I.es équations

8/ -f- 4 — q et 4 / ■+■ 3 = p,

dans lesquelles / = i, donnent

q= ii et p = y,

la courbe demandée se composera donc de douze arcs de cercles, et sera du genre de celles dites à sept centres.

Ayant formé, à l'un des foyers F, un angle AFV de 45 degrés, c'està-dire égal à celui que la normale doit faire avec les axes, et ayant pris, à partir de l’autre foyer, une droite

VF'=AB = aa,

qui rencontre en V la droite FV , si l’on éleve sur le milieu de VF la perpendiculaire SM, et qu’on divise l’angle FMF' en deux parties égales, le point M appartiendra à l’ellipse, et la droite MT sera la normale cherchée , puisqu’elle est parallèle à FV et que FM -f- MF' = art.

.la..

a5a JOURNAL DE MATHÉMATIQUES

Par les méthodes précédemment indiquées, on trouvera les centres H et H' des cercles concentriques convenables à chacun des angles ATM et MTD; on mènera les tangentes CIL' et C”H'L, de manière à ce qu’elles fassent, avec la normale MT, des angles égaux a de a2°3o' chacun; les intersections C, C, C' et C" seront évidemment les centres des arcs cherchés dont les rayons seront AC*, LC*, MC' et L'C = DG.

Pour appliquer le calcul à cette construction, nommant ri et tri les normales qui forment l’angle ATM, n"et tri celles qui forment l’angle MTD, R' et r', R" et r" les rayons cherchés correspondants , s la sous-

normale de l’ellipse, dont la valeur est — x; on aura

x = et r = s =

, a’ — b' xrrl , b'

AT = ri — a , - et MT = tri =

b 1 ya'-t- b*

MT - ri— ?{L. et DT = A ;

ya*4 6* yfl’4 61

et en substituant ces valeurs dans les expressions générales rapportées plus haut , on en déduira les valeurs de R' et ri, R" et r', et toutes les autres circonstances du problème qu’il faudra connaître.

11 est toujours facile de calculer, par les procédés trigonométriques ordinaires, la longueur des rayons des arcs cherchés, et par conséquent de résoudre analytiquement tous les problèmes du même genre, quelque compliques qu’ils soient; il serait donc superflu de donner de plus grands développements à une théorie qui ne saurait offrir aucune difficulté dans son application.

On aperçoit aisément que le polygone C, C', C", C", A, quel que soit le nombre des centres employés et le système de courbe adopté, est toujours égal au plus grand rayon CD, et que si le nombre des centres était infini, ce polygone deviendrait la développante de la courbe tracée.

Ce n’est pas seulement à l’imitation de l’ellipse que s’applique la théorie qu’on vient d’exposer ; elle convient également , et s’applique avec la même facilité, à toute autre espèce de courbes, ce qui n’a pas

lieu pour les procédés employés jusqu'à ce jour. Ainsi, par exemple, la parabole est souvent employée dans les raccordements des routes sinueuses [*]; il serait fréquemment commode de la remplacer par des arcs de cercles, et sans rien changer aux formules générales qui ont

[*] On pourrait , dans ce genre, se proposer le problème suivant :

Deux droites MT et M' T', fig. 4 » étant données, réunir leurs extrémités M et M' par

Fig. 4.

une courbe à trois centres , imitant une parabole dont /‘axe soit dans la direction des parai lèles MK, M' E' .

Élevant, par les points M et M', des perpendiculaires MD et M'D aux droites données, ainsi que d’autres perpendiculaires MN et M' N' aux parallèles ME, M'E'; celles-ci se* confondront avec les ordonnées de la parabole aux points M et M’, et les premières avec les normales. La sous-normale r, dans la parabole dont l'équation est

/* ss a ax ,

est constamment égale au demi-paramètre a. Il en résulte que, si Ton mène NS et N' S' parallèlement à MD et à M'D, et que si, par les intersections S et S7, on abaisse, sur MN et M'N', la perpendiculaire AS', cette perpendiculaire sera Taxe de la parabole a imiter, et MP et M'P' seront des ordonnées, puisque PS = P'S' sont des sous-normales s = a.

Maintenant, que, sur Taxe AS', on décrive une demi-circonférence qui passe, soit par les points S et G , soit par les points S' et G'; G et G' étant tels que

PG = -p PM « P" G' = 4= P' M',

ya Va

on obtiendra, par sa rencontre avec Taxe AS', le point A qui est le sommet de la courbe, puisqu'on a aussi

AP ou AP' = x == — • a a

On tracera, comme précédemment, les cercles concentriques H et ALM, H' et AL' M't

été données, cette théorie en fournit les moyens. 11 en est de meme pour toutes les occasions où les arts mécaniques ont à faire usage de courbes qui n’exigent pas une précision rigoureuse, précision qui serait d’ailleurs presque toujours difficile à atteindre.

qui conviennent aux normales AS et MS, AS' et M'S'j et par un point C, pris sur l’axe •te manière que sa distance P"C à l'ordonnée moyenne entre celles des points L et L', soit à peu près égale ài = fl, on mènera les tangentes LCr et L' C" aux cercles intérieurs K et H' ; elles détermineront , par leurs intersections avec les normales AS', MD et M'C*, les trois centres C, C' et C" des arcs de cercles qui composeront la courbe cherchée.

En prenant

AF = i PS = - P'S' = - t ~ - a,

on a le foyer F de la parabole ; et si l’on voulait imiter la courbe avec plus de precision , on pourrait diviser la petite branche AM par une et la gTande branche AM' par deux normales; alors l’imitation se composerait de neuf arcs de cercles reunis qui s’écarteraient très-peu de la véritable parabole, et les équations qui se rapportent h la parabole étant plus simples que celles de l’ellipse, on appliquerait le calcul à ce tracé avec plus de facilite encore qu’à celui des anses de panier