x Sa

Le rapport — se réduisant à - pour 8x = 0, comment indi-

quera-t-on sa primordiale, qui est la dérivée de y = a.^? Le symbole y^ indique bien la dérivée de la fonction y, mais

il n'indique pas l'autre variable, tandis que le symbole — indi-

querait non seulement que les deux variables sont y et x, mais

encore que la dérivée j- est la primordiale du rapport — .

L expression -- mdiquant le quotient de 8y par Sa:, on a

Si/ I

exactement -- = 3x^ + 3.v8a: + oa-^; tandis que le symbole —

ôa: ^^

n'indique pas le quotient de dy par dx, mais simplement la

primordiale du rapport -r-; de sorte que c'est par définition

dy qu'on a -^ = 3.v*, aussi bien que i/ = 3x*.

dy D*après cette définition, le symbole — n'indique pas le quo-

tient de deux quantités, grandes ou petites; de môme que les

symboles log., lang. n'indiquent pas des produits de plusieurs

nombres. Mais^ lorsque par dx et dy on entend les accroisse-

dy ments de x et y. Tégalité -r- = 3x^ est nécessairement fausse,

puisque l'égalité exacte serait Y- = 3x^ + 3xdx + dx^;eiVégH'

d]j lité y-= 3.v^ ne devient pas même exacte quand on y fait

dx = 0, puisqu'on obtient alors - = 3.vS dont le premier

membre est indéterminé et le second déterminé.

Et pourtant, dans Ife système de Leibnitz, on regarde et Ton

,, . dy

traite 1 expression — - comme étant le rapport des deux diffé-

rences dy et dx, qu'on suppose infiniment petites, et qu'on

appelle alors différentielles. On sépare à volonté les doux

dy termes du rapport -r-, et Ton obtient dy = 3x^dx. qu'on

appelle équation différentielle.

Ce qu'il y a d'extraordinaire, et qui a fait l'étonnement général des géomètres, c'est que les équations différentielles, nécessairement inexactes, comme je viens de le prouver, ne conduisent jamais qu'à des résultats exacts. C'est là un mystère qu'on a vainement cherché à expliquer en attribuant aux infiniment petits des propriétés non moins mystérieuses, telles que celle de s'évanouir devant les quantités finies, ou de pouvoir être remplacés par leurs parties principales.

La vraie explication de ce mystère, qu'on pourrait appeler le paradoxe différentiel, consiste dans l'évidente impossibilité

20 l'analyse infinitésimale

où Ton se trouve de remplacer les différentielles djc, dy par les nombres qui représentent les valeurs inûniment petites qu'on leur suppose.

Cela étant compris, il en résulte que vous pouvez supposer aux différentielles dx, dy, dz toutes les valeurs qu'il vous plaira, infiniment petites ou infiniment grandes, réelles ou imaginaires; vous arriverez nécessairement au même résultat que moi, qui ne leur suppose d'autres valeurs que celles des plus vulgaires nombres entiers. La différence n'existera que dans notre esprit, et ne passera pas dans le calcul, tant que nous n'y remplacerons pas ces différentielles par les valeurs que nous leur avons supposées ; de sorte que le résultat du calcul, d'où ces différentielles auront disparu, ne pourra dépendre que des dérivées renfermées dans les équations différentielles, et sera par conséquent le même pour vous et pour moi, malgré la différence des valeurs que nous aurons attribuées mentalement aux différentielles dx, dy, dz.

Le calcul intégral a pour objet le problème inverse des tangentes, c'est-à-dire le problème qui consiste à remonter d'une fonction donnée à sa primitive.

Par exemple, si l'on donne 3a'^ comme la dérivée d'une fonction 2, on aura z = x^.

Dans la méthode de Leibnitz, c'est la différentielle dz = S.v^dx que l'on suppose donnée, parce que Ton considère la fonction z comme composée d'éléments infiniment petits représentés par ZxHx, et l'on indique leur somme par l'expression / 3.x*djc, dans laquelle le signe / est une forme

allongée de l'initiale du mot somme.

C'est le problème des quadratures qui a donné lieu à cette notation, parce que l'aire OAB (fig. 3) terminée à la courbe y = 3.x2 est considérée comme composée d'éléments rectangulaires GDGF, ayant pour expression ydx, dans laquelle y varie de l'un à l'autre.

L'élément véritable de la surface OAB est le trapèze mixtiligneCDEF, composé du rectangle CDGF = î/d!jc, et du triangle mixtiligne EFG, qui, étant infiniment petit par rapport au rec-

tangle, se néglige en vertu du principe leibniizien, de sorte qu'en considérant le rectangle lui-même comme l'élément de

Taire 2, on écrit dz = ydx, et par suite - = / 2/cîjc.

Dans notre théorie. Taire OAB n'est pas considérée comme une somme d'éléments infiniment petits.

L'accroissement /i ou 8.x de la variable X est quelconque, et Taccroissement Zz est représenté par le trapèze CDEF, compris entre les deux rectangles GDGF et CDEH.

Si Ton suppose y = x^, par exemple, Taire du rectangle CDGP sera ir hx^y et celle du rectangle CDEH sera h (x4-/i)S ou /i(.x»-f 2x/i + /i*).

8z Il en résulte que le rapport — est compris entre les deux

x^h x^h 4- 2.v/i^ + h^ fractions *-— et — -ï— - — — — , qui ont la môme primordiale

Iz x^y et par conséquent la primordiale du rapport ^ est aussi

dz x^\ ce qui donne —-

x^ ou -— = y, dx ^

De celte manière je démontre, sans le secours du principe ou postulatum leibnitzien, que la fonction qui exprime Tordonnée de la courbe, est la dérivée de celle qui en représente Taire.

En adoptant les notations leibnitziennes pour le calcul intégral, comme nous l'avons fait pour le calcul différentiel, Tex-

pression / 3x^d.x n'indiquera pas pour nous uîie somme

d'éléments infiniment petits, mais tout simplement la fonction dont 3.x^ est la dérivée, en sorte que c'est par définition que

nous aurons / 3x*djc = x^.

22 l'analyse infinitésimale.

De môme, en supposant que f(x) soit la dérivée de ç(x), c*est par définition que nous aurons

f,x) dx=o<b] — o'a).

Par exemple, — étant la dérivée de log x, on aura :

/* dx — = log 6 — loga;

et comme, dans notre théorie, deus nombres égaux et de signes contraires ont le même logarithme, nous aurons :

de mètne que

y ^ = log (+ 1) - log (- 1) = 0.

Dans ces formules log x désigne le logarithme népérien ou

hyperbolique du nombre jc, et il représente Taire de Thyper-

bole 1/ = -, à partir de x = 1 quand la valeur donnée à jc est

positive, et à partir de jc = — i quand elle est négative.

D'après la difmition .v = log db e% deux nombres égaux et de signes contraires ont identiquement le même logarithme, comme ils ont identiquement le même carré; et il n'est pas plus nécessaire de leur supposer des logarithmes imaginaires que des carrés imaginaires.