CAPILLARITÉ
§ 3. Loi de Maxwell-Clamius , — . Appliquons la relation (3) : rfô = — prfV^ — p^^Vj, à la couche capillaire dans la direction de la normale à là surface allant du liquide vers la vapeur. Soient ii^ la pression au point considéré, et p la pression que donnerait au liiétne point une phase homogène de densité p ; on a : «
6 =: p -f ap3, rfô = rfp + 2aprfp ;
d*où il vient d'après (3) :
dp -\- 2apdp + prfV< = — pr/Vj, ou:
- J'd\, = r-^ + 2«(P2 - p,) + fdv,.
L'hydrostatique donne :
d où :
pdV^ = — dpi ou d\\ z= -
Le potentiel des forces moléculaires étant — 2ap, on a :
d où :
— f d\i ^ — 2a [pi — pa) — 2a (pa — p<) ;
Si Ton néglige la pesanteur de la couche capillaire, p^ = C*% et l'équation (iO) devient :
/ vdp = 0,
c'est la relation de Maxwell-Clausius.
§ 4. Pression moléculaire d'une couche capillaire sphérique, — Considérons [fig, 2) un vase sphérique contenant de la vapeur et un noyau sphérique concentrique de liquide. Faisons abstraction de la
550 (;eruit hakker
pesanteur; soit V le potentiel moléculaire; je dis que Ton a
(20 — — pdV.
Soient : M, le centre du vase ; ABC, DEF, la couche capillaire limitée par un secteur sphérique MGH.
Soient MC = R ; R + ^ ^st le rayon d'une couche sphérique infiniment mince, d'épaisseur âhr^ de la couche capillaire; cette couche doit être en équilibre sous Taction de la pression thermique et des forces moléculaires.
La pression thermique s'exerçant contre la surface sphérique concave de la couche considérée a pour résultante :
r(R + /i)asinaaXO;
la pression thermique s'exerçant (en sens contraire) contre la surface convexe est :
:: (R + A + dhf sin« a (0 — rf^).
La p ression thermique contre la surface latérale du tronc de cône d'angle a a pour valeur :
27C (R -(- h) sin a » dh . sîn a . 6.
CAPILLAHITÉ 55/
De même, la force moléculaire a pour résultante :
pdV.r(R4- A)asinaa(«).
Pour réquilîbre il faut :
::{R + /i)2sin2a.O — -(R + /i + cf/i)2sin»a(e + dO) + 2«(R + /Osin2a.d/i.e
= pdV.::(R+/i)«sinîa;
d'où, en négligeant les quantités du second ordre, db == — pdV. On a donc ;
(il)
= -f y pdV = 9^ — Oa + p, + apj — p^ — ap|,
p, et p^ sont les pressions dans le liquide et dans la vapeur.
Fio. 3.
Soit ABC {fig. 3) le liquide entouré de sa vapeur; le liquide est en équilibre sous la pression p^ et la tension de la couche capillaire ; la vapeur est en équilibre sous Faction de cette même tension et de la pression p^. Donnons aux pistons un mouvement virtuel. Soit dn Taugmentation du rayon R du noyau liquide ;. la variation de volume est sdn^ s étant la surface intérieure de la couche capillaire. Soient m la masse de Tunité de volume de cette couche, et xm la quantité de liquide qui contribue à la formation de cette masse m :
ds = SizRdR = SliWdn = ^ sdn,
(1) La masse est pd\ par unité de surface, et la force relative à l'unité de masse s*exerçant dans la direction du rayon : — -tt*
5d2 GERUIT BAKKEU. — CAPILLAHITÊ
En augmentant le rayon du noyau liquide de c?n, la masse de la
couche capillaire augmente de tz sdn . m, le liquide y contribuant pour
une masse ^ sdm . ccm. Si pi est la densilé du liquide, le volume de
, ., ,2 sdm . œm -, -i * ^ •
cette dernière masse est jz ? et le travail extérieur est:
\ j 2xmsffni
... p, j,rf„ — ..
On démontrerait de même que le travail extérieur de Tautre piston
est *
\ /, , h\ , 2(t —x)msdn}
Soit (j Ténergie capillaire de l'unité de surface ; écrivons que la variation de cette énergie est égale au travail extérieur total :
2^sdn \ , 2xm!uîn) \ /, , h\ . 2(1 — x) msdn)
-ir=P' f'^ - -R^i - P-' r [* + h) "" ^R — r
Soit p' la densité moyenne de la couche capillaire d'épaisseur h en a; en remarquant que M = hp et en simplifiant,
Or j7 est une quantité fort petite qui n'est pas mesurable ; d autre part, la parenthèse est toujours de Tordre de grandeur de p, ou àep^ ;
aux basses températures pj est très petit, mais ^ reste fini ; on peut
Pa donc écrire :
2<x Pi— P2 = Inéquation obtenue de façons diverses par lord Kelvin, Gibbs et Van der Waals.
Portons cette valeur de;), — p^ dans (11), il vient :
K=a(pf~pJ) + |.
Si la vapeur est entourée du liquide, on trouve' :
K = a{pî-pî)-|.
