IV. — CUBE MAGIQUE DE FERMAT

Nous avons publié dans Mathesis (t. II, p. 245) un cube magique inédit donné par Fermât; ce cube magique donné avec les soixante-quatre premiers nombres est le suivant (fig. 47) *.

Nous reproduisons ci-dessous l'analyse de ce cube, d'après M. le commandant V.Goccoz, qui est d'une très grande compétence sur la question des figures magiques. Si l'on place les unes au-dessus des autres les quatre tranches de Isijîg. 47, les nombres de i à 64 occupent les soixante-quatre centres de cubes égaux; la somme des quatre termes d'une rangée quelconque horizontale ou verticale est constamment égale à i3o; de plus, toutes les tranches horizontales sont des carrés magiques, caria somme des éléments d'une même diagonale est encore égale à i3o; enfin, quatre tranches parallèles et verticales, les tranches de front, sont aussi des carrés magiques.

Éd. Lucas. — Arithmétique amusante. i5

Note IV.

On peut obtenir une solution générale de ce problème, en la déduisant d'une solution particulière d'un carré magique de huit, à compartiments égaux, obtenu par lettres analogues et bandes

Fig. 47.

Première tranche Deuxième tranche

«fS

tfO

Troisième tranche Quatrième tranche

interrompues. Nous emploierons la notation de Sauveur; elle compreild des couples égaux de premières lettres

a-{-A = b^B = c-^C:=zd-^D,

et de secondes lettres

p-f-P-j^-4-Qr=r+R = 54-S;

les unes représentent les termes de la progression arithmétique de raison un

et les autres représentent les termes de la progression arithmétique de raison huit

Note IV.

La Jîg. 48 est formée de quatre carrés; si l'on rapproche ces carrés, on forme un carré magique de huit, car dans chacune des huit lignes horizontales, des huit colonnes verticales et dans

AÇ

dÇ

Prem

er carre

Deuxième carré

Troisième carré Quatrième carré

Les quatre tranches horizontales d'un cube magique,

chacune des deux diagonales, les premières et les secondes lettres se trouvent par couples; par conséquent, la somme est constante pour les dix-huit lignes.

Séparons maintenant les quatre carrés et cherchons les conditions pour qu'ils soient magiques et donnent une même somme constante. Les lignes verticales et les diagonales de ces carrés vérifient cette condition ; pour qu'il en soit de même des horizontales, il faut et il suffit que les secondes lettres vérifient l'égalité

ce qui peut se faire de vingt-quatre manières différentes.

Les quatre carrés étant magiques, plaçons-les les uns au-dessus

Note IV.

des autres, sans changer leur orientation, et dans Tordre numérique, le premier carré étant au-dessus. Nous formons ainsi un cube dont les tranches horizontales sont des carrés magiques.

Étudions maintenant les tranches de profil; la première tranche de profil à partir de la gauche se compose des quatre premières colonnes à gauche des quatre carrés (fig. 48 ) ; la seconde tranche de profil se compose des quatre secondes colonnes des quatre carrés, et ainsi de suite.

Le rabattement de ces tranches donne les quatre carrés suivants [fig. 49).

Fig. 49.

cÇ

BÇ

bç

Première tranche

Deuxième tranche

dÇ

■ Ar

Troisième tranche Quatrième tranche

Les quatre tranches de profil d'un cube magique.

Pour que ces carrés soient magiques, il faut et il suffit que les premières lettres vérifient l'égalité

^-h^4-B-HG=::A4-D4-^-f-C,

ce qui peut encore se faire de vingt-quatre manières différentes. Par cette méthode, on obtient ainsi 24 X 24 ou 576 cubes

Note IV.

magiques. Pour les cubes ainsi construits, la tranche diagonale passant par l'arête horizontale antérieure et inférieure, et par l'arête horizontale postérieure et supérieure, est encore le carré magique suivant [fig. 5o].

Fig. 5o.

Tranche diagonale du cube.

Pour reproduire le cube magique de Fermât, il faut donner aux premières lettres les valeurs

et aux secondes lettres, les valeurs suivantes :