sin 2 sin

les côtés

CC' = fi — r = T -4- < = — — (cot — — cot — I

CO — R - m = T +

t n — ml

cot a. cot

I i -+- cot a cot — — 1

la corde

MN = \(n — m)1 -+- 4 nm sm* <*> et la perpendiculaire

KH = y/ nm cos* a -t- cot’ a ;

les rayons

MC. = IX = R = — -4- T = h cot a cot ,

NC = LC = r = t cot a cot

enfin

sin sin (a -4- i) sin (a — t )

nr* (n — m\ 3 .

H1 =(— ) cot * =

d'oû

/ n — m\ / n — m \ /» — *\> /cot «A*

(R - “ JEü) (n - r“ Î5K) “ (— ) (ïSl) ’

formules qui serviront à résoudre tous les cas qui pourront se présenter.

On remarquera encore que les deux angles MON et MHN sont constamment égaux : on peut, par conséquent, faire passer un cercle par les quatre points M, H, O, N, et le rayon de ce cercle est

HM \n m'f -P \n — m)1 rota

a KH — mj’cot'a

La courbe à plusieurs centres la plus fréquemment employée est celle nommée anse de panier, qui représente une demi-ellipse ; on appelle courbe à 3, 5, 7, 9, 11, etc. centres l’anse de panier qui est formée par la réunion de 3, 5, 7, 9, 11, etc. arcs de cercles. Il existe une relation constante entre le nombre q d’arcs de cercles qui composent la courbe entière; celui p des centres nécessaires pour décrire l’anse de panier, et celui l des normales à mener dans chaque quart île l’ellipse pour avoir le nombre d’arcs voulu. Cette relation est exprimée par les équations

Suivant qu’on aura déterminé un plus ou moins grand nombre de normales, la courbe entière se composera de 4> ta, ao, a8, etc. arcs de cercles, et l’anse de panier qui en résultera sera dite à 3, 7, 11, i5, etc. centres. On voit que le nombre des centres forme, dans son accroissement, une progression arithmétique dont la différence est 4; l’imitation de la deini-ellipse ne devrait donc pas donner lieu aux courbes à 5 , 9, 1 3, 1 7, etc. centres.

Les valeurs précédemment rapportées s’appliquent à toutes Ips courbes à plusieurs centres, sans exception : si l’on y joint les données particulières à chaque question, on en déduira avec facilité la solution analytique de toutes celles qui pourront se présenter. On va terminer par quelques applications des principes précédents, choisies parmi les plus simples qui peuvent se présenter.

On n’a pas à considérer ici les conditions physiques, telles que l'élégance des formes, la stabilité des voûtes, la surface du débouché; beaucoup d’auteurs en ont traité de manière à ne rien laisser à désirer : on devra , à cet égard , recourir à leurs ouvrages.

a46 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Problème I. Imiter une ellipse, dont les demi-axes a et b sont donnés, au moyen de quatre arcs de cercles semblables, c'est-à-dire de 90 degrés chacun.

Dans ce cas, les angles OCC' et OC'C ,Jig. 2, sont égaux, et le

triangle rectangle COC' est isocèle. On a les normales n — a et m~b\

les angles

* = 45“ et à = o ;

cota = 1, cot * = cot 2!»°3o' = 1 -+- v'a = a,4i4ai36, et l’on en conclut

HI = 1 et HD = y/^±?:

R = f °— cot aa°3o' =

r — — COt 22° 3o = b — -

Pour l'anse de panier attribuée à Huygens, les données sont les mêmes que dans ce problème, hormis que les deux arcs de petits cercles sont de tao degrés et les deux autres de 60 degrés chacun et que à — 1 5 degrés : ce qui donne alors

cot = cot i5°= a ■+• y/3 = 3,73ao5,

cot — — = cot 3o“ = y'3 = 1 , 73ao5 ;

R = °±* + cot i5° =

r = i±i - î^* cot 30" = SJr*lfc-T-*ijg.

Dans les deux exemples, la somme R -+- r des rayons est constamment égale , dans le premier, à a ■+■ h somme des demi-axes , et dans le second, au grand axe an.

Problème II. Imiter une ellipse, dont tes demi-axes a et b sont donnés, au moyen de quatre arcs de cercles, tels que les centres et les points de jonction de ces arcs soient sur des perpendiculaires IX'. aux cordes AD qui réunissent , dans chaque quart de l’ellipse, tes extrémités des axes.

Bossut démontre, dans ses Eléments de Géométrie, que les conditions de ce problème rendent la différence de courbure des arcs de cercles la moins grande qu’il soit possible; en sorte que le passage d’un arc à l’autre ne saurait devenir, dans aucun autre cas, moins sensible à l’œil.

On a encore

n — a, m = b, a — 45°; cot a = 1 , sin* a = cos1 a — - ;

Hl = ÜR = '— . HD = t/ AD = aHK = qâTT'P;

et en considérant les trois triangles rectangles semblables AOD, CGD et AGC', on obtient

DO = h : AD = yn’-r À1 : : DG = («-ft-WoM-*’ ; DG = R,

AO = a : AD = vn’ ■+ b1 ; ; AG = ; AC'= r,

d’où l’on conclut

n fl* b‘ -f- (fl — b) à1

a1 -b b* — (fl — £) v'a*-*- b1

Problème 111. Imiter une ellipse , dont les demi-axes a et b sont ilonnés, au moyen de quatre arcs de cercles, tels que les points de jonction L de ces arcs tombent, dans chaque quart de la courbe, sur l ellipse même.

Il est évident que le point L doit être commun à l’ellipse et au cercle concentrique extérieur, qui est le lieu géométrique de tous les points de jonction possibles. L’équation de l’ellipse rapportée à ses axes est

celle du cercle concentrique rapporté aux memes axes est

Les valeurs de x et de 7', coordonnées du point d’intersection L, sont déterminées par ces deux équations, et elles doivent dépendre chacune d’une équation du quatrième degré, puisqu’un cercle peut couper une ellipse en quatre points différents. Mais on connaît deux de ces points, \ et D, pour lesquels on a

x — a, y = o, et x = o, y — b;

on sait donc d’avance que les équations auxquelles on parviendra seront divisibles par

ou par

(x — o) (x — a) = x* — ax , (J ~°) b'~ f>) =y* - by ,

et qu'elles seront, par conséquent, réductibles au second degré. Eu effet , ces équations se réduisent à

(« -t- b)* x* — a (rt* — b1) x — a a’ b = o et

a -t- b)2 y2 ■+■ b (a2 — b2)y — a ab' — o;

d’où l’on tire

~ b) ~ V(« + *)*+ 4 ab\

ï ~ Ï(u-Tb) f~ («“*)* vv« -+- b)* -+■ 4aÂj.

Ia>s triangles rectangles LQC et LPC' donnent

R» = a* + (R - b -h ff et

D’où l’on conclut, en substituant et réduisant,

n (fl + ft)*d 1 fa — V fa ft)1 -4- 4 «ft

(a -H b)‘^(n — b) \!{a -4- 6)‘-t- 4 ab

Dans ces expressions, les signes supérieurs sont les seuls qui répondent à la question; les signes inférieurs se rapportent au quatrième point d’intersection de l’ellipse et du cercle qui lui est étranger.

Les arcs de cercles qui composeront la courbe ont chacun trois points communs avec l’ellipse; ils en auraient quatre, et, par conséquent, s’en écarteraient moins encore si, au lieu de lui être tangents aux extrémités des axes, ils la coupaient entre ces extrémités et les points de jonction. Seulement alors les axes de la courbe obtenue ne seraient plus égaux à ceux de l’ellipse; le grand axe serait moindre que celui de l’ellipse, et le petit axe serait un peu plus grand. On aurait la limite dans laquelle peuvent être placés les centres G et G' pour satisfaire à cette condition , en menant par le point L une normale LN à l’ellipse; tous les rayons compris dans l’angle GLN jouiraient de la propriété demandée. Pour calculer l’étendue de cette limite, on sait que, dans l’ellipse, la sous-normale

donc la distance N'A du pied de la normale à l'extrémité du graud axe est

Torn» XV. -Jriilti 3a

a5o JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

et la différence C'N', de cette quantité au rayon C'A = r, est

a — - — r— x — r = —j— [fl -t- 3 h — \{a -t- b )* -+- f\(ib ] = r — — •

On trouve de même que la différence CN est

R A aL Z-Èljr - -~[3u -+- b - y (a -t- 5)* + l\ab ] = j- — R-

Ces différences sont essentiellement positives , et il est fort remarquable que les termes " et y expriment les rayons de courbures extrêmes de l’ellipse.

Probi.ème IV. Imiter une ellipse, dont les demi-axes a et h sont donnés, au moyen de quatre arcs de cercles, tels que leurs rayons R et r soient entre eux dans le rapport des rayons de courbures extrêmes de l’ellipse, c’est-à-dire ;; a* b*.

On a toujours l’angle a = 45°, pour lequel

cot a = i et sin a — -=•

Substituant ces valeurs dans la derniere équation générale trouvée ci-dessus, cette équation devient

On a de plus

d’où l’on conclut

R = pp [(a* -t- b *) ±: (a — b) y «* -t- î* | et

r = ~r [(•** ■+■ &*) * (a — é) vâ*"+"ïï ].

La différence des rayons que donnent les conditions de ce problème est en général trop grande, et les courbes qu’elles produisent sont d’une forme peu gracieuse.

Problème V. Imiter une ellipse, ilont les demi-axes a et b sont

PURES ET APPLIQUÉES. a5i

donnés , en partageant chacun ties quarts symétriques de la courbe par une normale MT, tig. 3 , qui coupe les deux axes sous des angles

Fig. 3.

égaux, et en remplaçant chaque section du quart de Ut courbe par deux arcs de cercles semblables, c'est-à-dire de aa°3o' chacun.