Trouvez tous les diviseurs de

Divisant 30 par 2, le quotient est 15, qui ne peut ^as se diviser par 2 : vous divisez donc 15 par 3, et le quotient est 5, qui ne peut se diviser que par 5 : de sorte que les diviseurs simples de 30, sont 2, 3, 5 : multipliant ces nombres deux à deux, vous avez les nouveaux diviseurs, 6, 10, 15 ; et les multipliant trois à trois, vous avez 30, De sorte que les diviseurs de 30 sont, en omettant 1 , qui est diviseur de tout nombre, 2, S, S, 6, 10, 15, et 30.

?'. Quels sont les diviseurs de 100 ?

Rép. 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50.

PROBLÈME JL Trouver un nombre parfait.

Lorsqu'une progression géométrique commence fw l'unité, et que son second terme est un nombre premier, aucun de ses termes ne peut être divisé exactement que par quelqu'un de ceux qui le précédent, comme on le peut voir par la suivante : ■ -^1 : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 61«, &c. On voit que dans cette progression, chaque terme çst égal à lu somme des termes précédents augmen-

PROÏ^RIÉ^TÉ'S DES NÔMBRB'S: 16i

tée de Tuiiité, et que si l'on multiplie un des termes par un nombre premier, le produit ne pourra être divisé que par le terme qu'on aura pris pour multiplicande, par les termes précédents, par le nombre premi^n- qu'on a pris pour multiplicateur, et par les produits de ce multiplicateur par les termes qui précédent celui qu'on a pris pour multiplicande. Ainsi, si l'on ajoute les uns avec les autres les termes de la progression -f-1 : 2 : 4 : 8 : vS2 : 64, &c. jusqu'à ce que la somme donne un nombre premier, et qu'on multiplie cette somme par le dernier terme qu'on a pris, le produit sera un nombre parfait, égal à ^a somme de tous ses diviseurs : et i-'on en pourra trouver de cette manière autant que l'on voudra. En effet, en prenant les deux premiers termes, 1 et 2, de la progression ci-dessus, l'on a t^, nombre premier ; et multipliant ce nombre par 2, dernier terme •pris, on a 6, nombre parfait, égala la somme de ses diviseurs, 1, 2 et 3. De même, si l'on prend les trois premiers termes, 1, 2, et 4, , on trouvera 7, nombre premier, lequel multiplié par 4, donnera 28, nombre parfait, égal a la somme de ses diviseurs, 1, 2, 4, 7, 14.

De la Proportion Harmonique,

On dit qu'il y a proportion harmonique entre trois nombres, lorsque le premier est au troisième, comme la différence du premier au second, est à la différence du second au troisième ; 6, 4,^, par exemple, sont en proportion harmonique, car 6 : 3 : : 6 — 4= 2:4—3—1.

Lorsqu'on a trois nombres en proportion harmonique décroissante, telle que la précédente, il est aisé de trouver un quatrième proportionnel : pour cela il n'y a qu'à chercher un troisième harmonique aux deux derniers : ce troisième harmonique sera le quatrième proportionnel. Le troisième et le quatrième serviront de même à trouver le cinquième ; et en continuant ainsi, on formera une progression