I. — Théorie de la propagation par ondes planes

La théorie analytique des phénomènes de propagation par ondes planes dans les gaz parfaits a été donnée par Riemann dans un court mémoire publié en 1860 et par Hugoniot dans un n>émoire beaucoup plus étendu publié dans le Journal de V Ecole Polytechnique en 1887 : Hugoniot a rattaché cette théorie à Tétude des caractéristiques des surfaces représentatives des intégrales de Téquation différentielle du mouvement.

La démonstration géométrique donnée par Hugoniot pour établir la valeur de la vitesse de propagation d'une discontinuité peut être étendue au cas d'une condensation quelconque, et permet d'arriver simplement aux notions essentielles relatives à la propagation des ondes par tranches parallèles ou en tuyau cylindrique.

Considérons une tranche AB [fig. 1), atteinte, au temps ^ par une perturbation caractérisée par la pression p^, la dilatation z^ et la vitesse v^ ; en aval de AB, le milieu est caractérisé par les valeurs analogues j}, v^ z. Au bout du temps dt^ la perturbation Pp t?|, ;r^ a envahi une longueur dxàxi milieu p, v, ^, longueur du milieu comptée dans son état initial sous la densité p^, et le volume ABA'B' est passe à l'état p^, v^, ^-p

Appliquons le théorème des quantités de mouvement en projection sur l'axe du tube ; on a :

(t) po (ui — r) r/o: = (p, — p) dt.

On a d'autre part, pour la variation de longueur de la tranche,

(2) (2| -'Z)ilx — — (r< - t) dl,

doc d'où résulte la vitesse --j- de propagation de la perturbation p^v^z^

dans le milieu pvz :

^ ^ dt — y Po Si - z

Ainsi donc, quelle que soit la nature de la perturbation sans restriction d'aucune sorte, relative à la continuité, la vitesse de propagation s'exprime en fonction de la loi particulière qui lie l'accroissement de pression à l'accroissement de dilatation.

ROLE DES DISCONTINUITÉS 623

Cas de la continuité. — Supposons que les perturbations se succèdent suivant une loi continue ; l'expression (3) devient :

1° Propagation dans vn milieu en repos, — Supposons que le milieu en aval de AB soit un gaz parfait en repos primitif de densité p^, de pression p^ et de condensation nulle (i- z=: o) ; autrement

pv Z..

pu..

FiG. 1.

dit, supposons que Ton considère la perturbation du front de Tonde. Le milieu éprouve une transformation adiabatique régie par la loi statique :

où m désigne le rapport des chaleurs spécifiques ; par suite

dp pm , r/5 ~ "" 1 + - '

en substituant, on obtient l'expression classique de la vitesse du son :

dt ~ V p. '

Po

le rapport— de la pression primitive du gaz à sa densité, à une

môme température, est constant pour les gaz auxquels la loi de Mariotte est applicable. La vitesse de propagation est donc constante, quelle que soit la loi d'attaque et la pression du milieu.

2** Propagation des condensations rlémentaires les unes dans les autres, — Considérons non plus la ])erturbation de tète, mais une des perturbations élémentaires dans lesquelles peut se décomposer Tonde totale.

La formule (4) permet d'évaluer la vitesse de propagation de cette perturbation dans le milieu modifié par le passage de la perturbation élémentaire qui la précède immédiatement.

A cet effet, considéroQS le milieu en aval de AB comme déjà modifié par une transformation adiabatique qui Ta amené àTétat prx; dans ce cas dx n'est pas la longueur évaluée par rapport à des repères fixes, parcourue par la perturbation AB. La condensation du milieu à Tinstant de son invasion étant z^ cette longueur est :

dx{{ +5).

La vitesse par rapport à des repères fixes est donc :

dt) Reste à évaluer -^ ; lorsqu'il y a continuité, on démontre que la loi

adiabatique statique reste applicable aux déformations élémentaires de Tonde en mouvement.

On a donc, comme dans le cas du repos :

dp — mp ,

dz~~ [\+zy

d'antre part, le poids de la tranche restant constant,

donc :

La vitesse de propagation d'une perturbation élémentaire est donc variable; en effet le rapport -5 constant dans la compression isotherme croît rapidement avec la pression dans la compression adiabatique.

Naissance des discontinuités.

Il résulte de ce qui précède qu'une succession de condensations croissantes produites au point origine des perturbations, suivant une loi quelconque, se propage avec des vitesses élémentaires dont les valeurs sont également croissantes jusqu'à celle qui correspond à la condensation maximum. Le sens de cette inégalité subsistant à tout

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instant, la condensation maximum se rapproche donc d'une façon continue des faibles condensations de tête.

Inversement une dilatation maxima se rapprochera de Tarrière de Tonde ou, plus exactement, se laissera rattraper par les dilatations les plus faibles.

De là résulte nécessairement, comme Pont montré Riemann et Hugoniot, la naissance d'une discontinuité produite par Tarrivée, en tête de Tonde, de condensations présentant une différence finie de pression, de vitesse et de condensation avec le milieu non perturbé.

Vitesse de propagation des discontintdti^s.

L'expression (3) de la vitesse de propagation reste applicable, mais la loi particulière qui lie Taccroissement fini des condensations n'est plus la loi adiaba tique statique.

Hugoniot a montré que, dans une transformation discontinue, le milieu met en jeu une élasticité dynamique spéciale supérieure à l'élasticité statique et qui permet à des condensations modérées de se propager avec des vitesses pouvant croître au-delà de toute limite.

L'expression de la loi adiabatique dynamique s'obtient en joignant aux relations (1) et (2) une troistènve relation exprimant le principe de l'équivalence; on écrit que la variation d'énergie totale de la tranche envahie par la discontinuité, c'est-à-dire la somme de la variation de force vive et de la variation d'énergie interne, est égale au travail des forces extérieures.

On obtient (*) ainsi l'équation (6) :

[£o ,., ^ ,,) + aiU^M^fii+i)] I ^,, ,^,^.

Les équations ( 1 ) , (2) et (6) permettent d'éliminer, en même temps que

doc les variables r et y, le rapport -r-, et Ton obtient la relation a diaba-

(') L*expressioii de l'énergie interne d'un volume V d'un gaz parfait peut être pV mise sous la forme ^^^ . ; d'autre part, te volume V des gaz par unité de section

du tuyau soumis à la transformation est (l -f z) dx.

[ue dynamique :

En portant dans l'expression (3), il vient, pour la valeur de la :esse de propagation d'une discontinuité dans un milieu en repos ur lequel z =: o :

Cette vitesse dépend, par le facteur ; — - — j du deffré de

5Continuité réalisé sur le front de Tonde. Pour une discontinuité )s petite, on retombe sur la formule classique de la propagation du n. Mais, si z^ prend des valeurs finies et négatives, m étant, pour les z parfaits, voisin de 1,40, on voit qu'il suffit que la condensation

usque du milieu atteigne ^î ou que le volume de la tranche soit

luit au r pour que la vitesse de propagation s'accroisse au-delà

toute limite. Si l'on élimine, entre les relations (3) et (7), la valeur -^ — ^, on obtient une autre forme de la vitesse de propagation en iction de la pression P^ — P^ de discontinuité :

i nous sera utile au cours de cette étude.