Soit
(') XW = 0
une équation irréductible, et supposons qu'entre deux racines x et x' on ait la relation
7 = Sx,
où a , b, a', b' sont des constantes données. On sait que toutes les quantités comprises dans la série indéfinie
x, Qx, 6*x, S'x,...,
doivent être racines de l’équation (1), ce qui exige que l’une des fonctions Sx, 9*x, etc., soit égale à x. Supposons
(3) Se x = x.
Cette équation aura lieu identiquement, si l’on suppose que a, b, a\ b1 soient commensurables, ou, du moins, que ce soient des fonctions rationnelles des quantités que l’on considère comme connues et dont dépendent rationnellement les coefficients de l’équation proposée. Par conséquent, d'après ce qu’on a vu précédemment , on peut
ecnre
— (a — a cos — 1 ,
Xir
a 1 — 2 a cos h 1
rt‘
en désignant toujours par X un nombre entier premier avec p.
Cela posé, on sait que le degré de l’équation (1) doit être un multiple np de u, et que ses np racines peuvent être représentées comme
il suit [*] :
1 tii
X, 6x, Ô’X,..., B**~'Xy
x„ Sx,, S’x Q^'Xyy
x„ Sx,, S’x,,..., S^'x,,
Km— *1 Sxrt,, S’x„,,..., SM xn ,.
x -+• Sx -t- S’x + ...+ S'*-1 x = /, y dépendra d’une équation (7) F(^) = o,
de degré n et dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quantités connues de l’équation (i) et de la fonction S. L’équation (y) peut n’ètre pas résoluble algébriquement, mais les quantités
x, Sx, S’x,..., S^’x
dépendent d’une équation de degré /j. dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de y, et qui est, comme on sait, toujours résoluble algébriquement. Dans le cas qui noies occupe, et où la fonction S est linéaire, cette dernière équation n’est autre que l’équation (6), et l’on voit, en résumé, que l’équation proposée (t) doit résulter de l’élimination de y entre les deux équations (6) et (7) , dont la seconde peut être considérée comme ayant pour premier membre un polynôme irréductible quelconque de degré n.
En d’autres termes , les équations que nous étudions peuvent être considérées comme obtenues en multipliant un certain nombre n
[*] f'oir le Mémoire d’Abel Sur une classe d'équations résolubles algébriquement, ou mon Cours d’ Algèbre supérieure, vingt-sixième Leçon
ai..
d’équations
de la forme
x -t- Ox 02x -t-
x •¥ Ox -1- 0*x -t- .
x + Ox -t- 0*x -t-.
Qe-'x — jr, = o,
x -t- Ox -t- 0*x +...-+-9“ 'x—j„,— o,
où y, y,iXi, désignent les n racines d’une équation irréductible dont les coefficients sont des quantités absolument arbitraires.
Des équations irréductibles à coefficients numériques et dont deux nu plusieurs racines se développent en des fractions continues terminées par les mêmes quotients.
8. Cherchons maintenant dans quel cas les fractions continues, tlans lesquelles se développent deux racines réelles x' et x d’une équation irréductible, sont terminées par les mêmes quotients.
Il fout et il suffit, (tour qu'il en soit ainsi (n" 2), que l'on ait
as -+- h a1 x -4- N
— Ox,
«, h, a', b' étant des entiers positifs ou négatifs liés par la relation ah' — bd = ± t ;
en outre, pour que x et Ox puissent représenter deux racines d’une équation irréductible, il faut qu’on puisse assigner un nombre entier p, tel qu’on ait identiquement
ce qui exige, comme nous l’avons vu, qu'on ait b' — — [a — a cos — ^ »
\lt
a* — i a cos — -4-1
PURES ET APPLIQUÉES. ib5
). étant un nombre entier premier avec p. Or puisque a, b , a', b' sont
des nombres pntiers, on voit que a cos — doit être un nombre entier,
ce qui ne peut arriver que si p est égal à a ou à 3. On voit par la que la propriété que nous étudions ne peut se rencontrer que cher, les équations irréductibles dont le degré a la forme a « ou la forme in. Nous examinerons successivement ces deux classes d'équations.
9. Si l'on suppôt*- p = a et X = i (X doit être premier avec p , on a
te •+- 1
AJ — — — ■
et
S’jr = x;
a désigne un nombre entier.quelconque, et a' un diviseur île a* -t- t . Si l’on prend pour F(/) un polynôme irréductible quelconque île degré n, et qu’on élimine y entre les deux équations
x -h 9x = y, F(y) = o, ou
, ( nj ii' + A .. .
* ~ Jx [ -J - a” )- °’ 1 = °’
on aura la forme générale des équations de degré an jouissant de cette propriété que les an racines se partageront en « groupes tels que dans chaque groupe de deux racines réelles les fractions continues qui représentent ces racines seront terminées par les mêmes quotients.
Ce résultat peut être énoncé différemment :
Soit a un nombre entier quelconque , a' un diviseur quelconque de n* ■+• i, y une quantité réelle quelconque commensurable ou incommensurable, les deux racines de l ’équation
x* — yx -+-
si elles sont réelles, se développeront en des fractions continues terminées par les mêmes quotients.
On déduit de là une conséquence assez remarquable, lorsque y est commensurable. Dans ce cas, on sait, en effet, que les deux racines de l’équation précédente se développent en des fractions continues périodiques, et que les périodes de ces deux fractions continues sont formées des mêmes termes écrits en ordre inverse. D’où il suit que si la période de la fraction continue qui représente l’une des racines est, par exemple,
on pourra, si l’on veut, prendre pour période la suite inverse si,..., 7, ê, a.
1(1. Supposons fi = 3, on aura, en faisant X = a (le cas de X = i est identique à celui de X = a, on passe de l’un à l’autre en changeant les signes de a et a').
ii'-t- a ■+■ i a'
a est un nombre entier quelconque et a' un diviseur de à1 -4- a ■+- i . Quelle que soit l’irrationnelle x, les fractions continues dans lesquelles se développent
x, Ojc, 5sx,
se termineront par les mêmes quotients. Si donc F(^) désigne un polynôme irréductible quelconque de degré », et qu’on élimine y entre les équations
x 4- Sx 4- 9‘x = y, F{y)=r-o, ou
I aa-t-il»' 3 (a- --a H- 1 H lafa-t-II» ao-i-i |
—rt'+y—Z-U- „• J— I — ? J=°’
on obtiendra la forme générale des équations de degré 3 11 jouissant de la propriété que les 3 n racines se partageront en n groupes, tels que, dans chaque groupe de trois racines réelles, les fractions continues qui représentent ces racines seront terminées par les mêmes quotients.
On voit, en particulier, que les équations du troisième degré qui ont cette propriété sont comprises dans la forme générale suivante :
-h l) (fl1-*- a -
où a désigne un entier quelconque, a' un diviseur quelconque de a* -t- a -+- 1 , et y une quantité réelle quelconque, commensurable ou incommensurable. En faisant y — o, on obtient la solution du cas particulier que M. Lobatto a examiné.
11. I,es équations du troisième degré qui proviennent de la division du cercle en sept ou neuf parties égales, celle du quatrième degré qui provient de la division en quinze parties égales , jouissent de la propriété remarquable qu’on vient d’étudier.
La division du cercle en sept parties égales conduit à l’équation
xl 4- .r1 — 2 x — 1=0,
et si x désigne la racine positive, — x, et — x, les deux racines négatives, on a
la racine x est comprise entre 1 et a, on aura par conséquent, des résultats de cette forme :
La division du cercle en neuf parties égales conduit à l’équation x* — 3r + i=o.
Si l’on désigne par — x la racine négative, laquelle est comprise entre
JOURNAL DE MATHÉMATIQUES — t et — 2, par.r, et x2 les deux racines positives, on aura
ce qui conduit aux mêmes résultats que le cas précédent.
Enfin, l'équation du quatrième degré dont dépend la division du cercle en quinze parties égales , est
Si x et x, désignent les deux racines positives, — x' et — x', les deux négatives, on a
des deux quantités x" et x\ l’une est comprise entre o et i , l'autre entre i et 2, on aura donc des résultats de cette forme :
Ç'-fr- . . .
L'équation proposée résulté de l’élimination de y entre x +■ ~~ — J’ y*-y-i=o.
MtSIe
