INTRODUCTION

Leibnilz est arrivé à sa méthode infinitésimale par la résolution du problème des tangentes, c'est-à-dire par la détermination analytique de la tangente à une courbe quelconque, en déduisant Téquation de lA tangente de celle de la sécante menée par deux points de la courbe.

Le coefficient angulaire de la sécante étant donné par le

k rapport - des différences des coordonnées des deux points, il

suffit de faire h = 0, dans Texpression de ce rapport, pour que

le coefficient de la sécante devienne celui de la tangente. Mais

alors le rapport — se réduisant à— , présente une valeur indé-

terminée pour le coefficient de la tangente, dont la direction

est pourtant complètement déterminée. C'est ce qui fait dire

que l'expression ~ est une forme illusoire et dénuée de sens.

Ainsi, d'une part il est évident que la sécante ne devient tangente qu'au moment où les deux points coïncident et que, par conséquent, les différences h et A: de leurs coordonnées devenant absolument nulles, leur rapport se réduit à — .D'autre part, on se trouve dans l'impossibilité de tirer de l'expression -- le coefficient d'une tangente complètement déterminée.

C'est pour l'explication de cette difficulté que Leibnitz renon-

çanl à faire /i = 0, a imaginé d'en faire un infiniment petit,

k persuadé qu'alors la valeur du rapport •- différerait infiniment

peu du coefficient de la tangente, et seulement par des termes qui s'annulent avec /i. Or, pour se débarrasser ensuite de ces termes sans y faire h = 0, il prête aux infiniment petits la propriété de s'évanouir ou de disparaître devant une quantité finie, et c'est cette propriété qui constitue le principe leibnitzien.

a Plusieurs géomètres, dit Carnot, ont cru le principe faux 1 et capable d'induire en erreur; mais ils ont été accablés par » la multitude des prodiges et par l'éclat des vérités qui sor- » talent en foule de ce principe. »

C'est ici qu'il importe de distinguer, car c'est de la pompe que l'eau sort claire et abondante, et non du principe de l'horreur du vide ; de môme, c'est de la méthode de Leibnitz, et non de son principe, que les prodiges sortent en foule. Et si le vide répugne à la nature, le principe leibnitzien ne répugne pas moins à la raison.

Quoi qu'il en soit, les géomètres croyant, comme Carnot, que c'est du principe que les prodiges sortent en foule, se sont efforcés de le démontrer malgré son évidente absurdité, et leurs efforts ont abouti à cette étrange conclusion :

« On a non-seulement le droit, mais encore le devoir de » négliger l'infiniment petit dans les relations, afin de rétablir » la réalité des choses. »

Je comprendrais mieux que négliger l'infiniment petit est un moyen d'altérer plutôt que de rétablir la réalité des choses.

C'est d'abord l'illustre Fontenelle qui vient démontrer le fameux principe, auquel il donne un énoncé plus général, qu'il appelle le plus grand et le plus fécond de tous les principes du calcul de l'infini.

D'après son énoncé, ce n'est pas seulement les infiniment

petits qu'on a le droit et le devoir de négliger, mais aussi le^^

quantités finies devant une quantité infinie, et même les

infinis de tout ordre devant un autre d'ordre supérieur.

a Le grand principe », dit-il, « et le plus fécond du calcul de

» linfini, est de faire disparaître toutes les grandeurs d'ordres » inférieurs devant celles qui sont d'un ordre supérieur. »

a II ne fautpas croire », ajoute-t-il, t qu'on passe à la nouvelle » géométrie une sorte de licence. Au contraire, l'exactitude » demande que les grandeurs qu on néglige dans le calcul de » l'infini soient négligées comme elles le sont. »

J'aurais plutôt cru que l'exactitude demande que l'on ne commette aucune inexactitude, pas môme celle de négliger une quantité infiniment petite.

C'est donc une proposition contraire au sens commun que Fontenelle va démontrer dans sa géométrie de l'infini, et il faut voir ce que vaut, au juste, la démonstration.

Il prend un triangle rectangle isocèle, dont les côtés sont supposés infinis, et il désigne parn chacun des côtés de l'angle droit, en sorte que l'aire du triangle se trouve représentée

par — » d'après la géométrie élémentaire. Mais pour trouver

l'application de son grand principe, il décompose le triangle donné en une infinité de parties, dont il calcule la somme. L'expr ession de cette somme, compliquée à dessein, se rédui-

rait évidemment à -— , s'il y supprimait les termes qui se

détruisent. On comprend qu'il se garde bien d'opérer cette réduction, qui ferait rater sa démonstration. Au lieu de cela, il s'en va chercher les quantités finies, qu'il néglige devant le nombre n supposé infini, et de môme les infinis du premier ordre, qu'il néglige devant ceux du second; en sorte qu'après l'application de son grand principe, il ne lui reste plus

que -^ » et il en conclut que le grand principe se trouve

démontré, puisque son application a conduit à un résultat reconnu exact par la géométrie élémentaire.

Il n'est pas difficile de découvrir le truc, car on comprend que la somme des termes négligés est identiquement nulle, et qu'en définitive on n'a négligé que zéro.

Au moyen du même truc, je démontrerais qu'on a le droit et le devoir de négliger les nombres impairs devant les nom-

6 l'analyse infinitésimale

bres pairs; car il me suffirait de choisir les nombres impairs de manière que leur somme algébrique fût identiquement nulle.

Dans son rapport à l'Académie sur la géométrie de l'infini de Fontenelle, Réaumur la déclare remplie de spéculations sublimes. La démonstration que je viens de résumer peut en être considérée comme le plus bel échantillon.

La fausseté du grand principe n'est pourtant pas difficile à mettre en évidence.

Par exemple, si pour trouver la limite de la fonction

j*y applique le grand principe « en faisant disparaître toutes les » grandeurs d'ordres inférieurs devant celles qui sont d'un

ordre supérieur », la fonction se réduit à \x^ — \/là =x — .\% ou à zéro; tandis que sa vraie limite est 8.

Matgré l'évidente absurdité du grand principe, il a été admis, môme comme évident, par un grand nombre de savants, et en particulier par le Grand Arnauld et le non moins grand Auguste Comte, qui l'ont invoqué pour démontrer le théorème sur la somme des angles d'un triangle, et par suite le poslulatum d'Euclide, les deux propositions étant considérées comme équivalentes par la plupart des géomètres.

« C'est », dit Arnauld, « un principe évident que deux infinis » sont égaux lorsqu'ils ne diffèrent enlre eux que d'une quan- » tité finie. »

En supposant x infini, les deux quantités 2.v et 2.\: + 29 sont deux infinis qui ne diffèrent enlre eux que d'une quantité finie. Or il est évident pour moi qu'ils ne sont pas égaux, puisque leur différence est 29.

Auguste Comte va encore plus loin, en demandant qu'on place au début môme de la géométrie le grand principe, dont se déduirait le postulatum d'Euclide.

« Cette dernière considération », dit-il, « offre logiquement » l'avantage d'introduire, dès le début de la géométrie abs- » traite, le principe essentiel de la méthode infinitésimale, la » faculté de substitution mutuelle entre des grandeurs quel-

» conques dont la différence est infiniment petite envers » elles. »

Si Ton use de cette faculté dans l'exemple x . en

substituant le nombre 2 au dénominateur 2 -j — » qui en dif-

fère d'un infiniment petit pour x infini, on obtient x — x ou zéro ;

tandis que la limite de la fonction x '—- est -, et non

zéro.

Le marquis de l'Hôpital, au lieu de chercher à démontrer le principe leibnitzien, demande qu'on l'admette à titre de postulatum. « On demande », dit-il, « qu'on puisse prendre indiffé- » remm.entTune pour l'autre deux quantités qui ne diffèrent » entre elles que d'une quantité infiniment petite. »

Lagrange, ne pouvant admettre à aucun titre que Ton néglige sans erreur les quantités môme infiniment petites, pensa que Terreur que l'on commet en les négligeant se trouve détruite ou compensée par quelque autre erreur qui s'est glissée dans le calcul. Voici, du resle, son explication :

« Il me semble », dit-il, « quecommedanslecalcul différentiel, » tel qu'on l'emploie, on considère et on calcule, en effet, les » quantités infiniment petites ou supposées infiniment petites y> elles-mêmes, la véritable métaphysique de ce calcul consiste » en ce que l'erreur résultant de cette fausse supposition est » redressée ou compensée par celle qui naît des procédés » mômes du calcul, suivant lesquels on ne retient dans la dif- » férentiation que les quantités infiniment petites du môme » ordre. Par exemple, en regardant une courbe comme un » polygone d'un nombre infini de côtés, chacun infiniment » petit, et dont le prolongement est la tangente de la courbe, » il est clair que l'on fait une supposition erronée ; mais l'er- » reur se trouve corrigée dans le calcul par l'omission qu'on y » fait des quantités infiniment petites. C'est ce qu'on peut » faire voir aisément dans des exemples, mais ce dont il serait

8 l'analyse infinitésimale

• peut-être difficile de donner une démonstration générale. »

Carnot, reproduisant ce passage de Lagrange, et se disant l'inventeur du principe de la compensation des erreurs, ajoute :

f Qu'il soit difficile ou non d'en donner une démonstration » générale, la vraie métaphysique de l'analyse infinitésimale » n'en est pas moins le principe des compensations d'erreurs, n et je crois au surplus qu'il ne manque rien ni à l'exactitude » ni à la généralité de la démonstration que j ai donnée. »

La démonstration qu'il a donnée vaut tout juste celle de Fontenelle, avec cette différence que dans celle de Fontenelle c'est la somme des termes négligés qui est identiquement nulle; tandis que dans celle de Carnot les erreurs qui sont censées se compenser sont nulles séparément. Alors on comprend que des erreurs absolument nulles se compensent nécessairement, très exactement et comme par enchantement.

La première des erreurs qui doivent se compenser consiste à regarder le cercle comme un polygone dont les côtés sont très petits, et la sécante menée par deux points très rapprochés comme la vraie tangente au cercle. Cette erreur, il la commet tout exprès pour se procurer des erreurs à compenser; car enfin rien n'oblige à regarder une courbe comme un polygone, ni sa sécante comme une tangente. Quoi qu'il en soit, cette première erreur reste dans son esprit et ne pa^se pas dans son calcul, puisqu'il l'effectue sur les équations du cercle et de la sécante, et non sur celles du polygone et de sa tangente.

De cette manière il obtient Fégaliié TP = ^(^^^ + ^^)

dans laquelle h eik désignent les différences des coordonnées des deux points où la sécante coupe le cercle.

li(9,y 4- k]

L'expression - — -—^^ — —r , q"i donne la longueur de la

ligne désignée par ÏP, est exacte pour toutes les valeurs, grandes ou petites, des différences h et k. Si l'on y suppose nulles ces différences, la sécante devient tangente, et la

droite TP sa sous-tangente. On a alors TP =

Mais, afin de se procurer encore une erreur à compenser, Garnot ne suppose pas nulles les différences h ei k; il les suppose très petites, et c'est en les négligeant qu'il commet sa seconde erreur, qui, dans son esprit, vient compenser la première; et pour prouver que les deux erreurs se sont bien compensées, il démontre, par la géométrie élémentaire, que

réquation TP = , qui lui a donné la longueur de la

sous-tangente, est parfaitement exacte.

Croyant donc, comme il le dit, qu*il ne manque rien ni à Texactilude, ni à la généralité de sa démonstration, il conclut en disant : « Il faut, par conséquent, de toute nécessité que » les erreurs se soient compensées mutuellement; » et il ajoute : « Voilà donc le fait des erreurs compensées bien acquis » et bien prouvé. •

Comme je Tai montré, la première erreur qu'il commet en regardant le cercle comme un polygone, ne passe pas dans son calcul, puisqu'il opère sur l'équation du cercle, et non sur celle du polygone. De môme il ne commet aucune erreur en négligeant les différences h et A, puisqu'elles sont devenues absolument nulles lorsque la droite TP est devenue la soustangente. On comprend alors que deux erreurs absolument nulles se compensent nécessairement et très exactement.

Auguste Comte, qui a déjà admis comme évident le grand principe de Fontenelle, admet de même celui de Carnot; et non seulement il Tadmet, mais il en fait un pompeux éloge en ces termes :

• 11 était d'une importance réelle d'établir directement et » d'une manière générale la rationnalité nécessaire de la » méthode infinitésimale. Après diverses tentatives plus ou » moins imparfaites pour y parvenir, les travaux philoso- » phiques de Lagrange ayant fortement reporté, vers la fin du » siècle dernier, l'attention des géomètres sur la théorie géné- » raie de l'analyse infinitésimale, un géomètre très recomman- » dable, Carnot, présenta enfin la véritable explication logique » directe de la méthode de Leibnitz, en la montrant comme » fondée sur le principe de la compensation nécessaire des

10 l'analyse infinitésimale

» erreurs; ce qui est vraisemblablement, en effef, la manifes- » tation précise et lumineuse de ce que Leibnitz avait vague- » ment et confusément aperçu en concevant les bases ralion- » nelles de son analyse. Carnot a rendu ainsi à la science un » service essentiel et dont l'importance ne semble pas encore » suffisamment appréciée, quoique tout cet échafaudage logique » de la méthode infinitésimale proprement dite ne soit suscep- » tible très vraisemblablement que d'une existence provisoire, » en tant que radicalement vicieux par sa nature. »

Par l'échafaudage logique radicalement vicieux par sa nature, et qui n'est susceptible que d'une existence provisoire, il faut entendre tout le système des infiniment petits avec les propriétés qu'on leur attribue.

Après avoir expliqué, comme Lagrange et Carnot, le principe de la compensation des erreurs, Auguste Comte ajoute :

a Quand on considère en elle-même et sous le rapport » logique la conception de Leibnitz, on ne peut s'empêcher » de reconnaître avec Lagrange qu'elle est radicalement » vicieuse. »

Ce qui est radicalement vicieux dans la conception de Leibnitz, ce n'est pas sa méthode, mais son explication au moyen des infiniment petits.

Faute de savoir distinguer l'une de l'autre, Lagrange a rejeté la méthode avec les infiniment petits, pour y substituer une autre méthode fondée sur le développement des fonctions en séries infinies. Mais cette nouvelle méthode, qui pour la pratique est fort inférieure à celle de Leibnitz, ne présente pas moins de difficultés théoriques, d'après l'opinion de Cauchy, qui l'exprime en ces termes :

€ Les difficultés que l'on rencontre quand on veut déduire » la notion des dérivées de la considération d'une série com- » posée d'un nombre infini de termes, se trouvent à peine » dissimulées par toutes les ressources qu'a développées le » génie de Lagrange, dans les premiers chapitres de la Théorie D des fonctions analytiques. »

Depuis Lagrange et Cauchy, Duhamel a fait école, et il a remplacé le principe leibnilzien par deux théorèmes destinés à

servir de base, le premier au calcul différentiel, et le second au calcul intégral. Ces deux théorèmes ont été généralement adoptés par les auteurs qui sont venus après Duhamel. En voici les énoncés :

« Premier THÉORÈME. — La limite du rapport de deux quan- » tités infiniment petites n'est pas changée quand on remplace » ces quantités par d'autres qui ne leur sont pas égales, mais » dont les rapports avec elles ont respectivement pour limites » Tunité. x>

» Deuxième théorème. — La limite de la somme de quan- » tités infiniment petites dont le nombre augmente indéfini- » ment, n'est pas changée quand on remplace ces quantités par » d'autres dont les rapports avec elles ont respectivement » pour limites l'unité. »

Après avoir démontré ces deux théorèmes, Duhamel ajoute :

« Le grand avantage que l'on retire de ces théorèmes con- » sisle en ce qu'ils permettent souvent de négliger, dans les » quantités infiniment petites, la partie qui en rend la compa- » raison et le calcul difficiles. »

Comme il n'y est question que de limites de rapports et de sommes d'infiniment petits, il faudrait d'abord savoir au juste ce qu'on doit entendre par limite et par infiniment petits.

Duhamel donne la définition exacte de la limite en disant :

« On appelle limite d'une variable une quantité fixe dont » elle approche indéfiniment, sans que leur différence puisse » se réduire jamais rigoureusement à zéro. »

il dit ensuite :

a Toule variable qui a pour limite zéro se nomme un infini-. » ment petit. »

Après avoir donné cette définition, il ajoute :

a Les infiniment petits que l'on considère presque unique- » ment sont les accroissements des variables indépendantes » et des fonctions de ces variables. »

En tout cela Duhamel est d'accord avec la plupart des auteurs, qui définissent Tinfiniment petit en disant que « c'est » une variable qui peut approcher de plus en plus de zéro, » sans pouvoir être rigoureusement nulle. »

Or, si raccroissement h de la variable x est un infiniment petit qui a pour limite zéro, il faudrait dire ce qui empêche de le faire nul quand on veut.

Duhamel dit lui-môme que, « sur certains points Tcnseigne- » ment manque au moins de précision, et quelquefois peut- » être de franchise. »

En effet, comme il est de toute évidence que l'accroissement h dex peut devenir nul quand on veut, si, par une fausse définition, on prétend l'empêcher de devenir nul, c'est de peur de

tomber sur l'expression -, qui embarrasse, et que pour cela

on qualifie de forme illusoire et dénuée de sens.

Les accroissements des variables pouvant devenir nuls quand on veut, ils n'ont pas de limites, ni leurs rapports, qui

se réduisent à -. Cela suffit pour faire comprendre ce que

valent les deux théorèmes de Duhamel ; et pour ne parler que du second, il me suffit de dire qu'on n'en fera jamais une seule application.

Quand on suppose x infini, la variable 7/ = - est un infini-

ment petit qui a réellement pour limite zéro, parce qu'il ne peut pas devenir rigoureusement nul, môme pour x infini. On

voit de même que 4 est une limite que la variable y = 4 -| —

ne peut atteindre.

Il résulte de la définition môme de la limite d'une variable, que celle-ci ne peut avoir de limite qu'autant qu'elle est fonction d'une autre variable supposée infinie.

En efi*et, pour toute valeur donnée à x dans l'équation yz=zf(x),i\ en résultera pour y une valeur correspondante, qui n'est pas une limite, puisqu'elle est atteinte. Mais si Ton suppose X infini, il n'est pas possible de remplacer cette variable par un nombre infini, pour avoir la valeur correspondante de y. Alors, quand x croît indéfiniment, la valeur de y peut croître aussi indéfiniment, comme dans l'exemple y = x^ — 5.x: + 3,

,iàM

OU s'approcher iiidéfiniment d'une limite qui ne peut être atteinte, comme dans l'exemple v= "^ .

En mettant la fonction , ^ sous la forme 4 — , on

voit qu'elle se compose de sa limite 4, et d'un infiniment petit

^ . g qui a pour limite zéro.

Si donc la variable y = f(x) a une limite A, ce ne peut être que pour une valeur infinie supposée à .r; et si l'on fait f{x) = A + çfx), la fonction ç(.t) a pour limite zéro, en sorte que la droite y = A est une asymptote de la courbe y=f{x).

Par exemple, on a identiquement x — = i ^

La fonction — — • ayant pour limite zéro, la limite de la fonc-

tion X ^- — -est 1, et la droite y = 1 est une asymptote de

la courbe y = x

En mettant l'équation y = x — - sous la forme

•^ = — 1 7, on voit de même que — 1 est une limite

que la variable x ne peut atteindre, et que par suite la droite X = — 1 est l'autre asymptote de Thyperboïe.

Soit maintenant f[x) = ax -]- b -\- ç(x), où Ton suppose encore que (p(a) a pour limite zéro.

. La quantité ax -\- b n'est pas la limite de t{x), en ce sens que ce n'est pas une quantité fixe. Mais leur différence ç(ac) ayant pour limite zéro, la valeur de ax -{- b converge indéfini-

14 l'analyse infinitésimale.

meut vers celle de f{x), sans pouvoir l'atteindre, et pour cette raison ax + b est le convergent de f[x).

Par suite, la droite y = ax + b est une asymptote de la courbe y =^ f(x].

De môme, si Ton a f[x) = ax^ + bx+ c + ç(a'), le convergent de f{x) est ax^ + bx + c, et l'équation y= ax^ + ^^ + c représente une asymptote parabolique de la courbe y = f{x).

D'après cette théorie des limites, la seule exacte, il est évident que les accroissements des variables n'ont pas pour limite zéro, puisque rien n'empêche de leur donner cette valeur quand on veut.

Dès que Ton comprend que le principe leibnitzien est radicalement vicieux, selon Texpression d'Auguste Comte, il est clair que sa démonstration, sous quelque forme qu'on la présente, ne peut être qu'illusoire, comme celles de Fontenelle, de Garnot et de Duhamel. Or, de même que sans changer le mécanisme de la pompe, on a pu en rectifler la théorie, en remplaçant le principe de l'horreur du vide par la pression atmosphérique, je veux, sans changer le mécanisme de la méthode de Leibnitz,ni ses notations, en présenter une théorie simple et rigoureuse, sans l'emploi des inûniment petits, ni des limites de leurs rapports ou de leurs sommes. Ce sera l'objet de la deuxième partie de ce mémoire, où je ne supposerai connues que quelques notions élémentaires qui ne sont sujettes à aucune contestation.