DEUXIEME PARTIE

L'analyse dite infinitésimale sans infiniment petits.

L'enfant qui commence à calculer sait très bien dire : « 4 fois zéro, ou 8 fois zéro, font zéro. » C'est évident pour lui comme pour nous. Il s'ensuit que zéro divisé par zéro donne 4, aussi

bien que 8, aussi bien que tout autre nombre. Poser - c'est

demander combien il faut de zéros pour faire zéro, et il est évident qu'il en faut un nombre quelconque. Donc tout nombre

représente une valeur de -.

Maintenant, soit y = — -^ j-^, qui se réduit à - pour

jr =: 4. Il s'ensuit que pour x = 4, tout nombre représente une valeur correspondante de y.

On voit par là qu'en même temps que x atteint la valeur 4,

le facteur arrive, avec la valeur 1, à la forme -, pour

prendre toutes les valeurs possibles.

ûc X ■"■" 4 Ainsi, tant que x diffère de 4, le produit -- X ; a la

même valeur que le facteur ~, et il arrive en même temps

que ce facteur a la valeur -- ou 8, pour a? = 4. Mais en se

réduisant alors à «r, il prend toutes les valeurs possibles, en commençant par la valeur 8<

L ANALYSE INFINITESIMALE

J.I Ij» ^\

Celle première valeur que prend la fraclion r-4 rr en

devenanl -, s'appellera la primordiale de celle fraclion, el le

fadeur —, qui, pour x = 4, délermine la

primordiale, s'appellera son délerminalif.

Le lieu géomélrique représenlé par

l'équalion y =

se compose de

la parabole y = —et Ae la droile x = 4

(fig. 1).

La primordiale 8, que l'on oblient en

faisanl x == 4 dans le délerminalif — ,

représente l'ordonnée AR du poinl R où la droile x = 4

rencontre la parabole y = — .

Fig. 1.

De même, le lieu représenté par Téquation y=

3c«x-f3cx«+x3

ou y = (3c* + 3cx + x*) -, se compose de la parabole

j/ = 3c« + 3cx + X* et de la droile x = 0.

En faisant x :^ dans le délerminalif 3c* + 3cx + x«, on obtient 3c2, qui représente en même temps la primordiale de

la fraclion qui se réduit à - pour x = 0, et l'ordonnée du point

où la droite x = rencontre la parabole.

Cela posé, nous arrivons au problème général des tangentes, qui a conduit Leibnitz à sa méthode dite infinitésimale.

La question consiste à déterminer Téquation de la tangente à une courbe quelconque, en la déduisant de celle de la sécante.

Une droite étant représentée par l'équation y = ax + 6, le

facteur a* sera dit le coefficient angulaire, ou simplement le coefficient de la droite.

Maintenant, sur la courbe y = x^ ffig. 2), prenons un point fixe A, déterminé par ses coordonnées jc et y, puis un point mobile M, ayant pour cordonnéesx + h et

Comme on le sait, le coefficient

de la sécante AM est donné par le

k rapport -• .

Or on a ici Â: = {x -f hy — x^, ou

k = 3x^h -f 3xh^ + /i^ ; en sorte

qu'en désignant par a le coefficient de la sécante, on aura