DISCUSSION
Dans un traité d'analyse qui serait fondé sur les principes qui viennent d'être établis au moyen des notations de Leibnitz, les différentielles dx, dy^ dz désigneraient les accroissements quelconques, et non infiniment petits, des variables x, y^z.
L'expression / 3A:*d.r, au lieu d'indiquer une somme, ou la
limite d'une somme d'éléments infiniment petits, indiquerait tout simplement la fonction dont 3jc' est la dérivée. Mais les questions y seraient résolues au moyen des mêmes formules, des mêmes équations et des mêmes calculs que dans les traités ordinaires.
De même que l'on a pu fabriquer des pompes avant de connaître le principe de l'horreur du vide, Leibnitz a pu résoudre le problème général des tangentes avant de connaître les infiniment petits, qu'il n'a imaginés que pour réfuter les objections dont sa méthode était l'objet.
En effet, si oc = 3*x + 3x/i + h^ exprime le coefficient de la sécante menée par deux points de la courbe y = jc% il est évident que la sécante ne deviendra tangente que quand le second point coïncidant avec le premier, la différence /i de x sera rigoureusement nulle.
C'est donc en faisant ft = dans l'équation a = 3x'-f- 3x/i-|- ^* que l'on obtiendra a := 3.v' pour le coefficient de la tangente.
24 E^" l'analyse infinitésiuale
C'est ainsi que pour aToir Tordonnée à Torigine de la courbe y = a + 6x + cjc*, on fait x =0 dans cette équation, ce qui donne y=^a.
Personne ne s'avisera de dire qu'il fait d'abord jc infiniment petit, et qu'on néglige ensuite les infiniment petits hx et ex*, ou qu'on fait tendre x vers zéro pour avoir la limite de y.
Ainsi qu'on vient de le voir, le problème des tangentes se résout sans limites ni infiniment petits. Ils n^ont été imaginés que pour répondre à l'objection que Ton exprime en disant :
Si Ion fait /i = dans le rapport , il se
réduit à -, en sorte que le calcul donne une valeur complète-
ment indéterminée pour le coefficient d'une tangente complètement déterminée. Pour éviter la forme- , considérée comme
illusoire et dénuée de sens, on fait h seulement infiniment petit. Mais comme pour la rigueur on doit avoir exactement a = 3jc*, on attribue aux infiniment petits 3x/i et /i* là vertu de s'éclipser devant une quantité finie.
Toute la difficulté consistait à comprendre que le résultat
du calcul qui donne —, est parfaitement d'accord avec la géo-
trie; car lorsque les deux points où la sécante coupe la courbe coïncident, la droite n'étant plus assujettie qu'à passer par un point, peut prendre, autour de ce point, une infinité
dépositions correspondant à autant de valeurs du rapport -;
tandis que le coefficient de la tangente elle-même est donné
, • A^o2Aif r 3x^/1 + 3 xh^ + /l3 par la primordiale 3jc* de la fraction ^ — , qui
se réduit à — pour /i = 0.
Une fois que l'on a commis Terreur de croire que le calcul se trompe en donnant — pour le coefficient de la tangente, et
qu'ainsi Texpression - est une forme illusoire dénuée de sens,
il n'est plus possible de se tirer d'affaire sans se contredire. Car
enfin, pour déduire la dérivée 3.x' du rapport ,
y faites-vous h = 0, oui ou non? Vous dites non ; vous faites h
infiniment petit, et le rapport se réduit a
3jc* + 3jc/i + h^' Et maintenant quelle valeur donnez-vous à h pour que 3x2 + 3.\:/i + /i* gg réduise à 3x*? Vous répondez que vous faites tendre h vers zéro. Ce n'est pas répondre: il faut dire si oui ou non vous faites /i = 0.
a Euîer et d'Alembert », dit Lagrange, «r ont fait voir que les » différences qu'on suppose infiniment petites doivent être » absolument nulles. »
M. Boussinesq dit aussi que « zéro est le seul nombre qui » soit, à proprement parler, infiniment petit. » Cependant il ajoute : « L'infiniment petit n'est pas le zéro pur, mais bien le » zéro en tant que limite des décroissements d'une grandeur. »
Dans un traité récent je lis : « L'infiniment petit a une infi- » nité de valeurs principales. » S'il n'y a que zéro qui soit vraiment infiniment petit, c'est donc zéro qui a une infinité de valeurs principales.
D'après M. Ch.de Freycinet, trinfîniment petit est éminem- » ment variable. » Est-ce toujours zéro qui, en variant éminemment, prend une infinité de valeurs principales?
Dans le cours d'analyse de M. Laurent on lit: « Zéro peut » être une valeur particulière de l'infini. » Il faut croire que c'est une des valeurs principales de zéro qui est une valeur particulière de l'infini.
D'après Carnot, « les infiniment petits semblent, par leurs » propriétés équivoques, tenir le milieu entre l'existence et le » néant »
Peut-être qu'entre l'existence et le néant il n'y a place que pour zéro, en sorte que ce zéro, qui a déjà une infinité de valeurs principales, aurait aussi une multitude de propriétés équivoques !
20 l'analyse infinitésimale
Il appartenait au philosophe Hegel de nous donner la plus épatante des définitions de Finfinimeut petit.
« I/élément infinitésimal », dit-il, « est la grandeur prise au » moment où elle participe à la féconde identité de Têtre et du néant. »
Pour être capable de comprendre et de mettre tout cela d'accord, il faudrait au moins avoir remporté le grand prix de philosophie.
Non seulement Tinfiniment petit a toutes les propriétés qui découlent de ses différentes définitions, mais on lui en infuse encore d'autres au moyen de théorèmes spéciaux. Voici, par exemple, la première des quatre propositions que M. Charles de Freycinet démontre dans sa Métaphysique de Vanalyse infinitésimale :
« Première proposition. — Deux quantités fixes, entre lesy> quelles on suppose qu'il n'existe qu'une différence infiniment » petite, n'ont réellement pas de différence et sont rigoureu- » sèment égales. »
Si les deux quantités sont fixes, leur différence est fixe évidemment. Pourquoi la supposer infiniment petite quand on vient de dire que l'infiniment petit est éminemment variable? De même, si les deux quantités sont rigoureusement égales et n'ont réellement pas de différence, pourquoi vouloir leur supposer une différence infiniment petite? Contradiction sur contradiction I
Lorsque Tauteur croit avoir démontré sa proposition, il conclut en disant: « Par conséquent on a non-seulement le droit, » mais encore le devoir de supprimer l'infiniment petit dans » les relations, afin de rétablir la réalité des choses. »
Si, dans la relation k = 3x^/i + 3xh^ -f ^^» je supprime tous les infiniment petits, il me vient = 0, et je ne vois pas quelles sont les choses dont la réalité est rétablie.
Il me semble qu'on pourrait mettre ce genre de démonstration à la portée de toutes les intelligences en disant :
« Celui qui n'a qu'un merle blanc, n'a réellement aucun » merle; car tous les merles étant noirs, il faut de toute néces-
» site que son merîeblancsoit un merle noir. Par conséquent,
» on a non seulement le droit, mais encore le devoir d'exter-
» miner tous les merles blancs, afin de rétablir la réalité des
» choses. »
Le merle noir c'est zéro, et le merle blanc Tinfiniment petit.
Il faut d'abord que le merle soit blanc; autrement, pour /i = 0,
le rapport se réduirait a — , forme illusoire
et dénuée de sens. Mais quand le rapport est réduit à 3v2 + 3xli + h^, il faut que le merle soit noir, car il n'y a que pour /i = que Texpression 3jc* + 3«x/i + h^ se réduit à 3:c*. C'est alors qu'on dit :
« Puisque le merle blanc ne peut être qu'un merle noir, il » faut en conclure que le merle blanc figure abusivement dans » la cage, où il s'est introduit par suite de quelque erreur passée » inaperçue. Si donc on est bien assuré que l'oiseau ne peut » être autre chose qu'un merle blanc, on est assuré, du même » coup, que cet oiseau est un merle noir. »
Voici, du reste, le texte même pour ceux qui le Irouveraient plus clair que ma traduction.
« Puisque les deux quantités sont fixes, leur différence ne » saurait être égale à une quantité infiniment petite, qui, de » sa nature, est éminemment variable. Il faut en conclure que » 1 inégalité supposée n'est qu'apparente, et que l'infîniment » petit qui est censé la représenter, figure abusivement dans » la formule, où il s'est introduit par suite de quelque erreur » de calcul passée inaperçue. Si donc on est bien assuré que » la diff'érence entre les quantités fixes ne peut être autre >) chose que cet infiniment petit, on est assuré, du même » coup, que celte différence n'existe pas. »
L'auteur n'osant dire, en propres termes, que la différence infiniment petite est zéro, dit qu'elle n'existe pas. Mais alors, si le merle blanc n'existe pas, comment a-l-il pu s'introduire furtivement dans la cage pour y figurer abusivement?
L'infiniment petit peut bien s'introduire abusivement dans votre esprit, mais il ne peut s'introduire dans la formule, ni abusivement ni autrement.
28 l'analyse infinitésimale
Quand x augmente de /i, la formule y = x^ devient
Evidemment on peut donner à /i la valeur que Ton veut, en remplaçant cette letlre parle nombre qui exprime cette valeur. Ainsi, pour /i = 2, on obtient y = x^ + 6v* + 12r + 8; tandis que si Ton fait h = 0, on retombe sur i/ = x^.
Maintenant, puisque vous avez suffisamment creusé la notion de rinfiniment petit, et y avez découvert une infinité de valeurs principales, introduisez Tune de ces valeurs dans la formule, en y remplaçant la lettre h par le nombre qui exprime cette valeur. Mais, tant que je verrai la lettre h dans la formule, je serai sûr que Tinfinimeat petit ne s'est pas introduit à sa place : il sera resté dans votre esprit, et je n'ai point à voir s'il y figure abusivement.
L'infîniment petit n'existe pas plus que Tinfiniment grand. Mais si vous vous en tenez à la définition que vous en donnez en disant que a 1 infiniment petit est une variable qui a pour
limite zéro », les variables u = — , « = , , 2 = -— sont
X log X 2jc
des infiniment petits ; et c'est en négligeant ceux-là que l'on
commet une erreur qui conduit souvent à des paradoxes qu'on
regarde comme de brillantes découvertes.
Par exemple, si dans l'expression i -\ — , on néglige l'infini-
ment petit — devant la quantité finie, l'identité
devient jc — x = l,ouO=l, pour jc = » .
Or Gérono, qui a traité cet exemple, entend que le principe est infaillible, et soutient que l'égalité x — x = 1, ou x = .\-t-l, est exacte pour JC = 00 ; en sorte que l'infini x se surpasse lui-môme, tout comme l'auteur en faisant cette sublime découverte.
On retombe ainsi sur le grand principe démontré par Fon-
tenelle, et admis comme évident par le Grand Arnauld et Auguste Comte, qui en ont déduit le postulatum d'Ëuclide.
Ce qui me paraît fort étonnant, c'est qu'aucun de ces grands génies n'a compris que le postulatum d'Euclide est une proposition absurde, comme sa définition que tous les géomètres ont adoptée, en appelant parallèles deux droites qui, prolongées à rinfini, ne se rencontrent pas. Je ne pourrai donc être sûr que mes deux droites sont parallèles que quand je serai arrivé à l'infini? et vous ne me dites pas où il se trouve ! Tant qu'une droite a deux bouts, elle est finie évidemment, et tant que vous ne me donnerez pas le moyen de supprimer ses deux bouts, je croirai qu'une droite infinie ou prolongée à l'infiniestimpossible.
Duhamel dit qu'on n'a trouvé aucun moyen rigoureux de se passer du postulatum d'Euclide. Le moyen de se passer et de son postulatum et de sa définition, l'un entraînant l'autre, est pourtant bien simple et se trouve dans tous les dictionnaires, qui, conformément à l'étymologie, appellent parallèles deux droites équidistantes.
Le postulatum d'Euclide n'ayant d'autre vertu que de détruire le défaut de sa définition, il deviendra plus qu'inutile dès qu'on partira d'une définition exacte.
La définition de Lobatschewski est, comme celle d'Euclide, fondée sur une propriété de l'infini; et comme il n'en corrige pas le défaut par un postulatum, elle le conduit à des résultats étranges, et en contradiction avec ceux de la géométrie d'Euclide; ce qui a fait donner le nom de géométrie non-euclidienne à cette espèce de géométrie, que M. Bertrand a qualifiée de débauche de logique, quoique l'illustre Gauss en ait approuvé et voulu justifier les résultats, en disant : « Les angles d'un » triangle équilatéral peuvent varier suivant la grandeur des » côtés, et si les côtés croissent au delà de toute limite, ils » peuvent devenir aussi petits qu'on voudra
n Les résultats de la géométrie non-euclidienne ont l'air de » paradoxes. Mais ces contradictions apparentes doivent être » regardées comme l'effet d'une illusion, due à l'habitude que * nous avons prise de bonne heure, de considérer la géométrie » euclidienne comme rigoureuse »
30 l'analyse infinitésimale
Si donc la géométrie non-euclidienne vous démontre que tous les cercles sont carrés ou triangulaires, vous devez comprendre que la contradiction n'est qu'apparente, et doit être regardée comme relîet d*une illusion, due à fabominable habitude que vous avez prise de ne jamais voir ni faire que des cercles complètement ronds.
Voici encore une opinion que je veux hasarder en terminant.
Si, au lieu de sa Théorie des fonctions analytiques^ Lagrange, « le premier géomètre du siècle », comme dit M. C. de Freycinet, avait publié un Traité d'analyse mathématique fondée sur les principes et les règles qui viennent d'être exposés dans ce mémoire, les inûniment petits ne seraient plus employés aujourd'hui qu'en homœopathie.
Il est vrai que la question qui fait l'objet de ce mémoire, et qui consistait à établir rationnellement la méthode de Leibnitz au moyen de ses propres notations, et sans l'emploi des limites ni des infiniment petits, pourrait paraître avoir été déjà résolue par Lagrange, si Ion s'en rapportait au titre de sa Théorie des fonctions analytiques, contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération de limites, d'infiniment petits^ etc. Mais, en réalité, celte théorie ne contient ni difîcrentielles, ni équations différentielles, ni les principes du calcul différentiel. Elle en donne et confirme les résultats au moyen d'une mélhode essentiellement fondée sur le développement des fonctions en séries. Or, ce qu'on appelle somme d'une série est la limite de la somme de ses termes, et en diffère d'un infiniment petit proprement dit, qui ne peut jamais devenir nul. Il s'ensuit qu'en égalant les fonctions à leurs développements en séries, Lagrange emploie constamment les limites. Je veux bien admettre qu'il le fait comme Monsieur Jourdain faisait de la prose ; mais il le fait incontestablement.
Déjà Cournot avait dit : « La méthode de Lagrange n'a point » l'avantage d'éliminer la notion des limites ou toute autre » équivalente. »
En outre, en égalant les fonctions h. leurs développements en séries, Lagrange néglige forcément des infiniment petits
SANS LIMITES NI INFINIMENT lETiTS. 31
qui ne peuvent pas devenir nuls, ce qui est pire que de les considérer. Mais il néglige bien plus que cela lorsqu'il prétend qu'une fonction peut toujours être remplacée par son développement en série, même si la série est divergente, ainsi qu'il le soutient dans la réponse suivante, qu'il a faile à d'Alembert :
€ Je demande si toutes les fois que dans une formule algé- » brique il se trouve, par exemple, une série géométrique telle » que :
» on ne sera pas en droit d'y substituer , quoique celte
» quantité ne soit réellement égale à la somme de la série » qu'en supposant le dernier terme x* nul. Il me semble » qu'on ne saurait contester Texaclitude d'une telle substilu- » tion sans renverser les principes les plus communs de » l'analyse. »
Je voudrais bien savoir quels sont les principes renversés.
En désignant par  et B le dividende et le diviseur, par Q et R le quotient et le reste de la division, on a identiquement
A = BXQ +R, ou— =Q+ — ;et cette formule constitue
un des principes fondamentaux de l'algèbre comme de l'arithmélique.
En écrivant — = Q, on renverse le principe par l'omission
du terme ~ . C'est ce que fait Lagrange quand il écrit B
Lorsque la série est convergente, le terme - a pour limite
zéro, mais ne devient pas nul, et il en est de môme du terme
que Lagrange désigne par .x* .
Il s'ensuit qu'en écrivant l'égalité
32 l'analyse infinitésimale
Lagrange néglige dans le second membre un infiniment petit qui ne devient pas nul. et que ]e premier membre est la limite, et non la somme, des termes du second.
Mais lorsque la série est divergente, le terme —, qu'on
néglige, grandit indéfiniment, et il en est de même de la différence des deux membres de Tégalité, qui devient absurde, comme on le voit en faisant .x = 2 dans la précédente, ce qui
donne
Comment Lagrange peut-il prétendre qu'on ne saurait contester Texactitude d'une telle égalité ?
Charles Dupin a dit que Lagrange avait démontré Leibnitz. Pour démontrer Leibnitz, il fallait expliquer, sans son postulatum, le problème général des tangentes, en déduisant Téquation de la tangente de celle de la sécante. Or celte question
conduisant à l'expression - , Lagrange, ainsi que les autres
géomètres, la regarde comme illusoire, parce que, dit-il, « un » , rapport n'offre plus à l'esprit une idée claire et précise aus- » sitôt que ses termes deviennent Pun et l'autre nuls à la fois. »
D'ailleurs, sa Théorie des fonctions analytiques étant annoncée comme « dégagée de toute considération de limites », il ne pouvait non plus adopter la définition que tout le monde donne en disant : « On appelle tangente à une courbe la limite vers • laquelle tend la direction de la sécante. »
Pour éviter celte pierre d'achoppement, il s'en va déterrer une vieille définition des anciens.
« Suivant les anciens géomètres, » dit-il, « une ligne droite » est tangente d'une courbe lorsque, ayant un point commun » avec la courbe, on ne peut mener par ce point aucune droite » entre elle et la courbe. »
En disant qu'il choisit celte définition a afin de donner par » là à la solution de ces problèmes toute la rigueur des démons- > trations des anciens », il me paraît manquer un peu, sur ce point, de précision et même de franchise.
En quoi les démonstrations des géomètres modernes sont-
elles moins rigoureuses que celles des anciens? On comprend que ce ne peut être que dans les théories qui n'étaient pas connues des anciens.
En premier lieu, la démonstration de la méthode infinitésimale reposant tout entière sur le postulatum de Leibnitz, il s'ensuit que, malgré l'exactitude de la méthode, presque rien n'y est démontré rigoureusement. D'ailleurs j'ai montré plus haut ce que valent les théorèmes par lesquels on a prétendu démontrer ou remplacer le principe leibnitzien. Le dernier perfectionnement qu'on a cru y apporter consiste à modifier les énoncés des théorèmes de Duhamel, en y remplaçant l'inliniment petit par sa prétendue valeur principale, comme le fait le programme officiel, où il est dit :
« Valeur principale d'un infiniment petit. — Condition sous » laquelle deux infiniment petits peuvent être substitués l'un » à l'autre dans des limites de sommes et de rapports. »
Duhamel ne dit pas que la substitution de deux infiniment petits se fait dans les limites; car toute limite étant une quantité fixe, elle ne renferme aucun infiniment petit. Par exemple,
c est 12 que vous appelez la limite du rapport ;
or 12 ne renferme aucun infiniment petit. Et ceux qui, comme Euler, d'Alembert, M. Boussinesq, n'admettent d'autre infiniment petit que le zéro pur ou à l'état naissant, cx)mment s'y prendront-ils pour remplacer un zéro par sa valeur principale?
En second lieu, en dehors de la méthode infinitésimale proprement dite, il arrive souvent aux géomètres d'appuyer leurs démonstrations sur des propriétés particulières qu'ils attribuent à Tinfini, et qu'il est plus facile d'admettre que de les vérifier. Comme Tinfini n'a pas d'autre propriété que d'être impossible, il s'ensuit que ces démonstrations ne sauraient être tenues pour rigoureuses.
Quand vous me dites que zéro est une valeur particulière de l'infini, j'aime mieux le croire que d'y aller voir ; mais je croirais aussi bien que c'est l'infini qui est une valeur particulière de zéro.
34 l'analyse infinitésimale
Sx — {
Vous me dites aussi que la valeur de la fraction est
3 pour oc = 00 et que, par conséquent, x = oo est racine de
3jc — i
l'équation — — 3 = 0. Gomme cette équation peut se
mettre sous la forme 3a: — 3a: =4, j'aime mieux croire qu'elle n'est autre chose que l'absurdité = 4.
Lorsqu'un auteur est conduit à une pareille absurdité par l'application d'un faux principe qu'il croit exact, il lui donne le nom de paradoxe, et comme il lui est impossible de découvrir son erreur, il explique son paradoxe par une assertion souvent plus paradoxale que le paradoxe lui-même. En voici un exemple :
Soient les deux sommes :
j + 02 + .3 + 4 + 5 + jj + ••••-
qui, étant supposées prolongées à Tinfini, ne diffèrent que par
le terme— , qui n'est que dans la première. 11 en résulte que
par la soustraction des termes correspondants, on obtient la première égalité du tableau suivant, où l'on voit que chacune des autres se déduit de la précédente, en retranchant la même fraction de ses deux membres.
Ï2^~âÔ'^3()'^42"'~ ^3'
En réunissant en un seul tous les termes égaux d'une même colonne, on obtient :
illlli lliilli
qui se réduit à = 1.
Voilà le paradoxe et voici quelques-unes des explications que j*ai recueillies :
1<» (( Vous n*avez pas le droit d'ajouter une infinité d'égalités. »
2« « On n'a pas le droit d'employer les séries divergentes. »
3** « On n'a pas le droit de traiter les séries comme des polynômes. »
Voyons d'abord ce qui va arriver si nous traitons les séries comme des polynômes. Soient donc les deux polynômes :
qui diffèrent par le terme -- qui est -dans le premier, et par —
qui est dans le second. Il s'ensuit qu'en soustrayant le second
du premier, on obtient la première identité du tableau suivant,
où Ton voit aisément comment chacune des autres se déduit
de la précédente.
36 l'analyse infinitésimale
Par Taddition de ces identités on obtient la suivante : 4iifiiilll*i6
qui se réduit àO = - — -, ouàO = 0.
Si. au lieu de vous arrêter au terme — , vous vous arrêtez au
1 in
terme — , vous obtiendrez = - , ou 0=0, même lorsque
n in
vous supposerez n infini.
Comme on le voit clairement, c*est en traitant les séries,
surtout les séries divergentes, comme de simples polynômes à
deux bouts, que Ton obtient l'identité = 0, au lieu de
Tabsurdité = 1.
Soient encore les deux séries
qui sont archidivergentes.
En les supposant prolongées à TinQni, elles ne diffèrent que
par le terme - , en sorte qu'en retranchant la seconde de la
première, on obtient Tabsurdilé
Mais en traitant les mêmes séries comme de simples polynômes à deux bouts, nous obtenons l'identité
Et quand au lieu de s'arrêter au terme — , on s'arrêtera au
terme , le second nombrs de l'identité sera i ,
ou 1
Ce second exemple, comme le premier, prouve que c'est en
supposant — = pour n =00 que Ton commet Terreur qui
conduit à l'absurdité = 1 ; car on regarde alors l'égalité
-+- + —+-— + . ... = 7, et les suivantes, comme par- 2 . 6 12 20 1
faitement exactes, au point que M. Bertrand les appelle des identités, et déclare irréprochable le calcul qui a conduit à TabsurditéO = 1, qu'il attribue à une vertu occulte qu'aurait toute série divergente de fausser les raisonnements et les calculs les plus irréprochables, et cela sans qu'on sache ni pourquoi ni comment.
Voici son explication.
« Tous les géomètres s'accordent aujourd'hui à regarder la » convergence d'une série comme une condition nécessaire de » son légitime emploi. Les premiers inventeurs de cette » grande théorie partageaient cette opinion, qui semble d'ail- » leurs si naturelle.
» C'est vers le commencement du siècle que Poisson rappela » les géomètres à la vérité et à la rigueur, en montrant à » quels résultats peut conduire l'emploi des séries diver- » gentes. Quelques lignes énergiques de Gauss et d'Abef ont » également contribué à faire cesser ce scandale géométrique, » et à établir solidement la nécessité absolue de la conver- » gence
B Les géomètres du xviii* siècle attachaient peu d'impor- » tance à la convergence des séries. Les plus illustres d'entre » eux ont employé des séries divergentes, et paraissent s'être » fait illusion sur le peu de rigueur des raisonnements où elles » interviennent. On trouve cependant dans les œuvres de » Jacques Bernoulli un exemple très remarquable du danger » qu'elles présentent. Nous rapporterons cette démonstration, » qui fournit un des arguments les plus simples et les plus » concluants que l'on puisse présenter sur cette question, qui, » d'ailleurs, n'est plus douteuse pour personne. »
Après avoir reproduit l'exemple de Bernoulli, il termine en disant :
38 l'analyse infinitésimale
€ On serait conduit à conclure 0= i, résultat absurde. Le » raisonnement serait cependant irréprochable si la série
» ~ + ô+ T+-+ était convergente. On peut donc
» affirmer qu'elle ne Test pas, et Ton voit en même temps
» quelles erreurs peut entraîner l'emploi des séries diver-
» gentes. »
J*ai pu constater que Tasseriion de M. Bertrand n'est que trop vraie quand il dit : a Tous les géomètres s'accordent » aujourd'hui à regarder la convergence d'une série comme » une condition nécessaire de son légitime emploi : la ques- » tion n'est plus douteuse pour personne. »
Ainsi qu'il le dit encore : « quelques lignes énergiques de » Gauss et d'Abel ont contribué à faire cesser ce scandale » géométrique. »
On peut juger de l'énergie des lignes d'Abel par les suivantes :
« Les séries divergentes sont quelque chose de bien fatal, et » c'est une hpnte qu'on se soit avisé d'y fonder aucune démons- » tration. On peut démontrer tout ce qu'on veut en les )> employant; ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et qui » ont enfanté tant de paradoxes. »
S'il fallait interdire l'emploi de tout ce qui peut présenter des dangers ou causer des malheurs, on commencerait par proscrire remploi de la poudre et des canons, des sabres et des fusils, surtout en temps de guerre, à cause des dangers qu'il présente et des malheurs qu'il peut causer.
Dans un ouvrage récent et déjà fort répandu je lis : « On ne peut baser aucun raisonnement sur une série divergente. »
Il faudrait pourtant comprendre que la proposition en ellemême est absurde, et qu'il n'est pas une chose au monde, ni ailleurs, sur laquelle on ne puisse baser un raisonnement. Ainsi je baserais un raisonnement sur les séries divergentes en montrant comment Leibnitz et les frères BernouUi ont su les employer, et tout particulièrement la série harmonique, pour
engendrer et sommer les plus belles et les plus intéressantes séries convergentes.
Pour comprendre combien est absurde la prétention d'interdire tout emploi des séries divergentes, il suffit de considérer que la suite naturelle des nombres entiers est une série divergente, que les tables de logarithmes, comme les numéros d'une rue, forment deux séries divergentes.
Remarquez bien que Terreur qui a enfanté le paradoxe, et qui consiste à regarder comme une vraie identité l'égalité que l'on écrit entre la somme des termes d'une série et sa limite, ne pouvait pas se commettre sur une série divergente, dont la somme n a jamais de limite.
L'occasion se présente ici de signaler une autre erreur, ou plutôt un faux principe qui se trouve dans tous les traités sur la théorie des séries.
11 consiste à admettre que la somme d'une série varie quand on change Tordre de ses termes.
On établit le principe en prouvant que les deux séries
1 2 î'^ao 8+ '
n'ont pas la même somme, quoique composées des mêmes termes, et Ton démontre qu'elles sont composées des mêmes termes, en faisant observer qu'il n'est pas possible de désigner un terme de Tune que Ton ne puisse montrer dans l'autre.
Lorsqu'une somme est composée d'un nombre fini de termes, il est évident qu'elle ne varie pas avec Tordre de ses termes. En disant qu'il en est autrement lorsque la série a un nombre infini de termes, on énonce une nouvelle propriété de l'infini, et j'ai avancé, comme principe fondamental, que Tinfini n'a d'autre propriété que d'être impossible.
Pour montrer l'absurdité de cette nouvelle propriété, traitons les deux séries comme deux polygones composés de leurs
six premiers termes. Nous voyons qu'ils diffèrent par le
terme -, qui est seulement dans le premier, et par le terme
40 l'analyse infinitésimale. #
— - , qui est seulement dans le second, en sorte que la différence
de leurs sommes est - -f -.
D'une manière générale, si Ton donne On termes aux deux polynômes, il y en aura 3n positifs et 3n négatifs dans le premier; tandis que le second en aura4n négatifs contre 2n positifs. Or, pour que les deux séries soient composées des mêmes termes, il faut que dans la seconde il y ait, comme dans la première, autant de termes positifs que de termes négatifs, et qu'ainsi, pour n inflni, on ait 4n = 2n ou 4 = 2. Quel est donc le paysan, même du Danube, auquel vous ferez croire qu*il y a un pays où quatre font deux? Et si vous lui dites que cela a lieu à l'infini, il pourra vous répondre : Ce pays est donc dans le monde renversé, où c'est l'âne qui conduit le meunier au moulin?
