Tome XV.— Jew 1SS
Soient deux ellipses ayant le même grand axe et dont les excentri cités A et c sont complémentaires , en sorte que
Conservons la notation de notre Mémoire, et désignons par S,, S j les longueurs des quadrants des deux premières dérivées de l’ellipse à l’excentricité c\ et soient 2,, 2, les mêmes choses par rapport à l'autre ellipse à l’excentricité b. En prenant pour unité le demi-grand axe commun des ellipses, voici la formule qui contient l’énoncé de notre théorème,
rS,2,
Pour la démontrer, reportons-nous an tome X de ce Journal , page 1 83 ; on y trouvera pour S ,, S, les valeurs suivantes, exprimées en fonctions elliptiques complètes,
S, = AF (c), S,= 3E(c) — {!-+- b1) F (c).
Il est évident qu’on obtiendra les valeurs de 2„ 2 a en permutant A et c dans les formules précédentes, en sorte qu’on aura
d’où il suit sans peine que
en vertu de la relation bien connue de Legendre entre les fonctions complètes de modules complémentaires.
On aurait pu arriver au résultat que je viens de donner, sans recourir A la théorie «les fonctions elliptiques, en employant quelques transformations simples, et en se servant d’une intégrale double remarquable , évaluée par MM. Lamé et Chasles.
PURES ET APPLIQUÉES. au
Ou peut obtenir, sans la moindre difficulté, les expressions suivantes pour S,, S,, à l’aide des formules qui se Souvent dans mon Mémoire ,
s — b f rir s — ni+'-rKWt.
J» ^(l — r’)(r* — 4’) * Jo \/(i — »') '! 1 — C f*)
Pour nous conformer à la notation usitée, remplaçons r par ft dans la première de ces formules, et faisons dans la seconde
ce qui nous donnera
cp= \J\ — fJ.1
(o s t=hf s,=
Jt ^(i —(*’)((*’— b’) J «■ — f*‘; tt*’ — *’)
Il est clair aussi qu’on peut écrire la valeur de de la manière
suivante :
Jo ( 1 — »’) (b1 — »
D'ailleurs, on a évidemment
y l' 1 (i 4- 4' — 3 A*p’) rfa
J Jo V^i — f’) (i — 4'p’)
d’où, en faisant bp = v.
J o tqi — »’) (41 — «’)
En prenant donc les valeurs de S-o S.j, ^-n données par les équations (i), (a) et (3), nous verrons facilement que
iS. + 1. . — =
* * Jt X »/(i — (i‘) (J»’ - 4-j (I - ,*) (6* — ,») ■>
en vertu de la formule de M. Lamé (tome II de ce Journal, page 167).
Il est assez remarquable, ce me semble, que le théorème que nous venons d’établir fournisse le moyen d’énoncer très-simplement et
ai a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
d’nne manière purement géométrique, la formule de Legendre sur les transcendantes elliptiques complémentaires, ou, ce qui est la même chose, révaluation de l’intégrale double de M. Lamé. En nous rattachant à la considération des courbes supérieures de la série dont il s'agit , nous pourrions arriver à un énoncé géométrique d’un théorème plus général , donné par ce dernier géomètre dans le tome IV de ce Journal, page 16a. La méthode serait tout à fait analogue à celle que j’ai suivie dans ma démonstration de deux théorèmes généraux sur les périmètres de quelques courbes dérivées des hyperboles conjuguées [*] (tome Xlll de ce Journal, page 179). Je ferai observer ici qu’on peut donner aux résultats qui s’y trouvent une forme absolument géométrique en substituant aux fonctions elliptiques deux arcs, l’un d’ellipse et l’autre d'hyperbole. Les théorèmes qu’on obtient ainsi sont l’expression des formules à l’aide desquelles I^egendre effectue la réduction des fonctions complètes de troisième espèce à celles des deux premières espèces , en supposant toutefois qu’il existe une relation particulière entre le paramètre et le module. I) reste encore à trouver un énoncé géométrique des formules de Legendre dont il s’agit, dans toute leur généralité, sans aucune restriction.
Il me semble que cette idée de rechercher des propriétés géométriques, qui sont les véritables traductions des formules d’analyse, est très-intéressante, et qu’elle n’a pas attiré l'attention des géomètres autant quelle le mérite. La formule fondamentale de mon Mémoire 1 tome X , page 1 78) offre un exemple très-simple de ce genre. En supposant qu’on prend pour courbe primitive un cercle rapporté à un point intérieur différent du centre, on sait que la première courbe donnée du système négatif sera une ellipse; et si l’on procède à la rectifier à l’aide de ma formule (A), en faisant
[* j Je prends celte occasion de remarquer que n peut s'évanouir dans S» ou ï, , dans ce* deux théorèmes; S, (ou Z,] exprimera ta difference entre l’arc hyperbolique infini et *on asymptote
PURES ET APPLIQUÉES. ai3
on trouvera, pour un arc d’ellipse, une expression qui peut s'écrire ainsi :
aF(A-,9) -t- |3E(A, ç) -+- 7,
a, |3, •/ étant des quantités algébriques. Cette expression n’est autre chose que celle que fournit la transformation modulaire de Lagrange. Elle se présente naturellement , comme on le voit , si l’on regarde une ellipse comme enveloppe des perpendiculaires menées aux extrémités des rayons vecteurs d’un cercle excentrique; on doit remarquer, en outre, qu’elle comporte le théorème célèbre de linden [*].
Cela m’a suggéré la question suivante, que je me suis posée il y a déjà longtemps. On sait que les transformations modulaires d’Abel et de M. Jacobi donnent pour une fonction elliptique de seconde espèce, E(A, p), une valeur qtii peut s’écrire de la manière suivante:
a, fi, 7 étant des quantités algébriques. Quelle est donc la méthode de description d’une ellipse propre à donner le second membre de cette équation comme l’expression directe de son arc? Tontes mes tentatives à résoudre cette question sont restées jusqu’ici sans succès. Espérons que les géomètres ne la regarderont pas comme indigne de leurs talents. Si je ne me trompe, une telle recherche nous conduirait à la découverte d’une foule de propriétés fort curieuses des sections coniques.
Je terminerai cette Note en mentionnant qu’on peut exprimer géométriquement la propriété bien connue des intégrales définies, savoir :
trJt r'
y'i — i’“ Ja V1 —
(Lacroix, Traité , tome III, page 4i3). Cela s'effectue au moyen de quelques cour lies remarquables qui ont attiré l'attention des géo-
[ * | La demonstration géométrique du theoréme de Laotien , par feu Mac Cullagh , repose sur celte propriété de l’ellipse .
ai/, JOURNAL DE MATHEMATIQUES
moires dans ces derniers temps. J'ai fait observer ( tome XII de ce Journal, page /,48) que si l’on prend le lien des projections orthogonales de l’origine sur les tangentes à la courbe rm cos m u = i ,
et si l’on fait dériver de la nouvelle courbe une série d'autres se suc cédant d’après la même loi, l’équation de la n,ime sera
; "" - 1 = cos
Cette cotirl>e se compose d’un certain nombre de boucles fermées égales entre elles, et si l'on désigne par S* le demi- périmètre d’une quelconque de ces boucles , on aura
et si l’on lait r=
Semblablement, on trouvera, pour la (n -h i )‘émc courbe.
S„+, = (mn -f- m — i
d ou l'on déduit sans peine, en ayant égard à la relation (4j,
théorème qu'on peut regarder comme un énoncé géométrique de la formule d’analyse (4)-
En se rappelant que les périmètre* de toutes les courbes dérivées de même ordre, pair ou impair, ne diffèrent que par un coefficient numérique, il est évident qu’on obtiendra un résultat analogue à l’équation (5) en multipliant le périmètre d’une dérivée quelconque, d’ordre pair par celui d’un autre d’ordre impair.
Dublin, le J H octobre 1 8 «•>-
at5
MtVMWl
Suite du Mémoire sur tes applications du symbole ^ ) | * | ;
Pa» m. v.-a. lebesgue,
Membre correspondant do l'inalitui, Professeur à la Faculté des Science* de Bordes ut.
Sommes alternées des racines primitives de quelques équations
binômes.
Les racines primitives de l’équation binôme xp — i sont celles x qui
jouissent de cette propriété que xm — i ne peut être satisfaite par
m < p. Cela arrive toujours en posant
2?r 2rs » "
x — cos b sm — v — i •
C’est cette valeur qu’il faudra supposer à x dans les formules qui suivront.
On reconnaît facilement que si n est premier à p, x" sera une racine primitive; au contraire, si n n’est pas premier à p, x " n’est pas racine primitive. 11 y a donc f(p) racines primitives, en représentant par f ( p ) combien il y a de nombres premiers à p et compris de i à p.
Pour p premier, les racines primitives , en nombte p — i , se distribuent en deux groupes: celles x" qui donnent [ jj = i, forment le premier groupe ; celles xn qui donnent ^ ) = — i, forment le second.
On peut admettre la même classification pour p impair et égal au produit de nombres premiers différents a, b, c,..., c’est-à-dire pour
P = abc....
[*] S'oyri le tome XII (le ce Journal , |>age 4t)7
aif> JOURNAL DE MATHEMATIQUES
Soient donc
on posera
xp = i, P = abc....
n = A- - a -i- IL ? (3 (mod. P),
sous les conditions
A- ^ = i (mod. a), a = i, a, 3,..., a — i, et autres semblables;
d’ou il résulte que n, divisé par a, b, c,..., donne les restes «, /ï, y,..., de sorte que l’on a
De là on voit tout de suite que
et comme
donne
et
2fl . ait
x = cos — -+- sin -p- y — i
x * = cos H sin — y -
2n 2rr r »» a
— I = Xx , d OU JCjSSI,
2 « . 2ïï
r -J. w . Ji TT , M l
ocb — cos -j- -+- sin -y y — I =k x7 , d ou x, = i , et ainsi de suite, on aura
Mais, comme l'on a
2(;)*-,-' = (^),hr *’*>
un calcul tout semblable à celui du § IV donnera
Il faut remarquer que celle quantité serait nulle si l’on avait m non premier à P, car un des facteurs de la somme serait nul.
Pour l'équation x$p = 1, où P= abc... est le produit de nombres premiers différents, les racines primitives sont données par l’expression x où m est un nombre impair premier à 4P et plus petit. Quant à x, c’est, selon la convention,
le 2K .
= (°S |p + »n|pV - '■
Si l'on partageait les racines primitives en deux groupes déterminés par les relations
( = ■+■ i pour le premier groupe ,
= — 1 pour le second, on verrait que, dans la somme
tous les termes où ^ j = 4- 1 se détruiraient entre eux, parce que,
xm et xm s- sP appartenant au même groupe, on aurait, à cause de x’p = — 1,
é X'" 4- X*,‘4"aP== O.
Pour déterminer les deux groupes de racines primitives xm, ou prendra donc
( — 1) '•* f-j = -+- 1 pour le premier groupe,
(— t) 1 l y I = — i pour le second.
On reconnaît alors que x"' et x'“^’p appartiennent à des groupes differents, de sorte que les termes d’un même groupe ne se détruisent plus entre eux.
Dans ce cas , on posera
h = P). -4- 4A ^ « 4- 4B ^ fi mod. 4P),
Tom* XV. — J cist i85o. 28
sous les conditions
a = i,3, 4P-==i (mod. a), a=i, a, 3,..., a — i, et ainsi des autres. Un calcul tout semblable à celui du premier cas donne
— pjt~» p
2,(-l) * a-" = 2(!) S *Pj"2Qx4A:"*...;
le premier facteur du second membre, en y faisant X = i, x = 3 devient
(-r) 1 (sin/n^ - sin3m^ y/~ i = >(-i)~(-i)T^— ,
et, comme tous les autres facteurs donnent le produit
en remplaçant (-i) * i par , v » / , on aura
Le^ second membre devient encore nul quand m n’est pas premier
Pour l’équation x»p = ,, P = abc..., a, b, c,... premier et différents, les racines primitives x” ne peuvent être partagées en deux
groupes ni au moyen du symbole (=), ni au moyen de celui-ci
(p) ’ car on verrait dans chaque groupe les termes se détruire deux à deux. On fera
( 0 8 = t pour le premier groupe,
fJI* — I
(“0 8 (^) =— 1 pour le second ,
ou bien encore
ai9
Dans ces deux cas, on posera
n = PX-t-8A-a-«-8B
sous les conditions
* = i,3,5, 7, 8A -sal (mod. a), x-
pour le premier groupe, pour le second.
/3 (mod. 8 P),
■ ,2,3,..., a — i, H ainsi <J*« auln-s.
et l’on trouvera, dans les deux cas,
p j— i (pj>’-i
et comme l’on a d'où
