PRGPRIE'TE'S DES NOMBRES
harmonique qui sera composée d'autant de termes qne l'on voudra.
Du Complément Arithméiiqiœ»
On appelle Comjjlément Arithmétique d'un nombre la différence entre ce nombre et l'unité suivie d'autant de 0 qu'il y a de chiffres dans ce nombre. Si l'on ôte, par exemple, le nombre S57, de 1000, le reste 643, sera le complément arithmétique de ce nombre. Au moyen du Complément Arithmétique, la Soustraction peut se changer en Addition. Par exemple, si l'on avait à ajouter ensemble les nombres 352 et 523, et à retrancher de leur somme les deux nombres 201 et 32, on pourrait s'y prendre de la manière suivante:
REGLE
Ecrivez les deux premiers nombres, et 52S les complémens arithmétiques des deux 352 derniers, les uns audessous des autres, et 799 ajoutez les ensemble ; et retranchez une 68 unité des centaines, et une des mille du ■ résultat ; le reste donnera le nombre cher- 1742
ché.
En effet, 523+352:^875; 201+32.=233, 612
et 875— 233=64.2.
Si les nombres qu'on soustrait avaient autant de chifires que le plus grand dont on soustrait, il faudrait ôter du premier, chiffre à gauche de la somme, autant d'unités qu'on aurait ajouté de complémens arithmétiques, et pour cela il suffirait de mettre à la gauche des nombres" qu'on veut soustraire, autant de 0 qu'il en faudrait. Ainsi, au lieu de prendre le complément de 32, on prendrait celui de 032 qui est 968, et l'on retrancherait 2 du premier chiffre à ^gauche de la somme.
Des Séries,
On appelle Série une suite de nombres qui croissent ou décroissent selon une certaine loi: telles sont
I^EDPUîE'-TE^S des nombres. I6b
\ts progressions arithmétiques et géométriques, et les suites des nombres qu'on appelle Figurés.
Nmnbres Figicrés-.
Constants, ou du 1er ordre, 1,1, 1, 1,1, &c. Naturels, ou du 2d ordre, 1,2, 3, 4, 5, &c.
Triangulaires, ou du 3e ordre, 1, S, 6, 10, 15, &c. Piramidaux, ou du 4e ordre, 1, 4, 10, 20, 35, &c. Trianguli-piTamidaux, &c. 1, 5, 15, 35, 70, &c. La loi de chacune de sts suites des nombres figurés est que chacun de leurs termes soit la somme des term^js correspondants de la précédente ; ainsi, jmr exemple, le troisième tei-me 6, de la troisième suite, est la somme des trois premiers, 1, 2, 3, de la seconde ; le cinqtiieme terme 35, de la quatrième suite, est la somme des cinq prenuei^ termes, 1, 3, 6, 10, 15, de la troisiem^e-, &c,-
Les nombres qu'on appelle Poli/gone.^, sont formés par la somme des termes consécutifs d'une progression arithmétique; et ces nombres se nomment Triangulaires, QùarréSf PentagoneSy Exagones, &c. selon que la différence de la progression est 1 ou 2, ou 3, ou 4, &c.
Progressions Arithmétiques, Différences, ~ 1 . 2 . 3 . 4 . 5, &c. 1
Nombres Polygones, 1, 3, 6, 10, 15, &c. triangulaires.
Ij 4, 9, 16, 25, &c. quarrés.
1, 5, 12, 22, 35, &c. pentagones.
1, 6, 15, 28, 45, &c. exagones.
Les séries des puissances des nombres sont celles des quarrés, des cubes, &c. de la progression des nombres naturels, 1,2, 3, 4, &c. On appelle progression harmonique la suite des quotiens d'un même nombre divisé parles termes consécutifs d'une progression arithmétique ; telles sont les séries,
464 PROFRIE^TE'S DES NOMBRES/ Revenons maintenant aux Propriétés des îs ombres.
THEOHilME T.
Si l'on connaît la somme et la différence de deux. ïàjpmbres quelconques, on pourra toujours coiinaitre ces deux nombres ; car le plus grand est égal à la moitié de la somme plus la nioitid de la différence, et le plus petit, à la moitié de la somme moins la moitié de la différence.
EXEMPLEi
Le père et le fils ont ensemble 100 ans, et le père a SO ans de plus que le fils — quel est l'âge de chacun d'eux ?
THEOREME IL La diffépence entre les quai rés de deux nombres immédiatement consécutifs est égale ù la somme de ces deux nombres,
EXEMPLE
Soitl-i^ quarré de 12, et 169 quarré de 13; or, Î69--I44'=25=i3-M2.
thÉokkme irr.
Si l'on divise l'unité en deux parties quelconques»^ le quarré de la première joint à la seconde, sera égal au. quarré de la seconde joint à la première.
EXEMPLE
Que l'on parta^^e 1 en }-\-}, on aura y-f j=.9+|-. En effet, i+l^f^ ; et t,-{-'j=ih
THEOREME IV.
Si l'on divise successivement un même nombre par les termes consécutifs d'une progression arithmétique croissante, les quotiens seront en proportion harmoniquCo
PROPRIETE'S DES KOMBRES. W5
EXEMPLE
Que Ton divise 168 par exemple, piir 2, 4, 6, &c, on aura 84, 4^, 28, &c. or 84 : 28 : : 42 : 14; c'està-dire, 84^ : 28 : ; 84—42 : 42--28.
THEOREME V.
Une suite de fractions dont les numérateurs sont l'unité, et les dénominateurs les nombres de la progression naturelle, 1, 2, 3, 4, 5, &c. sont en progression harmonique, •
EXEMPLE
Soient les fractions, -^J • f • | • i" • 6? ^^' ^^^ ^'^^ voit que l'unité est toujours divisée par les termes consécutifs, 1, 2, 3, 4, 5, &c. d'une progression arithmétique dont la différence est 1. Ainsi, ce théorème n'est qu'une conséquence du précédent.
THEOREME VI.
Si Ton divise la somme de deux nombres quelconques par chacun de ces deux nombres en particulier, les fractions qui en résulteront seront telles que leur somme et leur produit seront un même nombre.
EXEMPLE
Soient les deux nombres, 5 et 2 ; leur somme 7 divisée par 5 et par 2, donnera ~ et | : or
7 7 49 7 7 35-f 14 49 -X-=— ;et-f
PROBLEME î.
Partager un yiomore en deux parties telle:> qu? 'It quotient de la plus grande par la plus petite :^olt ce nombre même >
REGLE
Divisez le quarré du nombre propose par oe nombre lui-même augmenté de l'unité ; et le nombre proposé par ce même nombre augiuenla de i'uniié.
