CHAPITRE PREMIER

Me» ligne», de» angle» et dn cercle.

Une ligne, en géométrie, est une longueur sans largeur ni hauteur.-

Le point mathématique est l’extrémité d’une ligne : il n’a point d’étendue. On tire cependant des lignes matérielles et l’on trace des points au moyen du crayon, afin de les rendre visibles à l’œil.

CONNAISSANCES AUXILIAIRES

La ligne droite est la plus courte distance d’un point à un autre.

Toute ligne qui n’est ni droite ni composée de lignes droites est une ligne courbe.

Toute ligne composée de lignes droites est une ligne brisée.

Si entre deux points donnés on se figure une ligne qui n’est pas droite, on peut tirer entre ces deux points une autre ligne identiquement semblable à la première (fîg. 1).

Si deux lignes situées dans un môme plan sont prolongées indéfiniment sans jamais se rencontrer, ces lignes sont dites parallèles.

On nomme lignes convergentes celles qui tendent vers un seul et môme point, et divergentes celles qui s’écartent d'un point.

Une ligne est horizontale lorsqu’elle est parallèle à la surface d’une eau calme ou au fléau d’une balance.

Un poids quelconque suspendu en l’air par un fil ou cordeau produit au moyen de ce fil ou de ce cordeau une ligne perpendiculaire à la surface de l’eau et qui se dirige droit au centre de la terre. On nomme aussi une telle ligne verticale , ligne normale.

En mathématiques toute ligne qui forme un angle droit avec une autre ligne, est dite perpendiculaire, et est perpendiculaire à la ligne horizontale.

Un angle est formé par la rencontre de deux lignes droites; l’angle est la quantité d’espace plus ou moins grand contenu entre ces lignes au point de leur intersection.

Le point où se rencontrent deux lignes ou l’intersection, se nomme sommet de l’angle, et les deux lignes qui forment l’angle sont appelées ses côtés.

On nomme angle droit , abc(fig. 2), un des angles formés par

une perpendiculaire 7 abaissée ou élevée sur

une ligne horizontale.

L’angle droit est encore un des quatre an-

Fig. s* Fig. 3. Fig. 4. . , , ,

gles formes par deux

lignes qui se croisent au centre d'un cercle, de telle sorte que •

Fig. i.

ET PRÉLIMINAIRES

ces lignes coupent la circonférence en 4 parties égales. ( fig . 5).

Angle aigu est tout angle plus petit qu’un angle droit, ghi. {fig. 4).

Angle obtus est tout angle plus grand qu’un angle droit, def. {fig. 3).

Quand une ligne fait une révolution ayant comme pointde centre unedeses extrémités, et qu’elle aboutit de l’autre extrémité à son point de départ, cette ligne, appelée rayon, décrit un cercle.

La plus grande et plus longue ligne qu’on puisse tirer dans un cercle est celle qui passe par le point de centre de ce cercle, ab {fig. 6) ; une telle ligne est appelée diagonale; la diagonale est le double du rayon.

L’arc est une portion de la circonférence egf. La corde est la ligne droite ef qui joint < les deux extrémités de l’arc.

Le segment est la surface ou portion de cercle comprise entre l’arc et la corde ef.

La tangente est une ligne qui n’a qu’un point de commun avec la circonférence.

Surface est ce qui a longueur et largeur, sans hauteur ni épaisseur.

Le plan est une surface dans laquelle prenant deux points à volonté, et joignant ces deux points par une ligne droite, cette ligne est tout entière dans la surface.

Quand les lignes qui renferment un espace sont droites, la figure qu’elles forment s’appelle figure rectiligne ou polygone, et les lignes elles-mêmes prises ensemble forment le contour ou périmètre du polygone.

Pour faciliter les opérations dans plusieurs sciences, et pour pouvoir indiquer en chiffres la valeur d’un angle, on a divisé le cercle en 360 parties. Une perpendiculaire élevée au point de centre sur le diamètre d’un cercle, divise la circonférence en quatre parties égales. On est convenu de diviser chacune de ces quatre parties en 90 autres parties, nommées degrés. L’angle droit a 90 degrés. On peut facilement construire une figure

CONNAISSANCES AUXILIAIRES

marquant exactement les degrés, quand on est privé de l’instrument nommé rapporteur.

On décrit un cercle avec le compas ; on tire deux diamètres perpendiculaires l’un à l’autre. Aux points où ces deux diamètres coupent la circonférence ou périphérie, ils la divisent en quatre parties égales , de chacune UO degrés , obtenus en divisant une des quatre parties en trois, et chacune de ces parties ensuite en 30, ou en dix et après chacune des dix en neuf.

4 X 3 X 30 ou 10 X 9 X f, parce que 4 multipliés par 3 font 12, qui multipliés par 30 font 360, ou parce que 10 multipliés par 9 font 90, multipliés par 4 font 360.

Le triangle est le plus simple des polygones. On ne peut pas former de figure avec deux lignes.

Le carré est une figure ou polygone qui a ses quatre côtés égaux et ses angles droits.

Le rectangle a ses angles droits mais seulement deux côtés égaux; il est plus long que large.

Une surface courbe est celle qui u’est ni plane ni composée de surfaces planes. On ne peut tirer une ligne droite d’un point à un autre sur une surface courbe.

Tout solide a les trois mesures de l’étendue, longueur, largeur, hauteur ou épaisseur. Les solides ou corps sont terminés par des surfaces, des plans ou laces planes.

Pour faire un corps, il faut quatre surfaces au moins. Une, deux, trois surfaces ou plans ne peuvent pas faire un corps ou solide.

La surface d’un corps est celle au moyen de laquelle il est ou se trouve formé ou enveloppé.

Le cube d’un corps ou solide est l’espace qu’il renferme selon sa longueur, sa largeur, sa hauteur ou épaisseur.

La surface de sa base est celle sur laquelle il est posé.

La hauteur ou l’élévation d’un solide est la mesure qui s’étend de son sommet en ligne verticale jusqu’à sa base, ou la prolongation de sa base.

Les corps ont des surfaces planes ou courbes.

Si les surfaces d’un corps sont planes et terminées par des lignes droites, si enfin ces surfaces sont des rectangles, paral-

ET PRÉLIMINAIRES

Ki;>. 9.

Fig. 7.

lèles deux à- deux, elles font naître le cube, le parallèlipipède, le prisme quadrangulaire.

Le cube ( fig . 7) est un corps parallélipipédique régulier , compris sous six carrés égaux, quatre pour les faces verticales, deux pour les faces horizontales (une pour la base, une pour le sommet ou haut). Toutes les lignes qui terminent un cube, et qui sont nommées arêtes, sont d’égale longueur. Les dés à jouer sont des cubes.

Le parallèlipipède (fig. 8) est un prisme qui a six faces , quatre verticales plus longues que les deux faces rectangulaires horizontales; une poutre peut donner l’idée du parallèlipipède, qui a toujours une base carrée ou rectangulaire.

Quand les deux faces extrêmes, ou horizontales, ou la base et le sommet d’un parallèlipipède, forment un cercle , alors ce corps ou solide ou volume est nommé cylindre (fig. 9). La colonne en est un exemple. La ligne droite ponctuée au centre du cylindre se nomme axe, c’est l’axe du cylindre.

Le solide ou corps qui naît de la révolution d’un demi-cercle (fig. 10) sur son diamètre est nommé sphère (boule). La ligne ou le diamètre autour duquel s’opère la révolution est nommée axe de la sphère : ses . deux extrémités sont appelées pôles.

La sphère aplatie à ses deux pôles, comme l’est Fig. io. notre globe, est nommée sphéroïde.

Fig. 8