IT^-^^H
à laquelle on satisfait par un potentiel inverse, c'est-à-dire par la valeur (3); celle-ci, intégrée par parties, donne
l=J^dm'-J{ff^mg'^,-nh')^;
la première intégrale est un potentiel d'espace, étendue aux points où p diffère de zéro; la deuxième s'étend aux éléments de surface rfo^ où les /, gy h sont discontinues; /, w, n sont les cosinus directeurs de la normale à rfo^.
D'autre part, la valeur (2) de F, écrite
'À dx
et substituée dans (1), fournit
6 AttL
(*) Consulter à ce sujet, et pour ce qui suit, sir W. Thouso^ fJVatural Philoaophy; HtxMnoLTit; Mémoires sur rÉlectrodynamique/BovMi'utso, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 1879, i*' semestre; dans le Journal de Physique en i8;3,
POTENTIELS EN ÉLASTICITÉ, el, en opéranl par A^,
AtS
A26 ayant la valeur (4)> Or on sait que la valeur des ^ satisfaisanl à cette équation est un potentiel direct, c'est-à-dire la deuxième intégrale de (2). Intégrée par parties, elle donne en effet
c'est-à-dire deux potentiels directs Tun d'espace, Tautre de surface.
Ceci admis, afin de retrouver l'expression connue du potentiel électrodynamique des courants linéaires, je supposerai l'existence
de forces, agissant dans là direction d'un (Il situé dans le milieu élastique, produites, par exemple, par le frottement de ce (il se mouvant dans sa propre direction ou à Taide d'un liquide frottant dans un mince canal creusé dans le milieu. Si V est l'intensité de la force agissant sur la section du (il par unité de longueur, on aura
Ci)
drn' i)x'
Dz'
et les (2) deviennent, en ne considérant qu'un élément D^, Dx\
articles de M. Potikb : Sur VÊlectrodynamique et ses rapports avec l* Optique, et en 187^, articles de M. Bertrand sur la loi d'Ampère.
49> B. ÉLIB.
D/, Dz' d'un fil,
z 1 ax \dx dy '^ dz /
Le déplacement (F, G, H) en un point (x, y^ z) de l'espace, dû à la force FD^ en {x'^y, z'), est donc le résultat de deux déplacements, l'un parallèle à la direction de F {/Iff* i )7 de grandeur
llBi' = AB, l'autre perpendiculaire à la surface,
^ Dar' H- ^ Dy H- ^ D;:' = D j' cosÎT = const., c'est-à-dire perpendiculaire au rayon vecteur r et de grandeur
î-K dcosTî' , i-KTDj' . ^ ^
— , Ds = sinrl = BC.
2 dn ^ z
Il est pluscommode, pour l'objet qu'on se propose, de le ramener à deux autres, l'un parallèle à F, de grandeur
izJ^ i:^' = Dc,
l'autre suivant le rayon vecteur, de grandeur
cos^i = AD.
Cette décomposition peut se voir, soit géométriquement, soit en effectuant les différentiations de (2); on a, en effet,
„ iH-KI'Dy I — KTar — x'/rfr
C'est la première composante DC projetée suivant une perpendiculaire au rayon vecteur que l'on considère en optique.
Admettons actuellement qu'il existe au point {x, y^ z) une force de composantes /, g, h par unité de volume ou d'intensité I par unité de longueur; l'énergie élastique développée dans le milieu par la coexistence du déplacement et de la force sera
^{Tf-\Gg^\\h^dm ou I(FD;c4-GD7H-HD^).^,
POTENTIELS EN ÉLASTICITÉ. 493
ou encore, en projetant I suivant la parallèle à F et le rayon vecteur r, puis évaluant le travail suivant les déplacements correspondants (abstraction faite désormais de ^—^j ,
... IDsA'Ds' /i-^K ^ i-K p ,r\
(6) ( cosll H coslr.cosir ).
C'est ce queHelmhoItz a appelé le /?o/e/î^ie/ électrodynamique élémentaire de deux courants non fermés et dont l'analyse précédente fait comprendre la signification en élasticité.
Si Ton considère un circuit fermé, comme les fonctions
^ / cosir , ^ / cosir cosl'r-^c, D* / D* et Ds I DS',
désignées respectivement par/?ofe/if/e/5 de Neuman et de IVeber, sont alors égales et représentent Tangle solide sous lequel on voit le circuit, le coefficient K disparaît et il est indifférent de considérer l'une ou l'autre. Si l'on admet que le coefficient de rigidité [x
et celui de compressibilité a, lequel est égal à r ,— y ne peuvent
être que positifs , il résulte de la valeur de K = > — ^ — que
ajjL = __kzr doit être positif et K compris entre o et |, ce qui exclut à la fois les expressions de Neuman et de Weber comme potentiels élémentaires dans des circuits ouverts, puisque le premier correspondrait dans l'expression (6) à K = i et le deuxième à k = — I. Les formules de M. Maxwell reviennent à admettre que le milieu est incompressible, c'est-à-dire K= o.
C'est dans ce cas particulier de l'incompressibilité du milieu ou d'une vitesse de propagation infiniment plus rapide pour les vibrations longitudinales que pour les transversales que je vais me placer et examiner les propriétés de la directrice d'Ampère.
Par une variation des coordonnées dans l'expression (6) du travail, on obtient, comme coefficients des variations dx, dy^ dz, les composantes des forces agissant sur l'un des circuits, c'est-à-dire, en électricité, des forces pondéromotrices ; Helmholtz a montré qu'elles se distribuent en deux groupes : les unes entre les extrémités des circuits ou entre ces extrémités et un élément de circuit ; les autres entre les éléments de circuit. Ces dernières existent
49< B. ËLIE.
seules pour des circuits fermés et correspondent à la loi d'Ampère. Sans refaire le calcul, j'écrirai immédiatement Texpression connue de Faction d'un circuit fermé d'éléments Ds' sur l'élément Ds d'un autre. Ses composantes sont
X= I(GDj-BD^), Y = l(\Dz — CDx), Z = ï(BDx— ADj),
avec
dl d'-
%J \dz dx ^
A, B. C sont appelées les composantes de la directrice, et l'on démontre qu'elles sont les dérivées en x^ y^ z d'une même fonction V, qui représente l'angle solide sous lequel on voit le circuit d'un point (x, y^ z). On a
rfj' = — r
L'intégration s'étend à l'aire d'une surface de coordonnées x\ y ^ z* d'élément d<s^ dont la normale du* a pour cosinus directeurs a', P', y'. C'est le potentiel d'une double couche de densité V (surface aimantée d'Ampère).
D'autre part, si 6 = o, en posant
dH^__dO ^__^ -^^
^ ~ dy ds^ * dz dx^ ^ ^ dx dy^
les équations (i) s'écrivent
Les (o sont les composantes de la rotation élémentaire au point (^7 JS ^) ou de l'angle dont tourne, en sens contraire des aiguilles
POTENTIELS EN ÉLASTICITÉ. 49^
d*une montre, le point (x 4- dXy y + dy^ z -|- dz) autour du point (a:, ^', z). En dehors du circuit, là où les/, g^ h sont nulles,
les to sont les dérivées d'une même fonction û et, à cause de l'iden-
lité
diiit dt3if t/(ii3
dx oy dz
on a
Mais, d'arprès les valeurs {i) de F, G, H, on obtient, en dehors du circuit,
et deux autres relations analogues, c'est-à-dire, d'après les relations (5), les valeurs A, B, G.
On a donc
dx dv dz
ft Ton en conclut que la directrice d'Ampère, partout normale aux surfaces V = const., est représentée en grandeur et direction par le double de la rotation élémentaire et qtie les axes de celles-ci sont les lignes de force.
Il est maintenant facile de trouver l'expression de l'énergie due à deux torsions aux points {x'^y'^z') et {x^y, z) du milieu élastique. Si l'on suppose, en effet, le circuit I' infiniment petit, et qu'à la rotation ((0|, o>2, o^j) produite en {x^y^ z) par ce circuit s'oppose un couple dont le moment ait pour composantes
1 j dx , , dy , , dz dn dn dn
le travail produit par la coexistence de la rotation et du couple sera
11// l — ^^ ^y ^ ^"^ d\\ * \dn dx dn dy dn dz)
andn
