DU CALCUL INTÉGRAL

Par M. William ROBERTS.

Tous les géomètres connaissent la courbe enveloppe des perpendiculaires menées aux extrémités des diamètres d'une ellipse [* j. L’arc de cette courbe (M. Talbot l’a montré le premier) s’exprime par une fonction elliptique de première espece avec l’addition d’une partie algébrique, et le périmètre entier est donné exactement par la fonction complète. Dans un Mémoire qui fait partie du tome X de ce Journal , page 177, j’ai considéré la courbe qui dérive de celle de M. Talbot d’après la même construction que cette dernière dérive de l’ellipse, et encore la série de celles qui se déduisent les unes des autres en continuant le même mode de génération. Il résulte d’une formule que j’ai obtenue, que la rectification d’une quelconque des courbes de cette série dépend de fonctions elliptiques des deux premières espèces, ayant toutes le même module, savoir l’excentricité de l’ellipse primitive; l’expression pour un arc indéfini contient toujours, bien entendu, une quantité algébrique, qui s'anéantit lorsqu’on prend la valeur du périmètre entier.

Je vais démontrer, dans cette Note , une propriété assez curieuse des périmètres de la courbe de M. Talbot, et de celle qui la suit immédiatement dans la série dont il s'agit.

[*] On doit é M. Tortolini d’avoir trouvé l'équation de cette courbe, qu'il a présentée sous une forme très-symétrique. 'Journal de M. Crellc, tome XXXIII, pageq3.)