DE

EA.... 21 &9

Pour obtenir le supplément d^ l'angle A , il faut ajouter 180 degrés à 21 degrés, ou la direction de A en E, qu'on retranchera de 291 degrés, direction de AB : il restera 90.

Nota. On fera l'addition des degrés, et l'on aura 560 degrés. -

On remarquera l.*' que les angles sçustrililè donnent les angles extérieurs 3 2.^ que leurs supr plémens sont les angles iléels de la figure ; 5.^ que les premiers valent 360 degrés (58) ; et que les seconds valent 540 degrés (57).

On fera observer que si l'on eût prîs la direction de C en A, on n'aurait obtenu que HO degrés, ou une différence d'une demicirconférence , dont on aurait retranché 50 degrés : la différonce serait toujours de MO degrés, valeur de l'angle CAD, supplément de l'angle BAC.

Connaissant les angles réels de cette figure, on pourrait en faire le plan par le moyen d'un rapporteur, suivant la méthode indiquée au troisième problème ; mais nous allons donner une manière plus prompte et plus exacte, en ce que le rayon du rapporteur est ordinairement trop petit pour qu'on puisse apporter beaucoup de. précision dans le rapport des angles.

Rapport du plan de la figure 72.

Prenez un rayon de 60 parties sur les cordes qui sont tracées sur le compas de proportion jj^^n 57 (*) [voyez la note (*) page 38]; décrivez avec ce rayon une circonférence DCEB,^^. 74; divisez-la en quatre parties égales : ce cercle représentera la boussole, fig. 29; remarquez que les degrés sont cotés sur le limbe de cet ins- 1 ruinent, en partant de 360 degrés, et en allant à droite (voyez la description de cet instrument, page 24) : ainsi vous avez 90 degrés à droite, et 270 degrés à gauche; mais, afin de rapporter les angles observés, écrivez 270 degrés à droite, et 90 deg. à gauche, ayant le nord ou 560 degrés devant vous, ainsi qu'ils sont marqués dans la figure (la raison en est dans l'explication de la figure 71) : alors le rapport du plan de cette figure sera facib. Yous marquerez sur la circonférence, en partant du point de 360

Oii voit' qii'e^^ii grandeur du rayon des cordes est arbitraîre, puisqu'il est le rayon d'une circonférence à laquelle on peut donjjer telle dîniens'on qu'on jug^era convenable. On peut aussi, pour pît.'s c)e commodiic . tracer les parties des cordes sur la même règle où est gravée i'ccheUe de proportion.

DE lVrPENTAGE. 101

degrés, les parties des cordes de tous les degrés que vous aurez obtenus sur le terrain (et tels que vous les aurez observés), en faisant le tour de cette circonférence, et revenant au point de départ ; ensuite, de chacun des points de ces degrés, et avec le point central du cercle, vous tracerez des parallèles auxquelles vous donnerez autant de parties de l'échelle que vous aurez trouvé que ces lignes contiendront de mesures.

Exemple. Ayant marqué sur la circonférence les points des degrés dont il s^agit (et que nous avons cotés et numérotés dans le même ordre qu'on lés a observés, pour rendre la démonstration plus sensible), posez une équerre sur le point F et sur celui dun.° 1 (*); faites glisser cette équerre le long d^une règle au point où vous voulez commencer le plan (dans cet exemple au point A, J?^* 72), et tracez au crayon une ligne indéfinie parallèle au point F et à celui du n.° 1.^^, à laquelle vous donnerez 87 parties de l'échelle pour déterminer la longueur de la ligne AB ( la fig. 72 est rédigée sur Téchelle du cadastre, 35); menez également au point B nne ligne parallèle avec le point central et celui d u n.^ 2, à laquelle vous donnerez 7 0 parties de l'échelle pour déterminer la longueur de la ligne

(*) Remarquez que vous formez constamment avec la lîgne CB , qui représente le nord-sud^ des angles ou des supplémens semblables à ceux que vous avez observés ; la direction de§ lignes du plan dépend donc de celle que vous donnez à la ligne qui représente le nord. Alors il faudra disposer cette ligne de manière à ce que le plan puisse être décrit sur la feuille sur laquelle vous vous proposez de U rédiger, en calculant la dimension que vous voulez lui donner. ^ Les lignes du périmètre de la ûgure 72 sont parallèles aux directîoos qui servent à en l'ormer le plan.

102 PRATIQtJE

BC 5 et ainsi de suite pour les autres lignes CD , DE et EA; lorsque vous aurez rapporté la direction de la ligne^DE, et déterminé sa longueur, vous devrez trouver entre les points A et E 125 parties de Féchelle, et la dernière direction EA ou A'Èt (les angles opposés aux sommets étant égaux) 5 parallèle au point central F et à celui du n.^ 5 j devra passer exactement par les deux points A et E, ce qui arrivera toujours^ ou à peu de chose près, si vous n'avez point commis d'erreurs dans le cours de votre opération ou au cabinet : c'est ce qu'on appelle la Jermeture du plan.

On peut aussi se servir d^un rapporteur pour rapporter les degrés observés à la boussole. Placez le point central du rapporteur sur le milieu F d'une ligne CB, jîg. 74 , et son diamètre sur FB, FC ; marquez autour de son demicercle les points des degrés observés , et menez avec Féquerre et la règle des lignes parallèles à ces points et au point central, auxquelles vous donnerez des longueurs proportionnelles^ comme on Pa fait ci-dessus pour la fig. 72.

Nous allons donner encore quelques exemples sur lesquels on pourra s'exercer.

Ijever le plan de la figure 64 avec la c boussole.

Supposons qu'il faille lever avec une boussole le plan du terrain représenté par la fig. 64 : faites planter des jalons aux principaux angles saillans et rentrans de ce terrain j placez|la boussole au point A ; de ce point, prenez les directions AB, AI, AG, cette dernière comme

DE l'aFiPENTAGE. 105

moyen de vérification seulement, et mesurez ÂB; transportez la boussole au point B; de ce point prenez les directions BG, BD, et BC; mesurez ensuite BC. Du point prenez les directions CG et CD; mesurez CD ; et du point D prenez la direction et la longueur DI, et mesurez lA.

Sur ces lignes ou directions principales ÂB , BC, etc., qui forment le polygone ABCDI, élevez des perpendiculaires aux sinuosités du cliemin et du terrain, comme on le voit en la figure; prolongez aussi la ligne AB en K , et marquez la rencontre de ce point sur la ligne CD.

Ayant aussi déterminé sur les lignes DI, BC, les points E, G, F, H, mesurez les largeurs EF, GH, ainsi que la longueur de la diagonale CG : l'opération du terrain sera terminée.

Nous indiquons les angles (ou directions) et les longueurs des lignes du 'périmètre (*) de cette figure, afin qu'on puisse la rapporter soimême suivant la méthode indiquée pour la figure 1%

Degrés.

AB.... 106 BC... 119 CD.... 50 DI.... 518 lA.... 226

Ajanl rapporté le périmètre de cette fig. (**}.

liOngueurs.

(*) Le contour de la figure.

f^*) S'il arrivait que la dernière longueur proportionnelle IA,qui doit fermer le plan, lïit un peu plus longue ou un peu plus courte,

VOUS détermînerez sur les lignes DIj CII, les points E, G, F, H; vous prolongerez la ligne AB en K; vous vérifierez la longueur du prolongement HK, la distance proportionnelle CK sur la ligne CD, les largeurs EF, GH, et la longueur de la diagonale CG (*)•

Ces vérifications étant faites, vous déterminerez sur les lignes AB, BC, etc., les points de toutes les perpendiculaires que vous aurez mesurées sur le terrain, desquels vous élèverez, avec la règle et Téquerre, des perpendiculaires indéfinies auxquelles vous donnerez des longueurs proportionnelles : et , réunissant par des Bgnes droites les extrémités de ces perpendiculaires, vous aurez le plan du terrain représenté par la figure 64.

Nous allons encore indiquer une autre manière qui exige peu de préparation. Nous prendrons pour exemple la figure 57. Placez la boussole en un point I au milieu du terrain ABCFED , de manière à ce que vous puissiez apercevoir les jalons ou signaux que vous aurez fait planter aux points désignés par les lettres ci-dessus (on suppose que le terrain soit libre), et auxquels vous dirigerez des rayons dont vous çoterez les degrés et les longueurs.

il faudrait compenser proportionnellement celte difTérence sur chaque ligne du plan , afin de la rendre moins sensible.

Nous avertissons que celte figure , qui fait partie du terrier du domaine de M. le comte de B. . . à Mirebeau, s'est exactement fermée sous les deux rapports des directions et des longueurs.

(*) On voit encore ici qu*il est important de taire un bon figuré du terrain dont on veut lever le plan : on y tracera les directions visuelles de toutes les lignes dont on prendra la décUnaisop

DE l'arpentage. 105 Le rapport de cette figure se fera promptement : vous placerez un rapporteur sur une ligne quelconque (le demi-cercle doit être tourné à gauche), qui représentera la ligne nord de la boussole; vous marquerez un point sur cette ligne qui correspondra à Féchancrure du rapporteur, et autour de son demi-cercle tous les points des rayons observés ; ensuite, du point marqué sur la ligne, pris pour centre, vous tracerez aux points de direction des rayons indéfinis , auxquels vous donnerez des longueurs proportionnelles; chacune des extrémités de ces rayons sera un des points du terrain. On voit donc qu'on en pourrait former le plan lors même qu'on n'aurait pas les longueurs, des côtés AB, BC, etc.; mais il faut toujours les faire mesurer pour plus d'exactitude, et acquérir la preuve de l'opération (vous formerez ainsi des triangles dont vous connaîtrez les côtés, et qui auront tous leur sommet en un centre commun); on ne les a point tracés, pour éviter la confusion, mais on les concevra facilement.

Supposons maintenant que la figure 57 soit un bois dont il faille lever le plan : on emploierait d'abord les mêmes procédés qu'on a expliqués pour la fig. 72 ; et, comme ordinairement les bois sont des figures fort irrégulières, on lèvera les sinuosités sur les lignes de base qui le circonscrivent; mais, afin de s'assurer de l'exac-

(ou les angles). Cette préparation sera très-essentîeÙe pour le rapport du plan, et avancera plus rapidement l'ouvrage. Qu'il s'agisse, par exemple , de rapporter la direction HK , /fg-. 64: comjnc elle serait la même du point H à droite que du même point a gauche, le figure vous indique la direction de cette ligne.

titude de ropératîon, il faudra (si cela est pos-* sible) lever quelques lignes dans l'intérieur du bois , et faire accorder l extrémité de ces lignes avec des points déterminés sur les lignes de base extérieures.

Exemple. Ayant choisi pour point de départ le point I), on prendra la direction et la longueur de la ligne DA ; on fera de même pour AB; on plantera un piquet au point à la rencontre de la cbarière; on plantera un second piquet au point C 5 et sur la ligne CF on déterminera le point G (par la distance CG), auquel on plantera un piquet; et, étant parvenu au point on déterminera le point H sur la ligne ED; ensùîte dn placera la boussole à l'un des points (^ti-dn aura déterminés, comme au point H, d'où 1 on prendra les directions et les longueurs successives de la partie HI de la charière, et l'on plantera un piquet au point 1, duquel on partira powr lever successivement les lignes IB, IC, IG? ^

L'opération sur les lieux étant terminée, on rapportera le plan de la figure 57 comme on l'a jfait pour la figure 72; ensuite on déterminera le point H par la longueur proportionnelle EHj ôû HD; de ce point on rapportera les di^ rectiôns et les longueurs successives de la ligne HI, et dii point I cfelles des lignes IB, IC, IG, en remarquant si leurs extrémités B, C, G, correspondent avec les points que l'on aura déterminés par les mesures proportionnelles ( ces points seront marqués sur le canevas , ainsi qu'on l'a expliqué ci-dessus); ensuite on rap-

DE l'arpentage. 107 portera les détails pris sur les lignes DA, AB, etc., et l'on aura formé le plan du bois avec tous ses détails.

On est souvent obligé de lever des plans qui ne %Q ferment 'point: tels sont les plans des rivières, canaux, routes, etc. Dans ce cas, voici un moyen qu'on peut employer pour s^assurer, autant qu'il est possible, de la justesse de Topération. Si vous avez observé les directions AB, BD, DE, elc^Jig. 75, marquez sur un second canevas les directions inverses BA, DB ED, etc. , ( c'est-à-dire les directions prises de B en A, de D en B, etc. : chacune de ces directions différera des précédentes de 180 degrés, ou d'une demi-circonférence ); et faites aussi mesurer deux fois les grandes lignes qui seront les bases de votre opération : vous rapporterez, \P les lignes d'opération de A allant kF; et %P les directions en sens contraire de F allant à A, et les mesures respectives de ces lignes.

Ces deux résultats doivent être semblables.

On pourrait aussi observer des signaux ou objets remarquables à droite ou à gauche d'une des rives de la rivière, auxquels on adresserait des rayons des points de station d'où ils seraient aperçus.

Bans le rapport du plan, tous ce3 rayons doivent passer par les points observés.

xmm lE PLAN d'une RiyièaEv

Faites placer des jalons aux principaux angles saillans et rentrans de la rivière, comme aux points A, B, D; etc.,^^. 75; placez la

boussole au point A ; et, ayant dirigé l'alidade sur le jalon B, vous écrirez sur un canevas le degré que la pointe nord de Taiguille aura marqué pour celte direction. Faites mesurer AB , dont vous coterez la longueur ; ensuite , ayant transporté la boussole au point B, prenez la direction BD comme vous l'avez fait pour AB, en suivant le même procédé pour les directions des lignes DE, EF, etc., en cotant exactement les degrés et les longueurs relatifs à chacune de ces lignes.

Il est bien entendu que vous élèverez sur ces bases partielles des perpendiculaires aux sinuosités de la rivière. Toutes ces mesures doivent être cotées sur le canevas ou croquis d'opération.

Après avoir indiqué la manière de rapporter les directions de la boussole, il ne nous reste guère à dire sur le rapport de cette figure : car, ayant décrit un cercle d'un rayon de 60 parties pris sur les cordes , et ayant orienté ( ou fait accorder) la première direction AB avec le point central de la circonférence (voy. Jigure 72), on rapportera les directions AB, BD, DE , etc., auxquelles on donnera des longueurs proportionnelles sur lesquelles on élèvera avec Téquerre des perpendiculaires, ainsi qu'on Ta indiqué pour la figure 64.

On obtiendra aussi la représentation des points G et H en rapportant les directions BG et CG, IH et EH, ou bien les triangles CHB et EHI, et l'on aura le plan de la figure 75 , qu'on pourra aussi construire avec un rapporteur.

Si les largeurs de la rivière varient sensiblement , on observera plusieurs points sur la

DE l'arpentage. 109 rive opposée, comme les points G et H, auxquels Oïl dirigera deux rayons de la boussole : le point de section de ces rayons donnera la position et la distance proportionnelle de chacun de ces points; ou autrement, faites tendre un cordeau au travers de la rivière, dans les directions que vous jugerez convenables, et vous mesurerez la longueur de ces rayons sur la chaîne métrique.

On pourrait se procurer un moyen de vérification en faisant placer sur la ligne GH des jalons dont on mesurerait la distance perpendiculaire aux principaux coudes de la rivière. Par-là on connaîtrait si les directions ont été bien observées, et rapportées de même sur le plan.

Cet exemple peut s'appliquer également à un chemin, une route, un canal, etc.

On se sert aussi de la boussole pour tracer des routes ou alignemens parallèles dans les bois, et pour une multitude d'opérations que Tusage fait connaître, mais qu'il serait impossible de détailler dans un abrégé, puisque le traité le plus complet ne pourrait les renfermer toutes. Cependant nous expliquerons encore la figure suivante.

Explication de la figure 126.

On 'beut prolonger la ligne FA au milieu (Vun bois^

Placez une boussole au point F, et observez la direction de la ligne FA; ensuite placez la boussole au point A, et faites convenir Faiguille avec le même degré auquel elle répondait au point F; on suppose ici que Taiguille se soit ar^ rêtée sur le degré 45, comme on le voit mar-

110 PRITIQUE

que sur la figure (cette aiguille forme avec la ligne nord-sud un angle NAB égal à 45 degrés): alors vous ferez ouvrir une tranchée dans l'alignement du rayon visuel de l'alidade, que vous prolongerez toujours au même degré, jusqu'au point B, à la sortie du bois.

Si l'on avait le plan des lieux, et qu on voulût déterminer sur le terrain la ligne AB prolongée en F, qu'on aurait tracée sur le plan, voici le procédé qu'on pourrait employer :

Marquez un point sur la direction nord-sud, qui est toujours tracée sur le plan; conduisez, avec une règle et une équerre, une ligne parallèle à AB, au point que vous aurez marqué sur la ligne nord-sud, et mesurez avec un rapporteur l'angle formé par la parallèle et la ligne nord-sud , que nous supposons dans cet exemple être de 45 degrés.

Afin de rendre encore plus sensible ce que nous disons, nous supposerons que la ligue nord-sud du plan soit la ligne CB de la figure 74, et la parallèle AB de la ligne GF : ces deux lignes formeront à leur point de rencontre un angle de 45 degrés.

Le côté ^VL^Jigure 126, delà maison étant une ligne déterminée sur les lieux, le point F, extrémité du prolongement de la ligne AB, le sera aussi par la distance LF ou MF, qui est de 20 mètres sur l'éclielle : mesurez donc 20 mètres sur la ligne ML, qui détermineront le point F, <îù vous placerez la boussole; et, après avoir fait convenir l'aiguille avec le degré iï5, faites poser un jalon dans la direction de l'alidade, et au com-

DE lÀRPENTAGEi lîl

niencement du bois. Ce jalon déterminera le point A (puisque, comme on le voit , FA est le prolongement de AB) ; transportez la boussole à ce point, et faites ouvrir une trancliée dans la même direction de FA, comme on Fa indiqué ci-dessus, et dans le premier exemple de cette figure.

Remarque essentielle. Il se présente toujours deux cas : 1.^ on a marqué sur le plan la ligne nord-sud de la boussole ; 2.^ ou Ton y a tracé la méridienne* Dans le premier cas on opérerait comme nous venons de Findiquer ; dans le deuxième il faudrait avoir égard à la déclinaison de Faiguille, qui est occidentale. Par exemple , si Fon suppose que la ligne CB, fîg* 74, soit la méridienne y Faiguille de la boussole se trouvera à gauche de la ligne CB , puisqu'elle décline vers l'occident. Si la déclinaison est, par exemple, de 22 degrés, il faudra les ajouter à 45 degrés.

D'où Fon voit que, pour tracer la méridienne sur un plan, il faut former avec la ligne nordsud, et à droite de cette ligne, un angle égal à la déclinaison, qui varie annuellement; mais si on lève un nouveau plan des lieux , on opérera comme nous l'avons indiqué ci - dessus , sans avoir égard ni à Fépoque du plan , ni à la déclinaison de Faiguille : ce dernier moyen serait le plus sûr si le plan portait une date ancienne. ;

Explication de la figure 75 bis.

Nous supposerons encore qu'il s'agisse de lever le plan de cette figure à la boussole. Faites

placer des jalons aux points A, B, C, D, et F; ayant placé la boussole au point A, vous dirigerez l'alidade sur le jalon B ; vous coterez la direction et la longueur de cette ligne , ainsi de toutes les autres lignes du périmètre, comme on l'a indiqué pour les figures 64 et 72, dontlerap-

f)ort se ferait de même qu'il a été expliqué pour es mêmes figures.

Si donc, ayant rédigé le plan, on trace les alignemens de y eg, et eh , qui sont des routes à ouvrir dans le bois, d'après ce que nous avons dit sur cette matière, on voit qu'il faudrait, 1.° mener^ avec la règle et Téquerre, des parallèles à ces lignes , qu'on ferait accorder avec la circonférence et le point central du cercle, pour connaître leurs degrés ou directions; 2.° déterminer sur les lieux ces mêmes directions , ainsi que les longueurs qui leur seraient relatives.

Dans ce cas, après avoir déterminé sur les lieux le point d par la mesure Bû? ( qu'on aura trouvée sur l'échelle), on y placera la boussole; et, tournant celle-ci jusqu'à ce que l'aiguille corresponde au degré de direction observé, on fera placer un jalon dans l'alignement de l'alidade, et l'on avancera ainsi jusqu'au point (on reconnaîtra qu'on sera arrivé à ce point par la longueur ûfe, déterminée sur l'échelle du plan). De ce point on déterminera la direction eg comme on l'a fait pour de; et, après avoir de même déterminé le point on reviendra au point e^ d'où Ton déterminera, par le même procédé, la direction et la longueur eh : alors on fera ouvrir ces routes en leur donnant leur largeur dési-

DE l'arpentage. 115 gnée, et les partageant également de chaque côté des lignes de direction.

Voici une manière commode d^obtenir les angles d'un polygone sans se servir d'instrument. Alignez BC en c; cotez BCj et son prolongement de; mesurez cD; prolongez CD en I, et niesurez DI et lE; alignez DE en de manière que ce dernier point se trouve dans la direction de FA; mesurez DE, et son prolongement E/; cotez également les distances EF, jF, FA, et son

{)rolongement au point a, qui doit être dans Taigneraent de BC.

On fera remarquer qu'on àurait obtenu l'angle EDC en mesurant le triangle IDH, en prolongeant l^e côté ID en C, et HD en È, ainsi des autrei^j comme on l'indique pour la figure 85.

Pour rapporter le plan de cette figure, tracez une ligne indéfinie BC, à laquelle vous donnerez une longueur proportionnelle; prolongez cette ligne en en donnant à ce prolongement sa longueur respective. Construisez le triangle CcD, tirez DC, et donnez à son prolongement DI une longueur réduite sur l'échelle du plan pour déterminer le point I. Sur DI formez le triangle DIE, et déterminez le point f comme on vient de l'indiquer pour le point I. Sur E/ faites les triangle /EF; prolongez y'F indéfiniment; déterminez sur cette ligne le point A par la longueur FA, et tirez AB, Le point a doit se trouver à la rencontre des hgnes FA et CB prolongées; on vérifiera aussi les distances A a et ^zB.

Ayant ainsi déterminé les lignes BC, CD, DE, EF, FA^ et AB, rapportez; sur ces lignes

tous les détails que vous aure?; figurés ou cotés sur le canevas, et vous aurez le plan de la figure 75 bis. ' ;

Explication de î a figure 76.

On peut, par le moyen d'une base mesurée et des angles (ou directions) observés, déterminer des distances inaccessibles.

Soient les points C et D dont il s'agit de connaître la distance entre eux et par rapport aux points A et B : mesurez une base AB la pluà^ proche qu'il vous sera possible des points C et D, et dont les extrémités soient le plus éloignées que vous pourrez , afin que les rayons se cqupent moins obliquement. On suppose cette longueur être de 155 mètres. Du point A prenez la'direction AB (ou le degré que l'aiguille aura marqué pour cette ligne), AC, et AD. Transportez l'instrument au point B , d'oii vous observerez les directions BC et BD; vous pourrez aussi vérifier la direction BA, qui présentera une différence de 180 degrés (voyez ce que nous avons dit sur la preuve des angles fig. 72), et l'opération du terrain sera terminée.

Rapport de la figure 76.

Tracez une ligne qui représentera le nord-sud de la boussole, marquez un point sur cette ligne, et, après y avoir disposé le rapporteur comme on l'indique pour la figure 72, vous rapporterez ,