissants en progression arithmétique, ces températures, abstraction faite de leur signe lorsqu'elles seront négatives, décroîtront en progression géométrique d'autant plus rapidement que la racine r sePa plus grande. Les propriétés qui distinguent ces états simples en nombre infini où les températures variables sont exprimées par un seul terme ne sont autres que celles des fonctions V correspondantes aux différentes racines de l'équation transcendante. Voici les plus remarquables.

Aucune de ces fonctions ne peut s'évanouir sans changer de signe.

La première de ces fonctions, celle qui répond à la plus petite racine conserve constamment le même signe dans toute l'étendue de la barre.

La seconde, qui répond à la deuxième racine, change île signe une fois pour un point situé entre les deux extrémités de la barre.

La troisième fonction change de signe deux fois entre les mêmes extrémités.

La quatrième change de signe trois fois, et ainsi de suite, jusqu'à 1 infini.

Deux de ces fonctions correspondantes à deux racines consécutives changent toujours de signe l'une après l'autre alternativement ; celle qui répond à la plus grande de ces deux racines s'évanouit la première, en partant de l'une des extrémités de la barre. Entre deux points consécutifs de la barre pour lesquels une de ces fonctions est nulle, il y a toujours au moins un point pour lequel l'une quelconque des fonctions correspondantes à des racines plus grandes change de signe , et il y a au plus autant de points pom* lesquels cette dernière fonction change de signe qu'il y a d'unités de différence entre les indices de ces deux fonctions.

Ainsi ces fonctions données par une même équation différentielle linéaire du deuxième ordre contenant un paramètre variable, jouissent de propriétés analogues à celles des sinus des multiples d'une variable qui sont les fonctions les plus simples de cette espèce; mais les intervalles compris entre les points consécutifs pour lesquels chaque fonction change de signe ne sont pas égaux; ils ont des relations déterminées avec les qualités spécifiques de la substance, et