Occupons-nous maintenant des deux intégrales simples

(5) <p(t) = fP cosltdt,

(6) 4 (t) = f? sin Itdt ,

dans lesquelles nous supposerons P = Q sia.qt. En adoptant cette valeur de P, les intégrales fPdt,fP cos tdt, fP cosztdt, .... que nous désignerons par P,, P,, P3,. . . . s'exprimeront soas forme finie tandis que les intégrales fPtdt, f Pjdt, fP3dt , .... f? sin tdt , /P sin 2tdt,. ... se réduiront à des fonctions elliptiques. La fonction P

peut se développer en une série de sinus d'arcs multiples de t : désignons par P' l'ensemble des (i — i) premiers termes de ce développement , et par P" la différence P — P' : nous aurons

tp (t) = /P' cos Itdt + /P" cos Itdt, \,\t) = /P' sin Itdt +/P" sin Itdt :

les intégrales / P' cosltdt, fV sin Itdt , que l'on réduit aisément en nombres, fournissent des valeurs approchées de <p (t), -\[. (t). Pour estimer approximativement les restes

X = /P" cos Itdt, Y = /P" ânltdt,

représentons par 2 H sinpt le développement de P" : il viendra

sin U 2 *g»y coslt 2 PBJ^PJ p' — r p- — /*

cos/, 2 ^™? - sin It 2 t^JSiPi,

ce qui donne

si l'on pose

X = — U sin It — V coslt , Y = U coslt — V sin It,

ÎT /H sinpt v „ pïïcospt

Lorsque i est un très grand nombre, on a, à très peu près,

P^T> — °' p<-l*—p' et il en résulte

U = o, V = 2 ^s^ = C - f'P'dt,

C étant une constante que l'on déterminera de la manière suivante.

L'intégrale f Vdt, où l'on peut remplacer P" par P — P', s'exprime en

quantités finies. Nous la représenterons par P", , et il est aisé de voir que l'intégrale nouvelle fY'xdt se réduira aux fonctions elliptiques. Or en multipliant par dt et intégrant, entre les limites t = o, t ='7T, les deux membres de l'équation

H cospt ç p.

le premier membre -se réduit à zéro, et l'on en conclut

c=irp",

dt

la constante C est donc déterminée.

Ou aura des valeurs de U et V plus approchées en suivant une marche analogue à celle du n° 3, c'est-à-dire en mettant les fractions

T . ■ " , sous la forme

- — n = — r- -t— ; ' H- etc..

p— l P P — 1 p- -4 et en observant que si p, désigne un nombre entier < i, les séries , Hsmpi pTl cospt

P—Pi p'—pr

peuvent toujours être sommées à l'aide de fonctions elliptiques, comme le lecteur s'en convaincra sans peine. Lorsque / = o, on a 4 (0— °et cp (t) s'exprime sous forme finie.

Enfin il n'est pas moins facile d'appliquer des raisonnements semblables aux intégrales doubles

<p, (t) = fdtfP cos Itdt, \x{£) = fdt/V sm Itdt.

P ayant toujours pour valeur Q sincjt : ce qui complète notre travail. Lorsque / = o, la seconde de ces intégrales se réduit à zéro. et la première se ramène aux fonctions elliptiques. Ce cas particulier se présente dans les applications, et il est remarquable par sa simplicité.

La méthode , qui m'a conduit aux résultats consignés dans ce Mémoire, me parait assez élégante, et l'on peut en tirer parti pour certaines recherches d'analyse pure.