ou / P'dt
peut s'exprimer par des fonctions elliptiques : on peut réduire de même aux fonctions elliptiques les deux séries
^pHsinpt , H cospt p1 — 1 ' p' — 1
et par suite les valeurs de U, V et de X, Y : c'est ce que nous allons démontrer.
Pour plus de généralité , considérons les deux séries
, /->H sïnpt H cospi P'—P' ' f—Pi* '
dans lesquelles p, représente un nombre entier déterminé et < i. Quand on a p, = i , ces nouvelles séries coïncident avec celles dont nous avons à nous occuper.
On a, comme il est aisé de le vérifier,
/»«,, , pHsinp* , H cospt
/ P"cos/j,^ = cos/>,f2ra V — pts\np,t2. ,A ,
/Vsinp^ = '^0^0 +>. cosf ,* 2 ^
C désignant une constante choisie convenablement et nue nous déterminerons tout à l'heure. En résolvant ces équations par rapport aux quantités
pHsiup/ Hcosp*
il vient
2 £Hjîi!lPi = COSpltr P" cos p.fefc — sin p,t (C —f^ P" sin p.tdt) , ncospt = ànpjr* ¥>cospitdl c-2i^ CC- f P" sin p,ftfc\
P'—Pi' P, J o P, \ J o r J
Mais les intégrales C' P's'mp.tdt, f'P'cosp.tdtou JJJf-V^sinpjdt,
I (P — P')cosp,tdt s'expriment en termes finis ou se ramènent aux fonctions elliptiques : donc il en est de même des deux séries
pYL sinpt H cospt
P*—Pv ' P'—P.* '
et par suite des valeurs approchées de X et Y.
Reste à déterminer la constante C. Pour cela nommons P', l'intégrale / P" sm p,tdt qui s'obtient toujours sous forme finie, et observons que l'intégrale / Y\dt se ramène aux fonctions elliptiques. Cela
posé , multiplions par dt et intégrons entre les limites f = o, t =tt, les deux membres de l'équation
■Df/ n i ^ •*• />H s'n P1 i ^ -c H cos />* P , = C -f- sinp.£2<— — — i — I- p. cosp,<2- r— :
puisque p et p, sont des nombres entiers inégaux , on a
( sinp^t sin ptdt = o, / cos p,t cosptdt = o.
Le second membre de l'équation qu'on intègre se réduira donc à Ctt , et l'on obtiendra sur-lec-hamp
r¥",dt=C.7r d'où C = - TP'.dt,
ce qui détermine la constante C.
Les formules auxquelles on arriverait en poussant jusqu'au bout le calcul que nous avons seulement indiqué sont, je crois, celles dont on fera le plus souvent usage dans les applications pour réduire en nombres X et Y. Mais en continuant à raisonner, comme nous venons de le faire, on en obtiendra d'autres plus exactes encore.
En effet, puisque p, étant un nombre entier quelconque < /, les deux séries
pH s'mpt H cosp<
P'—pF' T-rPv
s'expriment par des fonctions elliptiques, tout se réduit à ramener à des séries de ce genre-là les valeurs de U et de V : on y parviendra, au
. „ , . , p l moins par approximation , si Ion met les quantités „ ^, , . sous
la forme
S ,, = Y- , ' ■ •+• -~-7 4- etc. f—l* p ' p2 — i p1 — 4 / G7 , G"Z , ~ n = 1 + ~T—r "+■ etc- '> p' — i' p1—* ^ p1— 4
et c'est ce qu'on peut toujours faire aux quantités près de lordre — — ,
pour la première équation, et aux quantités près de l'ordre ,^, pour la seconde, en désignant par n le nombre des constantes indéterminées
Décembre i836. 58
G, G, , .... ou G', G'', .... qui entrent dans les seconds membres des équations (ce) : il suffira, en effet, de développer, dans chacune de ces équations, les deux membres en séries ordonnées suivant les puissances descendantes àep, puis d'égaler de part et d'autre les coefficients des n premières puissances de p. Toutefois, pour que cette méthode réussisse, il faut que le nombre i, limite inférieure de la variable/' qui s'étend depuis p= i jusqu'à p= oo , soit pris suffisamment grand par rapport à n.
Dans ce numéro, nous avons toujours regardé le nombre /comme compris entre — f et + £ et comme différent de zéro. Si par hasard ce nombre l est nul, ce qui peut arriver, on aura fP sin Itdt = o et /"P cosltdt = /Pdt r= une jonction elliptique.
4» Les méthodes que nous venons d'appliquer à la détermination numérique des intégrales simples
(1) <p(t) = fP cosltdt, (Y) 4(<) = f? smltdt,
s étendent d'elles-mêmes aux intégrales doubles
(5) <p,{t) = fdt/V cosltdt,
(4) 4.(0 = /W"P sialtdt,
dans lesquelles on a, comme ci-dessus, P = Q cos qt. En effet conservons aux deux lettres P', P7 la signification que nous leur avons attribuée dans le numéro précédent, et nous aurons
<p, (t) = fdtfP' cosltdt + fdtfP" cosltdt, 4, (0 = fdtf?' smltdt -f- fdtfV" sin Itdt :
les deux quantités fdtfP' cosltdt, fdtf?' sin Itdt, dont la détermination n'offre aucune difficulté, fournissent déjà des valeurs approchées de <pt (t) , -J^t (t) : tout se réduit donc à calculer approximativement les deux restes
X , = fdtfP' cos Itdt , Y , = fdtfY' smltdt.
Soit 2 Ucospt le développement de P" : il viendra , en effectuant les
PURES ET APPLIQUÉES: /f55
intégrations indiquées,
x, = - cos/^2 Ètgy^à i ^m^^T,
Y, = - smlt 2 <^WffljT« + 2 Cos/*2&^,
ce qui donne
X, = — U,cos/« — 2 V, sin /£,
Y, = — U, sin/f + 2 V, cos&, si l'on pose
ÎT -. (*' + p') H cospt
u' ~2 (/>■-/>)' ' N ■ - ^ 7^=ïr *
Rappelons-nous maintenant que si p, désigne un nombre entier quelconque < /, les deux séries
H cos pt . pH s\npt
s'exprimeront en quantités finies et en fonctions elliptiques : ce théorème a été démontré n° 5. Cela étant, on ramènera aussi les restes U, , V, aux fonctions elliptiques, si l'on parvient à mettre les deux fractions
/'+/>' lp
(P>-ir> (P*—i>y> sous la forme
£±£. = -?- + 4-, + etc.
lp G , G,p , G2p
et c'est ce qu'on peut toujours faire , au moins par approximation , en disposant convenablement des constantes G', G",. ... G, G,, G,,. . .., et en supposant la plus petite valeur de p, savoir i, suffisamment grande.
Lorsque la valeur adoptée pour i est très grande , on peut se con-
tenter de poser
Jl±£l L lP__ n .
(/>> - ly — P>- i ' (p>- /«)• — •
les termes négligées sont alors respectivement de l'ordre — et de
l'ordre — .. Et si l'on ne trouve pas ces expressions assez approchées,
ou en forme sans peine d'autres plus exactes. La marche à suivre ici est la même que celle indiquée n° 5 pour une recherche toute semblable.
Le cas particulier où l'on a l = o mérite d'être traité à part. Il vient alors
X, = - 2 *ÇJÊ?f Y, = o :
tout se réduit donc à mettre — sous la forme P
— = -; : 7 + etc. :
P p — 1 p*—A or , aux quantités près de l'ordre —, on a
aux quantités près de l'ordre — , on a
p* 3 (/>■—!) 3(^—4)' et ainsi de suite.
