SCHAFFERS. — THÉORIE DES MACHINES ÉLECTRIQUES

placent les pointes, qui prennent ce potentiel, diminué de la force électromotrice minima nécessaire à la production de Taigrette. Elles chargent alors davantage les armatures, d où augmentation du potentiel produit sur les peignes, etc. L'élévation pendant la marche s'explique donc facilement.

Ouvrons maintenant l'excitateur; les collecteurs, au lieu du potentiel nul qu'ils avaient, en prennent un de même sig^e que celui des armatures correspondantes, égal à celui du plateau moins la chute due à l'aigrette. Il croît avec la charge qu'apporte le plateau jusqu'à production de la décharge. Toute augmentation de la distance des boules de l'excitateur aura donc comme effet l'élévation correspondante des charges.

Mais la distribution s'altère au fur et à mesure de la charge. La région neutre, s'éloignant du peigne, s'approche de la pointe. L'influence y décroît et, si la distance des boules est trop grande pour que l'étincelle éclate, elle peut devenir nulle et même cïianger de signe. Tout le système se décharge, et le flux des peignes, de sens contraire alors à ce qu'il était auparavant, pourra produire l'inversion si les boules sont amenées au contact. Si la machine possède un conducteur diamétral, celui-ci s'oppose à tout renversement en maintenant à ce moment constant le potentiel des armatures. Son effet est aussi d'augmenter le potentiel des collecteurs.

Dans la 2* partie de l'ouvrage, Schaffers, après avoir rappelé les mesures galvanométriques de Rossetti(^), H. Abraham(^),Riecke (3), etc., sur les machines électrostatiques, cite les résultats des mesures qu'il a faites avec un galvanomètre Deprez-d'Arsonval, contenant dans son circuit deux interrupteurs à aigrettes, dont les pointes sont I positives, etHine bouteille de Lane. Il trouve que le rendement aug-

I mente en général avec le potentiel explosif, que le nombre d'étin-

t ' celles de même longueur et le débit galvanomé trique par tour de

[ plateau croissent, avec la vitesse, mais non proportionnellement.

f De nombreuses courbes et des indications sur les dimensions des

f machines, les places respectives des différentes parties et les subs-

I tances à utiliser complètent l'ouvrage.

BoiZARD.

(») J, de Phys., !'• série, t. IV, p. 65.

(î») /. de Phys., 3* série, t. I, p. 409.

(3) Wiedemann's Annalen, l. XIII, p. 255.

SUR L'ORI&IlfE DBS RADIATIOMS ET L'INERTIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE; Par M. P. LANGEVIN.

I. — Je me propose de montrer ici comment Tétude de la perturbation électromagnétique produite dans Téther, supposé immobile d'après M. Lorentz, par un mouvement donné quelconque de charges électriques ou électrons, permet de pénétrer dans le détail des phénomènes de radiation et d'inertie, d'analyser le mécanisme de la connexion qu'établissent les électrons entre la matière qui les contient et l'éther électromagnétique, dans le sens indiqué par M. Larmor(').

Les résultats qui vont suivre ont été exposés au Collège de France il y a deux ans; j'en ai depuis retrouvé une partie dans les publications de M. Liénard et de M. Schwîirtzschild(-), mais je crois nécessaire de les reprendre complètement pour appeler l'attention sur leur importance et pour rendre plus clair le point de vue nouveau auquel je me suis placé.

Il semble en effet bien établi aujourd'hui que, sans parler des phénomènes purement électromagnétiques, les propriétés fondamentales de la matière, l'inertie et le pouvoir d'émettre et d'absorber les radiations, sont liées à la présence de particules électrisées en mouvement, d'électrons, dont le déplacement à travers Téther modifie les champs électrique et magnétique définissant l'état de ce milieu.

L'inertie des électrons négatifs, des corpuscules cathodiques, paraît, d'après les expériences de M. Kaufmann(^). être tout entière d'origine électromagnétique, être due à la nécessité de créer ou de détruire pour modifier le mouvement du corpuscule, le champ magnétique que l'on sait accompagner ce mouvement. Il est tentant, pour ne pas chercher deux explications différentes d'un même phénomène, d'étendre ce résultat à toute la matière en considérant Imertie de celle-ci comme l'inertie électromagnétique totale des électrons positifs et négatifs qui la constituent.

D'autre part, la radiation présente dans l'éther seul, à grande distance de sa source, peut se décomposer en ondes planes perpendiculaires à la direction suivant laquelle elles se propagent avec la vitesse

(J) J. Lahmok, Ae/her and Mat ter, p. 229.

(«) A. LiéNARD, l'Ecl. élect., t. XVI, pp. 5, 53, 106; 1898 ; — K. Scuwakt/.sciuld, GôUtnff. Sachr. mat/t. pkys. Klasse ; 1903. (3) W. Kaufjian.n, Gotting. Nachr., muth. phys. Klasse, p. 90: 1903.

J. de Vhys., 4- série, t. IV. (Mars j90o.) 12

de la lumière V, et composées de deux champs électrique et magnétique transversaux, dont les directions perpendiculaires entre elles sont contenues dans le plan de Tonde ; ces deux champs représentent toujours des énergies égales par unité de volume du milieu ; de sorte que la propagation d'une telle onde ne correspond à aucun échange d'énergie entre les deux champs, à aucune oscillation de l'énergie rayonnée entre les formes électrique et magnétique.

Un semblable échange d'énergie n'est possible qu'en présence de matière, par l'intermédiaire des centres électrisés qui la constituent et qui agissent en quelque sorte comme catalyseurs, comme agents nécessaires, mais non modifiés par la transformation. Autrement dit, la matière peut seule être source de radiations,

II. — Il est donc important, à ce double point de vue de l'origine électromagnétique et des limites de validité des lois delà Mécanique, d'une part, et de tous les phénomènes de rayonnement, d'autre part, de connaître sous forme aussi simple et générale que possible la perturbation électromagnétique produite par un élément de charge électrique en mouvement donné quelconque dans l'éther régi par les équations de Hertz-Maxwell.

Les potentiels électrique (V) et vecteur (F, G, H) dont dépendent les deux champs qui constituent cette perturbation ont été donnés par M. Lorentz(*) sous une forme très simple, par l'intermédiaire des potentiels retardés.

Chaque élément de charge en mouvement donné détermine par sa position O et sa vitesse à l'instant t — 0 les deux potentiels à l'instant t sur une sphère S ayant pour centre le point O et pour rayon r le chemin VO parcouru par la lumière pendant le temps 6.

Autrement dit, pour avoir à l'instant actuel t les expressions des deux potentiels en un point P du milieu [firj, 1), de coordonnées a?, y, z^ on doit supposer qu'une sphère S' de rayon variable r = V6 part du point P pour remonter le cours du temps en balayant tout l'espace à partir de ce point ; les potentiels actuels au point P dépendent de ce qui se trouvait sur chacune de ces sphères à l'instant correspondant, t — 0. On devra donc, en un point O d'une de ces sphères de coordonnées ;, Tj, î, considérer ce qu'étaient à l'instant t — G la densité p 4es charges électriques et les composantes ;', V» V de leur vitesse à travers l'éther.

(') H.-A. LoRENTZ. Arch, Séet'L, t. XXV, p. 363; 1892.

^'Trjj':^-'f:i^T

Soient t? = pV = VS'^ -h ''i'* + ^'^- ^^ valeur absolue de cette vitesse, et X Tangle que fait sa direction avec le rayon vecteur 0}i. / 5

Pour un point lié à ces charges pendant leur déplacement, les quantités Ç, Tj, Ç, l\ 7|', C, et les composantes T, r{\ C de Taccélération r = Y V au temps t — 0, sont des fonctions de cette dernière variable. I.a trajectoire de l'élément de charge qui passe en 0 à cet instant a une forme quelconque T connue ainsi que la loi du mouvement, si Ton se donne pour cet élément ï, yj, C en fonction de t — fi.

Les valeurs de p et de l\ t/,C' ayant ainsi été déterminées en chaque point de l'espace qui entoure le point P, au moyen de la sphère mobile, les potentiels sont obtenus en étendant à cet espace les intégrales :

xYrj^. F..r^% r.^r^. H=.rfe

îi)

Il est essentiel de remarqueravec MM. des Coudreset \Viechert(^)

(')E. WiECiiBHT, Lorenlz Feslschrift [Arcfi. \rerl., 2" série, t. V, p. 349 ; 1900;.

WW^-'

que pdx ne représente pas la charge électrique contenue à un instant déterminé dans Vêlement dx. En effet, les différente points de cet élément de volume correspondent à des valeurs différentes de 6 et par suite de t — 6, variables avec leur distance au point P. Considérons, par exemple, un élément de volume dx compris entre un cône infiniment délié de sommet P, découpant une surface ds sur la sphère S', cette sphère et la sphère infiniment voisine S' distante de dr = VrfO et correspondant par suite à l'instant t — 6 — rfô :

dT z= VrfOrfs.

Cherchons où se trouvaient à un même instant^ t — 0 — rf9 par exemple, les charges qui occupent les divers points de Télément dr aux instants qui leur correspondent. Le point lié aux charges électriques mobiles, qui se trouve en O à Tinstant t — 0, se trouvait à rinstant antérieur t — 6 — c?0 en O^, en arrière deO de vd^ sur la direction dev.

Tous les points de ds se sont déplacés de quantités sensiblement égales et se trouvaient sur un élément ^^^ tandis que l'autre hsLSeds^ correspond tout entière à Tinstant l — 0 — d^. Tous les points de dr se trouvaient donc à ce mcme instant dans l'élément de volume dr^ compris entre ds' eids^.

Les éléments dz et d'c^ ont même base, mais leurs hauteurs diffèrent de V cos XcfO, projection de vdO sur la direction normale à la base commune, donc :

dr^ = (V -- V cos X) dock = d-Ji — ^ cos a).

La charge électrique vraie, présente dans le milieu à un même instant, et correspondant à l'élément dr^ est donc, puisque la densité p change infiniment peu pendant le temps rfO :

de z~ ^d•:^ z=z pd' {{ — ^ cos a).

Si Ton veut par conséquent faire intervenir les éléments de la charge électrique dans les potentiels, on devra, dans les expres-

sions(l), remplacer p6/T par son égal -•

Il en résulte encore que, si Ton veut calculer les potentiels produits à l'instant t, en un point P situé à grande distance r = VO, par rapport aux dimensions de Télectron, par un électron de charge e dont le centre parcourt une trajectoire T qui le fait passer à l'instant

ORIGINE DES RADIATIONS . i69

/ — 6 au point O (ÇyiÇ) {fig, 1), les formules (1) deviendront :

^^ r(l— pcosX)' ~r(l~pcosX)' r(i— pcosX)' "" r(l— pcosÀ)*

III. — De ces potentiels, les composantes Ear, Ey, E-, M^, My, M-, des deux champs électrique E et magnétique M au point P, se déduisent par les formules connues :

cV ^C

Pour prendre les dérivées, il importe de bien remarquer comment V, F, G, H, dépendent de a?, y, ;: et de / ; on a :

r (1 -- 3 cos X) =: r - i [(^ - f)Ç' + (y - r.i 1)' + (- - î:)C]-

Les potentiels dépendent donc de a?, j/, ^, soit directement au dénoaiinateur, soit par l'intermédiaire de r ou de 6, puisque les |, y|, C> E% 7)', C, sont des fonctions de / — 6 ; et ils dépendent de ^ soit par l'intermédiaire de S, t„ C> ••m qui <M)n tiennent i explicitement^ soit par l'intermédiaire de 0, qui figure dans r et dans les Ç, y), C*

Les dérivées intermédiaires nécessaires à connaître sont :

dÇ _____ ^/Ç ___ .,

^' rfç; - -

Vr 1

V ^or ~" ^a: ~" Vrfl — fi cosX)

;)ar'~rfe^~" Vr(l — ?cosX)' D jr "" Vr(l— pcosX)'

puis,

c>< "~ (/e "^ rfe rfe "" H ^^]

r^^Jl^K^

i t)r DO 8 cosÂ

\ ^t T^t 1 — p cosX

D? ç' Df r

M 1 — pcosX De 1 — ^ COSÀ

Avec ces intermédiaires il est facile d'achever le calcul des deux champs, puisqu'on connaît les dérivées par rapport kœ^ y^ z eiàtde toutes les quantités qui figurent dans les expressions des potentiels vecteurs.

Tous calculs faits, les résultats peuvent s'énoncer de la manière remarquablement simple qui va nous occuper maintenant.

rV. — Chacun des deux champs E et M peut être décomposé en deux parties, dont la première, qui existe seule dans le cas d'un mouvement uniforme de l'électron, dépend uniquement de la vitesse v possédée par ce dernier à Tinstant t — ô.

Pour le champ électrique, cette première partie E^ est dirigée» vers la position O' qu'occuperait l'électron à l'instant t s'il avait continué à se mouvoir depuis Tinstant t — 6 avec la vitesse v = p\ qu'il possédait à cet instant, de sorte que 00' = rô, O' coïncidant d'ailleurs avec la position vraie de l'électron à l'instant actuel ty si le mouvement est rectiligne et uniforme. E^ est donné en unités électrostatiques par :

(3) K« 1/^^ T^'^'x-. • OP.

La partie correspondante Mf du champ magnétique est perpendiculaire au plan OOT de la vitesse v et du rayon r et a pour mesure en unités électromagnétiques, si X' est l'angle de t? avec OT :

(4) M4 ^ pE^ sin a .

J'appellerai onde de vitesse cette première partie du champ électromagnétique ; l'ensemble de ces ondes de vitesse émises par l'électron aux différents instants qui ont précédé Tinstant actuel t constitue des sphères ayant pour centres les diverses positions antérieures du mobile et s'enveloppant mutuellement si la vitesse de celui-ci n'atteint jamais la vitesse Vde la lumière, cas auquel je me limiterai ici ; l'ensemble de ces ondes constitue ce que j'appellerai le sillage électromagnétique de l'électron, accompagnant celui-ci dans son déplacement ; nous verrons en effet que l'onde de vitesse ne corres-

pond à aucune énergie rayonnéeà grande distance, puisque les deux champs Ë, et M, qui la composent ont des intensités diminuant en raison inverse du carré de la distance r au centre d'émission, O'P croissant comme r.

Dans le cas particulier du mouvement rectiligne et uniforme [fig,^), le point O' est indépendant de Tinstant antérieur t — 6, puisqu'il coïncide toujours avec la position vraie O^ du mobile à Tinstant t ; Félectron, actuellement en O^, est donc accompagné, dans son déplacement uniforme à travers l'éther, par un sillage invariable dont le champ électrique est dirigé en tout point vers la position actuelle O^j du mobile.

Fio. 2.

Le« ondes de vitesse successives, émises seules dans ce cas aux différents instants antérieurs, composent ce sillage tout en se propageant, comme les ondes émises par Tavant d'un navire composent le

sillage qu'entraîne celui-ci ; chaque onde constitue depuis Tinstant de son émission des portions successives de plus en plus éloignées du centre dans le sillage, et laisse derrière elle celui-ci identique à lui-même par rapport au mobile et entraîné par lui.

Au lieu de faire intervenir dans les valeurs de E| et M| au point P du sillage sa distance r à la position retardée O du mobile, au moment où Tonde de vitesse présente actuellement en P fut émise, on peut faire intervenir la distance O'P = r\ c'est-à-dire la distance de P à La position actuelle du mobile dans le cas du mouvement uniforme. Dans le triangle OO'P dont les côtés sont :

OP — r, O'P — r\ 00' z= lO = r :^ zrz gr, on démontre facilement que :

r (1 — p cos \) — r' si — p» sin2 X'. Donc :

r'2[l — fj2sin2À7i M< = 3E, sin X'.

Expressions bien connues et obtenues de manière toute différente(') pour représenter le sillage qui accompagne, à grande distance par rapport à ses dimensions, une particule électrisée en mouvement uniforme dans Téther. Le dénominateur étant minimum quand X' est droit, c'est-à-dire dans le plan équatorial par rapport à la direction de la vitesse, il en résulte qu*à une même distance r' le champ est plus intense dans le plan équatorial que partout ailleurs ; les lignes de force électriques, radiales, ont tendance à se concentrer de plus en plus dans ce plan à mesure que la vitesse augmente. Les lignes de force magnétiques, étant donnée la direction de M^, sont des cercles perpendiculaires à v et ayant leur centre sur OOp

Nous verrons plus loin comment augmente avec la vitesse Ténergie contenue dans ce sillage, origine de l'inertie que présente Télectron.

Pour trouver, dans le cas d'un mouvement quelconque, le sillage au voisinage immédiat de l'électron, il suffit de décomposer en éléments la charge superficielle ou intérieure de celui-ci et d'appliquer

(1) J.-J. Tho.msou, Récent Researches: 1892.

à chaque élément les résultats qui précèdent. La superposition des sillages élémentaires permet de retrouver, pour un électron sphérique de charge superficielle uniforme, la solution donnée par M. Searle pour le sillage d'une sphère conductrice en mouvement uniforme ; au voisinage de la surface, les lignes de force électrique ne sont plus radiales, le champ n est plus dirigé vers ]e centre de la sphère, contrairement à ce qui se passe à grande distance.

V. — Si le mouvement ffest pas rectiligne et uniforme, s'il existe une accélération F, le sillage n'a plus la forme simple du cas précédent. Les points tels que CK se trouvent sur une courbe C qui rejoint la trajectoire T à la position actuelle O^ {fig, i), et les lignes de force électrique du sillage sont des courbes dont la tangente en chaque point tel que P est dirigée vers le point O' correspondant. Contrairement à ce qui se passe dans le cas du mouvement uniforme durant depuis très longtemps, ce sillage doit changer ici par rapport au mobile d'un instant à un autre, et nous allons voir que la réorganisation, le changement nécessaire se produit par Tintermédiaire dé la seconde partie du champ électromagnétique, absente dans le cas du mouvement uniforme, et que j'appellerai Vonde d'accélération.

Le champ électrique correspondant E^ est la somme géométrique de deux vecteurs, Tun parallèle à OT, l'autre à l'accélération r = yV :

/tî^ Fv. e^C0^9 7yp i f

'^^ '^— Vra(l — '^cosX\^ \r{{ — ?cosX)« ■'

9 étant l'angle de l'accélération F avec le rayon OP. On voit que Ej s'annule en même temps que y.

// est facile de vérifier que ce champ Ej est normal au rayon OP, cest'à-dire langent à Vonde sphérique^ transversal par rapport à la dÀrecUon de propagation.

De plus, la seconde partie Mj du champ magnétique est perpendiculaire à E^ et à OP, donc transversale aussi, et a pour mesure en unités électromagnétiques :

Ainsi, cette onde d* accéléra lion a tous les caractères d'une radiation électromagnétique libre; elle est composée de deux champs électrique et magnétique transversaux, perpendiculaires Vim à l'autre et représentant des énergies égales par unité de volume du milieu.

i74 LANGEVIN

Elle représente vraiment le rayonnement émis par le centre chargé, puisqu'elle subsiste seule à grande distance de celui-ci, les champs Eg et M2 qui la composent variant en raison inverse de r, ce qui lui permet de transporter à Tinfini une quantité finie d^énergie.

Il est remarquable que cette onde sphérique d'accélération présente à toute distance du centre d'émission^ là même où elle est superposée à Tonde de vitesse, pour des distances r insuffisantes à rendre Tonde de vitesse négligeable, les caractères d'un rayonnement libre; elle est véritablement le rayonnement élémentaire, base de la décomposition d'une radiation complexe quelconque à toute distance de sa source. Sa production est liée à l'accélération du centre électrisé ; j'ayonnement implique accélération.

VI. — A Tinstant t, la perturbation électromagnétique émise par Télectron entre les instants^ — ô — rfO et^— 0, et composée de Tensemble des deux ondes de vitesse et d'accélération, se trouve comprise entre deux sphères excentriques S et S^ {/îg. i), ayant pour centres les positions O et O^ aux instants t — 0, t — 6 — c?ô, et pour rayons V6 et V (ô + f/6).

L'énergie électromagnétique contenue dans cette couche par unité de volume au point P :

se compose de trois parties, puisque E et M sont chacun la résultante de deux vecteurs, les champs qui figurent dans les ondes de vitesse et d'accélération.

La première partie :

correspond à Tonde de vitesse supposée seule. C'est Vénergie de sillage^ seule présente dans le cas du mouvement rectiligne et uniforme. Si Ton calcule, par intégration sur la sphère S, sa valeur totale dans la couche sphérique SS^, on trouve :

Elle diminue donc en raison inverse de r^, de sorte qu'aucune portion de cette énergie de sillage ne s'éloigne indéfiniment du centre électrisé; elle accompagne celui-ci dans son déplacement.

L'application du théorème de Poynting montre qu'il y a constamment dans le sillage, à travers une surface fixe par rapport à Téther, flux d'énergie dans le sens du mouvement, pour permettre au sillage d'accompagner son centre. Dans le cas du mouvement uniforme, rien ne se perd à Tinfini de l'énergie accumulée dans le sillage ; cette énergie se propage dans le sens du mouvement en suivant l'électron et conservant par rapport à lui une répartition fixe dans le milieu; aucune intervention extérieure n'est nécessaire pour maintenir ce sillage, l'électron lancé se meut indéfiniment avec la même vitesse. Une intervention extérieure sera nécessaire pour enlever ou fournir de l'énergie au sillage, pour diminuer ou augmenter la vitesse, pour produire une accélération. L'électron est inerte parce qu'il est chargé; il entraîne son sillage et est entraîné par lui, tant qu'une cause extérieure no vient pas modifier celui-ci.

Si la vitesse, antérieurement à l'instant t — 6, est restée constamment pV en grandeur et en direction, le sillage extérieur à la sphère S est normal et contient une énergie :

^8) ^^•-2r 3+^2 -2rL -^^Ul-^^iJ

La première partie de W| est l'énergie électrostatique ^ qui serait extérieure à la sphère S dans le cas d'un électron immobile ; l'autre partie, ^ . ' ^t représente Faccroissement de W^nergie de sillage

quand la vitesse passe de zéro à pV ; c'est Ye'nergie cinétique d'origine électromagnétique présente à l'extérieur de la sphère S.

Cette énergie cinétique n'est proportionnelle k p^^ au carré de la vitesse, qu'en première approximation, si p^ est négligeable devant l'unité, si la vitesse r est faible par rapport à celle de la lumière. Elle augmente au contraire indéfiniment quand v s'approche de V, quand p tend vers 1 ; la valeur infinie de l'énergie cinétique dans le cas d'un électron se mouvant avec la vitesse de la lumière impliquant d'ailleurs que cette vitesse existe depuis un temps infîni(^).

Dans l'expression de l'énergie cinétique, le rôle de la masse est

;i) Paul Hbhtz, P/iys. Zeilschriff : 1903.

joué par le facteur — pour les faibles vitesses ; celui-ei représente

en quelque sorte la masse électromagnétique présente aux faibles vitesses à Textérieur de la sphère S de rayon r ; aux vitesses plus grandes, cette masse devient fonction de la vitesse. La masse électromagnétique totale de Télectron ne peut se calculer en donnant à r la valeur a du rayon de la sphère à laquelle Télectron est assimilable; il est nécessaire, dans la région voisine de celui-ci, de superposer les sillages correspondant aux divers éléments de sa charge, et on re-

trouve le résultat connu y~' «^ 1*^^ de —5 si la charge est superfi-

4e* cielle, et -jj— si la charge est répartie uniformément dans le volume

de la sphère.

Vil. — La seconde partie de Ténergie, celle qui correspond à Tonde d'accélération de rayonnement, supposée seule, a pour valeur par unité de volume au point P :

Elle représente dans la couche sphérique SS, une énergie indépendante de la dislance r, se propageant par suite à distance infinie de Télectron sans aucun changement; c'est V énergie rayonnée par le centre pendant le temps dh^ qui a pour valeur, tous calculs faits (^) :

e étant Tangle que fait Taccéléralion T avec la vitesse v. •

On retrouve ainsi ce résultat fondamental quhin centre électrisé rayonne par unité de temps une quantité d'énergie proportionnelle au carré de son accéféral'ion^ et n'envoie rien à l'inlini quand son accélération est nulle (*).

VIII. — Enfin, la troisième partie est l'énergie relative des deux ondes, égale par unité de volume en P à :

(!) Cf. M. Abkaiiam, Annalen fi. Phijsik, t. X, p. loo; 1903.

(-') J. Lakmor, Aefher and Maffer, p. 22" : — et Phil. Mag., t. XLIV, p. 303 ; 1891.

les produits étant pris géométriquemenl; si ou intègre dans la couche sphérique SS^, on obtient :

(10) rfW3 :zr j-7-177^ • ~ ?T COS irf0.

Or

(li;

r cos edO TT^ ^\ cos £f/0 r= r/r ^i^ Vrf^ y cos srfO =: f/jS

Cette énergie tend aussi vers zéro quand /-augmente indéfiniment; elle représente ce qui reste à la distance r de l'énergie destinée à la réorganisation du sillage que nécessite Taccélération, énergie présente dans la couche SS, grâce à la superposition à Tonde de vitesse de Tonde d'accélération du rayonnement. 11 est facile de constater en effet que dW^, présente dans SS,, représente précisément Ténergie nécessaire pour faire passer Téncrgie du sillage \\\, exlérieure à la sphère S, de la valeur qui correspond à ^V à celle qui correspond à p -[" ^?' c'est-à-dire Taccroissement que doit subir Vénergie cinétique extérieure à S quand on passe de p à p + rf8. En effet, d'après (7) on a;

J'appellerai énergie de charfgement cette énergie dW^ fournie par la cause extérieure qui produit l'accélération, grâce à la superposition du rayonnement à Tonde de vitesse ; c'est donc bien par Tioterraédiaire de Tonde d'accéléiation que se fait, comme je Tai dit .plus haut, la réorganisation du sillage, inutile dans le cas du mouvement uniforme. Le rayonnement s'avance en trouvant devant lui le sillage ancien et laissant derrière lui le sillage nouveau, dissipant à mesure son énergie de changement sous forme d'accroissement de Ténergie cinétique, pour ne conserver à dislance infinie, lorsque la réorganisation est complète et que la provision d'énergie de changement est épuisée, que rénergie rayonnee d\\\. On |peut dire ({\i accélération implique réorganisation^ changement de sillage, et que réorganisation implique radiation.

IX. — ' L'accélération T n'existe qu'en présence d'un champ élec-

tromagnétique extérieur à rélectron et capable d'exercer sur lui les forces de M. Lorentz, force électrique parallèle au champ électrostatique extérieur, et force magnétique perpendiculaire au champ magnétique extérieur et à la vitesse de Félectron. Le champ électromagnétique extérieur doit fournir la somme des énergies de rayonnement et de changement, cette somme pouvant être négative, puisque dW^ est essentiellement positive, mais que dW^ a le signe de dp.

Cette dernière énergie a une expression analogue au travail des forces, puisqu'elle est proportionnelle au produit de la composante tangentielle r cos c de l'accélération par le déplacement pVdô ; il n'en est pas de même pour l'énergie rayonnée, proportionnelle au carré de l'accélération, de sorte que l'énergie fournie par la cause qui produit l'accélération n'est égale au travail des forces sous sa forme ordinaire, et les équations de la Mécanique ne sont applicables, que si l'énergie rayonnée ^^W^ est négligeable devant l'énergie de changement dW^, celle-ci étant calculée au départ de l'électron et représentant le changement de l'énergie cinétique totale.

Une distinction importante s'introduit ici : l'énergie rayonnée rfWai indépendante de la distance, n'oblige pas à examiner ce qui se passe au voisinage immédiat de l'électron ; sa charge seule intervient. Il n'en est pas de même pour l'énergie de changement, qui deviendrait infinie pour r nul. L'énergie totale empruntée sous cette forme au champ extérieur fait, comme l'énergie de sillage qu'elle est chargée de réorganiser, intervenir la forme et les dimensions de l'électron. Elle reste proportionnelle à F cos e x pVrfô, avec un coefficient que Ton peut calculer pour une répartition donnée des charges dans l'électron et qui représente ici la masse longitudinale d'origine électromagnétique, fonction de la vitesse comme le coefficient de proportionnalité de l'énergie cinétique à 3* et augmentant indéfiniment aussi quand v tend vers V. Je dis masse longitudinale parce que P cos c est la composante longitudinale de l'accélération, dans la direction de la vitesse. Le calcul de la masse transversale, qui correspond à la composante perpendiculaire, normale, de l'accélération, fait intervenir d'autres considérations que celles d'énergie.

Ainsi les équations de la Mécanique doivent être modifiées de deux manières distinctes : tout d'abord la masse doit être envisagée comme fonction de la vitesse, l'écart ne devenant sensible qu'aux

vitesses de môme ordre que celle de la lumière ; les expériences de M. Kaufmann sur les rayons S du radium sont venues confirmer cette conséquence des lois électromagnétiques en apportant de solides raisons de croire à Torigine électromagnétique de Tinertie et à l'impossibilité de fonder une Mécanique satisfaisante sans prendre les notions électriques comme fondamentales.

Cette modification, la masse variable en fonction de la vitesse, respecte au moins la forme des équations de la Mécanique ; cette forme elle-même devient incomplète si Ténergie rayonnée n'est pas négligeable devant Ténergie de changement, si le mouvement n'est pas quasi stationnaire selon l'expression de M. Max Abraham, si le déchet transmis à l'infini sous forme de rayonnement, par l'onde chargée de modifier le sillage, n'est pas trop important.

En d'autres termes, la condition de mouvement quasi stationnaire est que, dans la région voisine du centre électrisé par rapport à ses dimensions, région où se trouve localisée la plus grosse partie de l'énergie du sillage, celui-ci puisse être considéré très sensiblement comme déterminé uniquement par la vitesse actuelle de la particule, comme à peu près ce qu'il serait si cette vitesse actuelle existait depuis longtemps: Il faut pour cela que, dans cette région, Fonde d'accélération superposée au sillage soit négligeable devant l'onde de vitesse, alors qu'à distance infinie la première subsiste seule.

Sur la sphère de rayon r, la valeur moyenne de l'énergie rayonnée est par unité de volume, au maximum, de Tordre :

et l'énergie de changement est de l'ordre :

Leur rapport :

doit être petit pour les valeurs de r de même ordre que le rayon a de la sphère à laquelle la particule électrisée est assimilable. La condition de mouvement stationnaire sera que la quantité

soit très petite par rapport à l'unité. Il est facile de s'assurer que

cette condition est toujours remplie dans les cas expérimentaux, a étant, si Tinertie des électrons est tout entière électromagnétique, de Tordre (*) 10"*^, et ^ atteignant au maximum 0,95 dans les expériences de M. Kaufmann sur les rayons dé viables du radium.

Un cas intéressant d'exception aux lois ordinaires de la mécanique est celui où le mobile serait en repos absolu, p étant nul et p devenant alors infini ; mais le mouvement pourra de nouveau être considéré comme quasi stationnaire au bout d'un temps extraordinairement court. En effet, si on part de p = o, p sera devenu de nouveau inférieur à Tunité pour une vitesse supérieure à :

vz=pV — air; cette limite est atteinte grâce à Taccélération yV en un temps

t — \^ — %<:: 10-2^ seconde.

yV \

Ces exceptions, différentes de celles qui correspondent à la variation de la masse électromagnétique avec la vitesse, paraissent donc peu accessibles à Texpérience, et il ne semble guère possible de les utiliser pour mettre en évidence le mouvement absolu.

11 est certain que, dans tous les cas expérimentaux, la condition du mouvement quasi stationnaire est remplie, que Ténergie rayonnéé n*est jamais qu'une portion infime de Ténergie moj^enne de changement, et que, par suite, Ténergie fournie au centre électrisé par le champ extérieur qui produit son accélération est toujours de là forme m^ds cos e, comparable à celle du travail mécanique. Le phénomène de rayonnement, seul sensible à distance du centre électrisé, ne modifie pas sensiblement les lois du mouvement de celui-ci, parce qu'il est négligeable dans son voisinage immédiat.

X. — Ainsi les accélérations des électrons sont seules perçues à grande distance par l'intermédiaire de la radiation déterminée par les champs Ej, Mj; dans les cas ou ^ est faible, où la vitesse v est petite par rapport à celle de la lumière, les expressions (5) et (6) de ETj et Mj se simplifient; on a :

Eo = t;^ sin ©,

ce champ électrique étant perpendiculaire à OP dans le plan qui

1) P. Langevix, Ann. Chim. Phfjs., t. XXVIIL, p. 337; 1903.

ORIGINE DES RADIATIONS 18i

contient OP et F. Le champ magnétique Ma a toujours même mesure, en unités électromagnétiques, que Ej en unités électrostatiques, de manière à représenter la même énergie par unité de volume, et est dirigé perpendiculairement à OP et à E,-

Il en résulte que le champ électromagnétique rayonné est distribué symétriquement autour de la direction de Taccélération T, son intensité est maximum pour sin 9 = i, c'est-à-dire dans le plan équatorial par rapport à F, et nulle dans cette direction ellemême. On déduit facilement de là que le plan de polarisation de la radiation émise par Félectron vers P est le plan passant par le rayon lumineux OP et perpendiculaire au plan OPF, qui contient l'accélération. Les relations de direction sont un peu plus complexes et déterminées par l'expression générale (5) de E^^ quand p cesse d'être très petit.

La nature de la radiation qui passe au point P dépend du mouvement que prend le centre électrisé et de la manière dont varie son accélération avec le temps. Si celle-ci prend une valeur considérable pendant un temps très court, s'il s'agit d'une impulsion subie par l'électron, comme, par exemple, dans le cas d'un corpuscule cathodique lancé avec une vitesse égale à 50 000 kilomètres par seconde, et arrêté brusquement au moment du choc contre une anticathode, la radiation consiste dans une pulsation sans caractère périodique, ayant pour épaisseur la distance des sphères rayonnées au commencement et à la fin du choc, c'est-à-dire le produit de la vitesse de la lumière par le temps qu'a duré ce choc.

Ces pulsations paraissent fournir la meilleure explication des rayons de Kôntgen émis par la région de Fanticathode que frappe le faisceau cathodique; ils sont connexes de l'accélération subie parles particules cathodiques au moment où Fanticathode les arrête. D'après M. Barkla, ces rayons de Kontgen manifestent une polarisation conforme à ce que l'interprétation précédente permet de prévoir : les rayons secondaires émis par une surface métallique frappée varient d'intensité quand on change la position du plan d'incidence autour du faisceau primaire. Il n'est d'ailleurs pas nécessaire, pour que la théorie précédente reste admissible, qu'on observe une semblable polarisation ainsi qu'une variation d'intensité autour de la direction du faisceau cathodique, car il est peu probable que l'arrêt soit complet au premier choc d'un corpuscule: celui-ci doit se réfléchir dans des directions variées, comme le prouve l'émission do rayons cathodiques /. de Phys., 4- série, t. IV. (Mar» 1905.) l.T

secondaires, et subir de nouvelles accélérations, du noéme ordre que la première, mais de directions différentes. Cette première accélération peut elle-même avoir une direction variable avec la déflexion que subit la particule cathodique.

Si le mouvement de Télectron est périodique, comme dans le cas d'une circulation sur une orbite fermée, l'accélération est elle-même périodique, le rayonnement aussi, et on obtient un phénomène comparable à rémission d'une lumière de longueur d'onde déterminée.

Si l'orbite est circulaire, l'accélération, toujours centripète pour une rotation uniforme, tourne avec le mobile.

Dans une direction perpendiculaire au plan de l'orbite, à une distance grande par rapport aux dimensions de celle-ci, le plan de polarisation tournera autour de la direction du rayon, sans changement d'intensité, sin cp étant toujours égal ai, et on aura une lumière polarisée circulairement. Dans le plan de l'orbite, la lumière sera rectiligne, avec un plan de polarisation perpendiculaire au plan de l'orbite. Pour une direction oblique, la polarisation sera elliptique.

On trouve bien là le rayonnement qui intervient dans l'explication du phénomène de Zeeman ; mais nous suivons ici de manière très étroite la liaison entre ce rayonnement et l'électron en mouvement accéléré qui lui donne naissance; l'intensité du rayonnement peut se calculer en fonction de la charge et de Taccélération de l'électron.

XI. — Les points sur lesquels je crois utile d'insister sont les suivants :

i<* La perturbation électromagnétique produite dans le milieu par uoe particule électrisée en mouvement se compose de deux parties qui -se propagent avec la vitesse de la lumière à partir du centre jd'émission.

La première partie ou onde de vitesse, qui existe seule dans le cas du mouvement rectiligne et uniforme, dépend seulement delà vitesse du mobile ; elle contribue à former autour de celui-ci un sillage dont l'énergie varie avec la vitesse, qui contient donc l'énergie cinétique liée au centre électrisé et qui accompagne celui-ci dans son déplacement, en se modifiant si le mouvement est accéléré ;

2** Cette modification est produite par l'intermédiaire de la seconde partie de la perturbation, Vonde d'accélération possédant à toute distance du point d'émission les caractères de transversalité et xi'égalité des énergies électrique et magnétique qui correspondent au rayonnement libre.

NATANSON. — RÉFILVCTION ACODENTELLE DANS LES LIQUIDES 183

Cette onde d'accélération transporte à grande distance, où Tonde de vitesse devient négligeable, une énergie finie, proportionnelle au carré de Taccélération et augmentant indéfiniment avec la vitesse quand celle-ci s*approche de celle de la lumière. Les caractères de polarisation de cette onde sont particulièrement simples quand la vitesse est faible.

L^onde de vitesse ne transporte aucune énergie à grande distance; Vénergie de sillage qui lui correspond suit le centre dans son déplacement ;

3* L'énergie relative des deux ondes de vitesse et d^accélération, Vénergie de changement^ représente précisément la provision d'énergie nécessaire pour réorganiser le sillage et le faire correspondre à la nouvelle vitesse. Elle est, dans tous les cas accessibles à l'expérience, énorme par rapport à Vénergie rayonnée qui représente Ténergie intrinsèque de Tonde d'accélération, déchet nécessaire de la réorganisation du sillage ;

4^ L'énergie de changement, fournie par le champ extérieur qui produit l'accélération, est assimilable par son expression au travail des forces extérieures, seul échange d'énergie que les équations ordinaires de la Mécanique fassent intervenir.

Vénergie rayonnée que le champ extérieur doit également fournir, et qui est de (orme différente, n'est pas contenue dans les lois de la dynamique et obligerait à les modifier, si la petitesse de l'énergie rayonnée par rapport à l'énergie de changement ne rendait cette correction inappréciable dans tous les cas expérimentaux.

Les considérations précédentes semblent jeter quelque lumière sur le mécanisme intime des phénomènes d'inertie et de rayonnement.

SUR UNE PARTIGULARITfi K LA DOUBLE RÉFRACTION ACCIDENTELLE DANS LES UQUIDES;

Par M. Lad. NATANSON.

Le principe de l'expérience imaginée, en 1 873, par Maxwell pour étudier la double réfraction accidentelle dans les liquides est connu de tous les physiciens; il a été adopté par Kundt, en 1881, ainsi que par la majorité des savants qui ont décrit des e.xpériences précises

relatives à ce phénomène. Imaginons un cylindre qui peut être mis en rotation autour de son axe avec une vitesse angulaire constante. A une distance assez faible de sa surface, imaginons une paroi cylindrique immobile, centrée sur le même axe. L*espace annulaire ^ limité par la surface du cylindre et la paroi immobile est rempli du

p liquide que Ton désire étudier. Supposons que le mouvement du

iÇ; liquide ait atteint le régime permanent. Un faisceau de lumière,

l\ ayant traversé un polariseur, passe par le liquide en se dirigeant

jf parallèlement à l'axe de rotation et est reçu sur un analyseur.

I Convenons de prendre pour axe des z Taxe de rotation du cylindre ;

i: supposons que le plan {ce, z) coïncide avec le plan de l'analyseur et

y,; le plan des (y, z) avec celui du polariseur. Soit / Tangle que fait,

- avec Taxe des a?, le rayon correspondant au maximum d'obscurité

^ observable dans le quadrant {x, y). Dans un Mémoire, Sur une par-

ticularité' de la double rc^fraction accidentelle dans les liquides, ^ présentée l'Académie des Sciences de Cracovie dans la séance

du 11 janvier 1904 (*), jai donné, pour calculer la valeur de Tangle /, une formule que M. Zaremba a attaquée dans une communication au Journal de Physique (*). Je me propose, dans les lignes qui vont suivre, de discuter les considérations au moyen desquelles M. Zaremba a cherché à infirmer la formule en question.

1^ Ainsi que dans le Mémoire cité dans l'introduction, je désignerai par r la distance du point considéré M à Taxe de rotation, distance comptée à partir de cet axe ; par %xi S» Ya-y» 1®^ composantes de la déformation véritable [^) du liquide au point considéré, rapportées au système de coordonnées a?, y. Par le point M, faisons passer un axeMçdont la direction est celle de la vitesse de la particule qui, à l'époque donnée, occupe la position M ; considérons le systèmeMr, M^', comme un nouveau système d'axes de coordonnées ; désignons par £'-, £7, Yr^i les composantes de la déformation véritable du liquide au point M, rapportées au système de coordonnées Mr, Mç.

Dans le Mémoire cité dans Tintroduction, j'ai adopté l'hypothèse fondamentale que j'avais énoncée antérieurement en 1901, et qui est la suivante : les axes optiques en un point donné d'un liquide en mou-

(») Bull. Inl. de VAcad. d. Se. de Cracovie^ p. l ; janvier 1904.

f/) J. de Phys,, t. III, 4- série, p. 606 : 1904.

(3) Pour la iléfinition de ce terme, le lecteur voudra bien se reporter à mes Mémoires sur la Tliéorie de la ViscosittS insérés au Bttlletin Intern. de VAcad» d. Se. de Cracovie pour 1901, 1902, 1903 et 1904.