X- — 1 compose de la courbe y = r— -, et de la droite x

. La fonction y ~ ; — ^ — , en se réduisant à -

pour.x =: 3, prend une infinité de valeurs, qui représentent

les ordonnées des points de la droite.

Lorsque le point qui décrit la courbe y = — r-—- arrive sur

la droite x = 3, son ordonnée s'obtient en remplaçant x par 3

dans la fraction , ce qui donne - pour l'ordonnée du

X "j— Ji o

point où la droite traverse la courbe, comme pour la primordiale de la fonction donnée, et Ton voit qu'il n*y a pas Tombre d'une limite dans la solution de cette question.

Pour trouver la môme primordiale par la règle de l'Hôpital, on remplace le rapport ^ — ^ — j" par celui des déri-

X A A * • A ' 3.V2 —Qx — i

vées de ses deux termes; ce qui donne , qui

devient - quand on y fait x = 3. Mais tout est défectueux dans

la démonstration classique de cette règle.

D'abord on formule la règle par la relation

qui, appliquée à notre exemple, donne- — -, dont le premier

membre est indéterminé, tandis que le second est parfaitement déterminé. Ensuite on excuse ce défaut au moyen d'une absurdité en disant que l'indétermination de- n'est qu'apparente, et

pour démontrer qu'elle n'est qu'apparente, on l'enlève en suppri-

mant le facteur qui se réduit à -. Ainsi, la preuve que

fT — 3 y *

64 l'analyse infinitésimale

l'indétermination n'était qu'apparente, c'est qu'il n'y en a plui*

après qu'on Ta enlevée. Alors le rapport - étant censé n'avoir

qu'une valeur, on l'appelle la vraie, comme si les autres n'étaient pas vraies.

En introduisant les fausses limites partout, on énonce le théorème de l'Hôpital au moyen de la formule

lim -^ = lim -tV-,

qui, appliquée à notre exemple, donne lim - = lim -.

u \vi On a identiquement - = — -— , et si les fonctions xi et u

deviennent infinies, Gauchy admet que les fonctions - et -

s'annulent en môme, temps, et en appliquant la règle de

Il tt'

l'Hôpital au rapport -7—-» il obtient - = — -. D'où il conclut

que la règle de l'H^ital s'applique aux fonctions qui se

réduisent à — , comme aux fonctions qui se réduisent à -.

C'est là ce que Liouville appelle « l'élégante extension que » Cauchy a su donner à la règle de l'Hôpital ». Gauchy démontre ce théorème au moyen de son faux prin-

cipe— = pour A = x; et comme le théorème est faux, A

on ne pourra jamais le démontrer autrement. Ge qui n'a pas

empêché les auteurs qui sont venus après lui de démontrer

que la proposition est vraie dans tous les cas possibles,

quoique son application ne réussisse sur aucun exemple.

Ainsi, d'après la formule - = —, on aurait '— = ^~, ou