LES BALANCES DE L APOTHICAIRE

Le système binaire présente divers avantages; alors les opérations ordinaires de l'Arithmétique sont réduites à leur expression la plus simple ; la Table de Pythagore n'existe pas, en sorte que la multiplication se fait parle déplacement transversal du multiplicande. Pour la division, il n'y a aucun tâtonnement. De plus, ce système se prêterait plus naturellement que tout autre à la confection des machines arithmétiques. En outre, ce système nous a permis de trouver des nombres premiers beaucoup plus grands que ceux que l'on connaissait jusqu'à présent, et nous en avons déduit le plan d'une machine qui donnerait de très

i66 Chapitre quatrième.

grands nombres premiers. Mais ce système est incommode à cause de la trop grande quantité de caractères qui sont nécessaires pour figurer un nombre un peu considérable.

La numération binaire trouve encore son application dans la solution du problème suivant :

Trouver une série de poids avec lesquels on puisse faire toutes les pesées de nombres entiers de grammes, depuis i jusqu'à la somme des poids, cette somme étant la plus grande possible par rapport au nombre des poids.

Si l'on prend un poids de i»'", de 2^'"^ de 4»% de 8^'', . . . , et ainsi de suite, en doublant jusqu'à 5 12, par exemple, on pourra peser tous les nombres entiers de grammes jusqu'au nombre 1023, somme de tous les précédents; car un nombre entier quelconque peut s'écrire d'une seule manière, dans tout système de numération de base quelconque et, en particulier, dans le système binaire.

Mais, chez le pharmacien, chez l'épicier, les boîtes sont composées d'une manière différente, car elles contiennent les poids

grammes,

décagrammes,

hectogrammes

kilogrammes.

et ainsi de suite, et de même pour les sous-multiples du gramme. On voit, en effet, qu'avec les nombres r, 2, 2, 5, on peut former, par addition, tous les nombres de i à 9. Ces boîtes présentent l'avantage d'être plus en harmonie avec le système de la numération décimale, et, par conséquent, l'opération de la pesée

Les progressions géométriques. 167

n'exige aucun effort d'esprit; mais, jusqu'à une limite quelconque, il faut moins de poids dans le système binaire que dans tout autre système.

LA NUMERATION TERNAIRE.

Les nombres de la progression géométrique de raison trois

ont une propriété analogue, qui consiste en ce qu'en les prenant une seule fois, soit par addition, soit par soustraction, on forme tous les nombres entiers possibles. Cette propriété remarquable se démontre très simplement au moyen du système de la numération ternaire, ou de base trois, modifié par l'emploi de chiffres de soustraction. On convient qu'un petit trait, le signe — [moins] placé au-dessus d'un chiffre, comme i, 2, 3, . . ., exprime que le nombre indiqué par ce chiffre avec sa valeur de. position doit être retranché; on peut, par ce moyen, écrire tous les nombres dans le système décimal avec les cinq premiers chiffres significatifs 1,2, 3, 4, 5, et le caractère o. Par exemple, six serait exprimé par 14, sept par i3, et ainsi de suite. '

Si l'on applique cette convention au système ternaire, on arrive à écrire tous les nombres avec les signes o, i et i. Ainsi les neuf premiers nombres peuvent être représentés par

I, II, 10; II, III, iio; III, loi, 100.

On peut donc utiliser cette propriété pour la pesée en répar-

[68 Chapitre quatrième.

tissant convenablement les poids de i, 3, 9, 27, 8i, . . . grammes entre les deux plateaux d'une balance, pour évaluer, avec le moindre nombre possible de poids tous différents, les poids qui peuvent être exprimés en nombres entiers.

Pour l'application de ces divers procédés de la pesée, on suppose essentiellement que les deux fléaux, ou les deux bras de la balance, sont rigoureusement égaux en longueur ; nous rappellerons ici l'ingénieux procédé qui permet de peser exactement avec une balance dont les deux fléaux n'ont pas la même longueur. Désignons par A et B les deux plateaux de la balance; en A, on met l'objet à peser, et en B, on fait la tare, c'est-à-dire que l'on place dans le second plateau de la grenaille de plomb, des clous, du sable, pour établir l'équilibre; alors on retire l'objet en A et on le remplace par des poids, et l'on rétablit l'équilibre.

Cette méthode de la double pesée est due au physicien Borda, qui a donné son nom au vaisseau-école de notre marine. Un vieux professeur de Physique nous disait en souriant, lorsqu'il nous développait ce procédé, que Ton avait écrit sur le tombeau de l'illustre inventeur :

Tu j^ides, ego fleo,

l'éventail mystérieux.

L'éventail mystérieux se compose de cartons disposés en éventail et sur lesquels on inscrit des nombres, des mots ou des noms de personnes, d'une certaine manière; il s'agit, en présentant

Les progressions géométriques.

l'éventail, de deviner le nombre ou le mot pensé par une personne. Supposons, par exemple, que l'on veuille deviner tous les nombres jusqu'à une certaine puissance de deux, jusqu'à 2^ ou 32; on disposera tous les nombres de i à 3i sur cinq cartons, de la manière représentée dans le Tableau suivant.

Le premier carton, à droite, contient tous les nombres impairs, c'est-à-dire tous les nombres tels que le dernier chiffre est i dans le système de numération binaire; le deuxième carton contient tous les nombres dont le second chiffre à partir de la droite est i dans le système binaire; de même, le troisième carton contient

'7^ Chapitre quatr

tous les nombres dont le troisième chiffre, à partir de la droite, est I dans le système binaire, et ainsi de suite. On peut ainsi construire une série de cartons avec des nombres jusqu'à une limite quelconque.

Pour deviner un nombre qu'une personne a pensé, il suffit de lui présenter les cartons l'un après l'autre en lui demandant si le carton contient le nombre pensé; puis, de faire la somme des nombres écrits en tête de chacun des cartons gù le nombre se trouve.