Tome XVIII, n» 2; i
O. Grotrian. — Conductibilité électrique de quelques sels de cadmium et de mercure en solution aqueuse, p. 177.
W.-G. RoNTGBN. — Variations de la double réfraction du qua4^tz produite par des forces électriques, p. 21 3.
A. KuNDT. — Propriétés du quartz dans un champ électrique, p. 228.
H. Meyer. — Fonction magnétisante de V acier et du nickel, p. 233.
A. VON Waltenhopen. — Contributions à Vhistoire des nouvelles machines dynamo-électriques^ et remarques sur le rertdement des moteurs électriques, p. 253.
J. Wagner. — Sur la viscosité des solutions salines, p. 259.
S. V. Wroblewski. — Recherches sur V absorption des gaz par les liquides sous de hautes pressions, p. 290.
L. BoLTZMANN. — A propos des Communications de K. Strecker « Les chaleurs spécifiques des com^binaisons diatomiques, des combinaisons du chlore, du brome et de Viode »^ p. 309.
W. Siemens. — Sur Véclat des flammes, p. 3ii.
A. ScHULLER. — Distillation dans le vide, p. 317.
K.-R. KocH. — Recherches sur l^ élasticité des cristaux du système régulier, p. 325.
G. BoHN. — Sur les mesures absolues, p. 346.
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F. Nies et A. Winkelmann. — Changement de volume par la fusion, p. 364.
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DÉTEKxMINATION DE L'OHM. 149
MËTH0DS8 m DÉTEBMINATIOH DE L'OHM; Par m. Marcel BRILLOUIN.
1, Dans le sjslème électromagnétique, le rapport d'un coefficient d^induction à une résl^ance est un temps. Les seules mesures essentielles pour la détermination absolue d'une résistance sont donc : *
i** Les mesures de longueur nécessaires au calcul de la valeur absolue d'un coefficient d'induction mutuelle;
2** Une mesuré de temps.
L'expérience électrique peut être réduite à la mesure d'une vitesse de rotation et à des constatations de zéro dans des instruments éleclriques. Dans les méthodes que je vais indiquer, ces conditions sont satisfaites; en outre, les circuits ne contiennent aucun contact variable par frottement. Pour cela, il faut renoncer à l'emploi de courants constants produits par induction et les remplacer par des courants^ sinusoïdaux dus à la rotation d'un aimant à linlérieur d'une bobine fixe sphérique. On peut donner à cet aimant une vitesse de rotation considérable et très régulière; il fav^, la mesurer. Les extrémités du fil de la bobine sont réunies à un circuit complexe où se produisent des courants d'amplitu(ies et déphasés différentes, mais ajant tous pour période la durée d'un tour de l'aimant. Des courants sinusoïdaux non redressés et de période courte sont sans action sur un galvanomètre : c'est donc l'éleclrodynamomètre qu'il faudra employer. Le circuit devra être réglé de manière à rendre nulle la déviation permanente que prend la bobine sous l'influence des courants périodiques.
2. Voyons quelles sont les conditions pour que l'électrodynamomètre reste au zéro quand on l'emploie de diverses manières :
i^Les deux bobines sont parcourues par le même courant : i! faut qu'il soit constamment nul.
On emploiera uniquement les dispositions suivantes dans lesquelles la déviation change de signe, suivant que le circuit est déréglé par excès ou par défaut. On peut rendre la sensibilité aussi pande que l'on veut en diminuant le couple directeur du fil /. de Phys., a* série, t. II. (Avril i883.) n
i5o iM. BRILLOUIN.
unique ou des deux fils de suspension, car l'action moyenne de la terre sur la bobine mobile est rigoureusement nulle, à cause de la forme sinusoïdale du courant.
2® Les deux bobines sont parcourues par des courants différents : il faut que Tun des courants soit constamment nul ou que la différence de phase des deux courants soit ~ • C'est ce que montre l'intégrale qui exprime l'action moyenne pendant une période T,
I C ^Tzt , l 'X'Kt \ a^cose
3** La bobine fixe est composée de deux bobines identiques parcourues en sens inverse par les courants différents
6cos^î^ -hEJ, ccos/^H-8j,
tandis que la bobine mobile est parcourue par le courant
a cos
L'action moyenne pendant une période .
-ih cosE — ccos8)
ne peut être nulle que si l'un des facteurs est nul. Parla disposition du circuit, on fait en sorte que a ne soit pas nul, et la condition unique devient
h cos e — c cos 8 = o.
Dans le cas particulier où le courant acos-Tj^-est la somme des deux autres, la condition de zéro est
Télectrodynamomètre agit comme un instrument différentiel.
Ces conditions de zéro sont indépendantes de la grandeur absolue des courants ; elles ne dépendent que du rapport des amplitudes ou de la différence de phase des courants qui parcourent l'électrodynamomètre. Il est donc inutile de connaître le moment magnétique du barreau mobile et la bobine dans laquelle il tourne.
DÉTERMINATION DE L'OHM.
Il faut seulement s'assurer que le courant est sinusoïdal simple; sa grandeur n'a d'influence que sur la sensibilité.
Je vais indiquer deux méthodes correspondant aux deux derniers modes d'emploi de l'électrodynamomètre comme instrument de zéro.
3. Première méthode, — Les fils conducteurs {fig* i) forment trois circuits distincts : (o), (i), (2).
Le circuit (o) se compose de la source sinusoïdale, de la bobine mobile d'un électrodynamomètre et d'une bobine inductrice.
Le circuit (i), parcouru par le courant induit du premier ordre,
Fig. I.
comprend une bobine induite par le circuit (o), et une bobine inductrice. Celle-ci agit sur une bobine induite, développe dans le circuit (2) un courant induit de second ordre, qui parcourt la bobine fixe de l'électrodynamomètre et un rhéostat.
Lorsque la vitesse de rotation est suffisante, on peut, au moyen du rhéostat, amener l'électrodynamomètre au zéro en rendant
égale à - la différence de phase entre le courant principal et le cou-
rant induit de deuxième ordre. On suppose, bien entendu, les diverses parties des circuits placées de telle sorte que les seules actions mutuelles entre les bobines soient celles qu'on peut calculer.
Les intensités des courants dans les trois circuits seront au
i52 M. BRILLOUIN.
même ihslant
Ao cosA:^,
Al cos(A:/ H- e),
Aj cos ( kt -^. h 6 j = — As sin X7 — Aj 6 cos kt^
en désignant par 8 la très petite erreur possible sur la différence de phase - : c'est le rapport de la plus petite déviation observable
dans Télectrodynamomètre ^ ' à la déviation — — - qu'on obtiendrait si le retard était nul.
Soient Ri^Rj, L|, L2 les résistances et les coefficients de selfinductiondes circuits (1), (2); désignons par Moi, M12, M02 les coefficients d'induction mutuelle des circuits (o, i), (i, a), (o, 2); il est évident que Mqi , Mia doivent être grands pour que A| et Ao soient grands; quant à M02, il est rigoureusement nul si Télcctrodvnamomètre est bien réglé, car les deux bobines sont concentriques et ont leurs axes rectangulaires; sinon, il est très petit.
-i. Cela posé, les équations différentielles du courant induit dans les circuits (i) et (2) sont
RjAi cos{kt •+■ e) — LiAiksin(kt -h e)
-t- Mis A: As 6 sinXrf — Mis A: As cosA:^ — Moi Ao A: sin A*/ = o
et
— Rs As sin kt — Rs As 6 cos kt — Ls As A: cos kt
■+- LsAsArO &inkt — MisAiA:sin(A'^H- é) — MosAoArsinA'f = o.
Dans chacune de ces équations, les coefficients de sin kt et de cosA'^ sont identiquement nuls, puisque les équations sont satisfaites, quel que soit t,
(i) R|Ai cose — LiAiA: siiis — MisAAj = o,
(2) — Ri Al sine — Li Ai A: cose -h MisAAsO — MoiArAg = o,
(3) — RsAs6 — LsAsA: — MisAïAsine = o,
(4) ' — RsAs H- LsAsAÔ — MisAiAcosa — ]MosAoA' = o.
Entre (i)et (3), éliminons A| et A2, il vient
L, Lj A2 — Ml , A» -h L, R, A 0
cote =
R,(LsA--+-R86)
DÉTERMINATION DE L'OHM. i53
Entre (2)5 (3), (4), éliminons A©, Aj, A2, nous avons une deuxième valeur de cote
MoiMnA-Rt--M«,A^«6L8Moi-+^MoïRtL,A:>4-Moae(RtRi-f-Ann^),
^^'^" (MoiMi, — LixMoiXLjA-H- RîO)/:
Égalons ces deux valeurs, nous obtiendrons successivement = MoiMiiAr- MnAr^OMoi ^ -+- MojRiA: ^
M»,eR.+ ^*«MÎ.,
puis
En négligeant les termes en M02O; qui sont du second ordre, et remplaçant dans le coefficient de M02 les termes ^ ^p ^ "
par I, qui n'en diffère que d'une quantité du premier ordre, on a enfin l'équation de condition
Dans chaque expérience, on rendra M02 et 6 aussi petits que possible et l'on fera le calcul, en les traitant comme nuls, par Téquation
(6) IlilZlM«>tî = i.
R; Rj
La relation
/-,\ Ri — Ri / Ri Moi aa\ /^i , ^2\
donnera une limite supérieure de Terreur commise sur R|j les coefficients d'induction qui y entrent seront facilement évalués parles méthodes de comparaison.
i54 M. BRILLOUIN.
5. L'équalion (6) peut être employée de deux manières différentes :
1° En déterminant L|, L2 par des expériences de comparaison avec M, 2 qui est calculé, détermination qui ne comporte qu'une erreur moindre que j^/ôô»
a^ En faisant deux expériences à la même vitesse de rotation, dans lesquelles L|, La, R2 resteraient les mêmes, mais oùHi serait augmenté de r, et M|2 changé en /W|2. On aurait alors
et par soustraction
(MJ, — m*,)/:î = rR2.
Les coefficients d'induction M 12, ^1^2 peuvent être calculés directement.
Dans l'une ou l'autre manière d'opérer, R2 sera évalué en fonction deR| ou de r sans erreur appréciable, par comparaison. Enfin on mesurera la vitesse de rotation A', en secondes, et l'expérience donnera la valeur absolue de Rj ou de r.
Pour changer M12 sans changer L| ni L2, on pourrait simplement déplacer la bobine induite de (2) par rapport à la bobine inductrice de (i). Mais, pour rester dans des conditions où le réglage des deux bobines soit facile, il vaut mieux opérer autrement.
Le circuit (2) contient, outre la bobine de Télectrodynamomètre, deux bobines de mêmes dimensions, avec un nombre de tours de fil différent; toutes deux sont toujours dans le circuit, l'une près de la bobine inductrice (1), l'autre loin. En les échangeant, on change le coefficient d'induction mutuelle M12, sans altérer L2. C'est sous cette dernière forme que j'ai indiqué cette méthode aux Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences.
Il importe de remarquer que l'équation de condition est indépendante de Moi. Les circuits (i) et (2) réglés, on pourra donc éloigner l'une de l'autre les deux bobines inductrice de (o) et induite de (i) sans que l'électrodynamomètre s'écarte du zéro; cela suppose évidemment, comme les formules que nous avons employées, que l'induction électrodynamique se propage instanta-
DÉTERMINATION DE L'OHM. i55
ncment. Si la propagation n'est pas très rapide, la différence de phase dépendra de la distance des circuits (i), (2), et le déréglage (le l'appareil en permettra Tétude.
Toutes les pièces de l'appareil restant immobiles, la résistance absolue devra être indépendante de la période des courants. Si la période devenait très courte, la capacité du circuit, dont on n'a pas tenu compte, pourra changer la différence de phase.
La méthode porte donc en elle-même le contrôle des principes sur lesquels elle est fondée , dans les limites mêmes où on les emploie.
6. Deuxième méthode. — La rotation uniforme d'un aimant dans une bobine sphérique y produit un courant sinusoïdal qui traverse la bobine mobile d'un électrodynamomètre différentiel, puis se divise en deux pour traverser en sens inverse les deux parties de la bobine fixe.
Entre les points de dérivation A, B et l'électrodynamomètre,
Fig. 3.
on trouve des rhéostats et des bobines G, D identiques, dont 1 une C est soumise à l'induction d'une bobine E placée sur le cirt'uil même de la source.
Désignons par I et i les intensités dans les circuits dérivés ACGB, ADGB; la déviation moyenne de rélectrodynamomètre différentiel ne s'annule que pour des amplitudes égales des deux courants I, i (n" 2). On peut régler ces deux circuits dérivés de manière que la déviation soit nulle à une vitesse de rotation déterroinée; cherchons à quelle condition.
Soient R, ;•, L, / les résistances et les coefficients de self-induclion des circuits ACGB, ADGB; soient M, m les coefficients d'in-
i56 M. BRILLOUIN/
duclîon de chacun d'eux avec le circuit de la source BSGA, et N leur coeffîcient d^induction mutuelle.
Les sens positifs des courants sont de A vers B dans les circuits ACGB, ADGB, et de B vers A dans BSEG A ; l'équation du courant dans le circuit ferme ACGBGDA est
RI -h LI'-i- M(I -h t/-i- Ni'= ri-\-li'-{- /n(I -4- 1)'-+- M'- Remplaçons I et 1 par leurs valeurs
1 = A sin -Tfry
. 9.T:t , 21: t i = a sin -=r- -i-ocos -=- »
et substituons après avoir ordonné, il vient
RA sm -=r- H- (L -f- M — m — N ) -=- A cos -=-
(. itU , 9.irA asin-7=; — h6cos-7=-j .
-H(/-l-//i— M — N)-=r(<ïcos-^; «»sin -TjT- 1-
Cette équation est satisfaite, quel que soit tj ce qui donne les deux conditions
(i) RA=ra-~^Q6,
(2) ^PA = r6H-^Qa,
en posant, pour abréger l'écriture,
Elevant au carré les deux membres des équations (1) et ( 2) et ajoutant, on a
(3) ^R« + :yjp.^ A* = (r«+ÇQ«)(a« + !»«),
et, lorsque les amplitudes des deux courants sont égales, c'està-dire, lorsque l'électrodynamomètre reste rigoureusement au zéro,
R« -f- 4^ P« = rî + 1^ Q*
DÉTERMINATION DE L'OllM. 167
cl, en remplaçant P et Q par leurs valeurs,
Telle est Téquation de condition. Une limite supérieure de Terreur de lecture de rélectrodvnamomètre peut être tirée de Téquation (3)
gl ^- i,i — \i '^ ^ T» T« ^
A* "~ lit* '
ce qui donne, pour Terreur correspondante sur R tirée de Téqua-
lion (4),
7. On peut se servir de la relation (4) de plusieurs manières : voici celle qui me parait comporter le plus de précision.
Dans un premier réglage on annule séparément les deux membres de Téquation (4). On remplace la bobine sphérique par une pile; on fait passer dans la bobine mobile de Télectrodvnaniomèlre un courant indépendant. On règle les résistances et les coefficients d^induction de telle sorte que Tinstrument reste au zéro pendant Télat permanent et pendant la période variable de fermeture. On a alors
a\ec une erreur absolument négligeable; la seconde équation sera satisfaite si les deux circuits dérivés contiennent des bobines identiques C, D, la bobine E étant éloignée.
Cela fait, on rétablit les communications telles qu'elles sont indiquées (y?^. 2) et on rapproche E de C; M augmente de M©. On ajoute à ADB une résistance déterminée Ro, et Ton fait tourner I aimant avec une vitesse telle que Télectrodvnamomètre reste au l'tTo, On a alors^ en tenant compte du premier réglage,
Les comparaisons de Ro avec R et de L -t- / — aN avec Mo peuvent
i58 M. BRILLOUIN.
être faites sans erreur appréciable. L'expérience ainsi conduile détermine donc Ro en fonction de Mo et de T.
On peut éviter toute mesure de comparaison en faisant trois déterminations à la même vitesse de rotation, avec trois valeurs différentes R, R', R" et L, U, \J' de la résistance et du coefficient de self-induction du circuit ACB. Les trois équations de condition correspondantes donnent
Cette équation ne contient plus que des différences de coefficient de self-induction ; ces difl^érenccs, obtenues par le rapprochement de deux bobines éloignées du même circuit, ne sont autres que des coefficients d'induction mutuelle, calculables avec précision.
8. Pour les deux méthodes que j'ai décrites dans cet Article, j'ai indiqué deux manières d'opérer distinctes :
Dans l'une, les expériences sont conduites de manière à ne conserver dans l'équation de condition que des coefficients d'induction mutuelle et des résistances.
Dans l'autre, on détermine les coefficients de self- induction par les méthodes de comparaison que j'ai étudiées ailleurs (Ann. de VEc, Norm, super,, 1882) et qui me paraissent comporter plus de précision que l'opération absolue elle-même; car la valeur de celleci dépend de l'uniformité du mouvement de rotation de l'aimant.
Il importe de remarquer que toutes les méthodes de comparaison, tant des coefficients d'induction que des résistances, sont des méthodes de zéro. Leur précision est donc bien supérieure à celle des comparaisons nécessaires dans la plupart des déterminations de l'ohm.
Il me resterait à indiquer les dimensions avec lesquelles on peut obtenir la précision désirable. Toute la difficulté provient de l'intensité de courant nécessaire, surtout dans la première méthode. Bien qu'elle ne présente, dès à présent, rien d'insurmontable, j'espère, au moyen d'essais en cours d'exécution, pouvoir réduire très notablement les dimensions de la source de courant sinusoïdal. J'en rendrai compte d'ici peu.
DURÉE DE SOLIDIFICATION. iSq
