LEVER UN PLAN AVEC LE GRAPHOMÈTRE

Supposons qu'il s'agisse de lever le plan du terrain représenté par la figure 72 '. placez le

116 PRATÎQtE

graphomètre au point A, et mesurez langle EÀB ( suivant la méthode indiquée au problème II); transportez cet instrument au point B, et mesurez l'angle ABC; ensuite faites mesurer les côtés AB, BC; vous mesurereî^ de même les angles BCD, CDE, DEA; vous coterez leurs mesures et les longueurs de leurs côtés telles qu elles sont marquées sur la figure 72 , en ne considérant que les angles intérieurs de cette figure.

Ayant coté exactement toutes ces mesures sur le croquis, il sera aisé de faire le plan de cette figure en formant, avec un rapporteur, des angles égaux à ceux qu'on aura observés (suivant la méthode indiquée au problème III), et en donnant à leurs côtés des longueurs proportionnelles.

Afin de s'assurer de la position respective des principaux points de la figure dont on lève le plan, il convient de diriger des rayons à ces points : par exemple, étant placé au point E, jîg. 72 y on mesurerait les angles AEB, BEC, etc.; il faut aussi mesurer, lorsqu'il est possible, plusieurs diagonales, telles que BE, DA, etc.

On voit qu'on emploierait les mêmes procé-dés pour lever les plans des figures 57, 59, 60, 61, et toutes autres figures quelconques, soit qu'on puisse y entrer, soit que des obstacles s'opposent à ce qu'on puisse les parcourir librement.

LEVER LE PLAN DE LA FIGURE 75 AVEC Ulf GRAPHOMÈTRE.

3'il s'agissait de lever le plan de la rivière re-

DE l'arpenïage. 117 présentée en la figure 75, placez un grapliomètre au point B, et mesurez langle ABD; ensuite, transportez rinstrument au point D, et mesurez l'angle BDE; faites de même pour l'angle DEFj faites mesurer les longueurs des côtés de tous ces angles, et cotez ces mesures sur un canevas, ainsi que les détails qui seront semblables à ceux obtenus dans la première opération.

On aura le plan de cette figure en formant avec le rapporteur des angles égaux à ceux observés, en donnant aux côtés des longueurs proportionnelles, et en rapportant sur les lignes de base tous les détails qu'on aura marqués sur le canevas.

Il est essentiel de bien saisir l'explication de la figure 77 , pour comprendre la manière de lever le plan d'un village, d'un bourg, d'une ville, etc.

Explication de la Jîgure 11.

Supposons qu'il faille lever le plan d'un massif de maisons, d'une place publique et de plusieurs rues adjacentes, représenté par la figure 77. Après avoir fait l'examen et le canevas des lieux , déterminez la ligne AB (^^^ qu'il faudra faire mesurer exactement. Sur cette ligne, élevez des perpendiculaires aux angles R, Q, P, O, T, 0^, N'j ensuite mesurez de P en Q, et élevez des perpendiculaires aux angles rentrans, ainsi qu'on le voit dans la figure; placez un gra-

f/) Faîtes planter des piquets aux points de station et aux ex- Iri'mités des directions.

118 PBiTIQUE

pliomètre au point C, et mesurez l'angle BCF, de 55 degrés ; sur CF élevez des perpendiculaires aux angles saillans M^, à Fangle rentrant H, aux angles saillans U , ^ , V , V , G , B!. Faites mesurer du point C au point U, et élevez des perpendiculaires aux angles rentrans compris entre ces deux points. Nous ferons remarquer qu'il faut se servir d'une équerre d'arpenteur pour élever les perpendiculaires lorsqu'elles sont un peu grandes. On doit aussi mesurer les côtés 'RQ 5 TO' , 0'1S% etc., qui seront une vérification de la justesse des perpendiculaires. Au point V mesurez l'angle BVL, de 82 degrés j ou son supplément AVL, de 98 degrés (21). Faites mesurer le rayon VL, sur lequel vous élèverez une perpendiculaire au point I. Formez aussi le triangle XML^ sur XM ; élevez une perpendiculaire au point N.

Continuez le mesurage de la base AB; élevez ime perpendiculaire au point Y; cotez la rencontre de l'angle G^; élevez des perpendiculaires aux angles Z, E', K, D', E; ensuite faites mesurer de K en et élevez des perpendiculaires aux points intermédiaires. On voit que par ce moyen on avance plus rapidement l'ouvrage, parce que les perpendiculaires, étant plus courtes, peuvent s'élever sur les lignes secondaires (RI, PQ, etc.), seulement avec un double mètre, et la mesure de ces lignes est un moyen de vérification de la première opération.

Revenez au point D, d'où vous mesurerez l'angle CDE. Sur DE élevez des perpendiculaires aux angles P^, F^, et A', et marquez la ren-

DE l'aepentage. 119 contre du point G sur cette ligne 5 que vous prolongerez au point E dans ralignement de FC.

Au point E mesurez l'angle CED : les angles C et D valant ensemble 112 degrés ^ l'angle D devra être de 68 degrés (51).

Cette opération terminée, mesurez exactement les prolongemens des lignes de base (que nous n'avons pas tracées, pour ne point trop charger ]a figure), et observez leurs extrémités à l'égard des points déterminés à droite ou à gauche de ces prolongemens.

Exemple. L'extrémité du prolongement DE aboutit à 20 mètres du point (échelle, figure 35), et son autre extrémité ED aboutit juste au point e.

Il faudra aussi prolonger les directions des cûtés m\ KZ, YU, E^F, LI, etc., sur les massifs opposés , en observant l'extrémité de leurs prolongemens à l'égard des points détermiliés à droite ou à gauche de ces prolongemens, ainsi qu'on l'a exphqué ci-dessus. Deux exemples seront plus que suffisans pour faire comprendre ce que nous disons : Prolongez, l.o LI en c, et mesurez cG! = 5 mètres j 2.^ prolongez YU, qui doit aboutir au point dj vous pourriez encore prolonger E'P^ en et mesurer aA^, etc.

On mesurera aussi plusieurs diagonales , telles que lY , ¥e^ IVfQ , etc.

Et les largeurs Zè, D^E^, YO, LW, B'K', PZ,GBSetc.

Toutes ces précautions sont très-nécessaires, et même indispensables, pour faire une bonne opération [et la vérifier. Quelques personnes

120 iPîiAtiOtii:

pourraient penser qu'il suffit de mesurer avec précision les angles et les longueurs des lignes principales de l'opération, et de rapporter sur ces lignes toutes les perpendiculaires qu'on aurait élevées aux mgles saillans et rentrans des massifs; et ensuite, re'unissant les extrémités de ces perpendiculaires par des lignes droites, elles croiraient avoir le plan exact de la figure 77(*>

Nous répondrons d'abord qu'en effet c'est bien le procédé qu'il faut employer pour le rapport de cette opération , mais que cela ne suffirait pas, parce qu'il faut savoir non-seulement faire un plan, mais encore en vérifier l'exactitude par tous les moyens possibles. Nous dirons donc, 1.° que la mesure des côtés est une vérification de la justesse des perpendiculaires, et que souvent on est aussi obligé de faire des états dans lesquels il faut énoncer, en chiffres , les longueurs des façades des maisons, les largeurs des rues, des places publiques, etc. ; que toutes ces mesures doivent être énoncées à un dé-* cimèlre près , et qu'elles ne pourraient être déduites aussi rigoureusement sur l'échelle du plan , surtout si cette échelle n'est pas dans un grand rapport;

2.^ Que les prolongemens des lignes d'opération et des massifs sur les côtés opposés, servent à vérifier leurs directions les uns à l'égard des autres et des points qui les entourent, ainsi qu'on l'a fait remarquer ci-dessus.

(*) Cette observation nous ayant été faîte par plusieurs personnes , et notaminent par 3IM. les instituteurs, nous profitons de^ celte nouvelle édition pour leur adresser notre réponse.

DE l'arpentage, 121 On vérifiera ainsi tous les autres prolongemens des massifs et des lignes d'opération qu'on aura observés pendant le cours de l'opération; et^ si ces prolongemens aboutissent tous à leurs points dé direction les uns à l'égard des autres 5 en conservant leurs distances proportionnelles, cette coïncidence est une preuve de l'exactitude de l'opération.

On voit donc que nous n'avons rien indiqué de surperflu dans l'explication de cette figure si essentielle, et qu'il est nécessaire de bien comprendre pour l'intelligence de ce que nous allons dire sur la manière de lever le plan d'un bourg, d'une ville, etc.

Voici une manière prompte et facile pour mesurer ou vérifier un angle. Supposons qu'il faille mesurer l'angle saillant abe ^ figure 77 bis : prolongez un coté ah en c; à ce point élevez la perpendiculaire cd au point d; par ce moyen vous connaîtrez la grandeur de l'angle ahe : on fera observer qu'il faut que le prolongement hc soit aussi grand qu'il sera possible de le tracer.

Ayant coté exactement sur un canevas la grandeur des angles observés, la longueur de leurs côtés et leurs prolongemens, ainsi que tous les détails pris sur ces lignes, il sera facile de faire le plan de la figure 77. Triîcez sur une feuille de papier une ligne AB indéfinie; marquez un point A sur cette ligne, duquel point vous porterez la longueur proportionnelle AC ; à ce point et sur la ligne AB, formez avec un rapporteur un angle BCF de 35 degrés; déterminez le point D

par la distance proportionnelle CD- à ce point formez l'angle CDE, et déterminez le point E, comme vous l'avez fait pour le point D. Au point E mesurez l'angle DEC avec un rapporteur. Si les angles DCE et CDE sont bien rapportés, et que la longueur de leurs côtés soit proportionnelle, l'angle E sera de 68 degrés. Il faudra aussi vérifier sur Téclielle du plan la longueur de la ligne EC, qui devra contenir autant de parties de l'échelle que cette ligne contient de mètres. Si cette coïncidence a lieu, vous aurez fermé le plan sous le rapport des directions et sous celui des mesures.

On suppose qu'au point V vous ayez rapporté l'angle BVL : sur YL formez le triangle XML, et sur le côté XM élevez la perpendiculaire au point N.

Vous rapporterez ensuite sur ces lignes tous les détails mentionnés dans l'explication qui précède. Vous tracerez aussi au crayon sur le plan toutes les directions que vous aurez observées, avec leurs prolongemens, et vous vérifierez avec l'éclielle et le compas toutes ces dimensions, en les comparant avec les mesurages faits sur les lieux.

Nous allons maintenant indiquer la méthode de lever le plan d'un bourg ou d'une ville.

Explication de la figure. 78.

L'art de lever le plan d'un bourg, d'une ville, consiste à lier ensemble plusieurs polygones dont les lignes peuvent être considérées comme des bases sur lesquelles on obtient les angles

DE l'arpentage. 123 rentrans et saillans (ainsi qu'on Fa fait pour la figure 77) des rues, places, culs-de-sac, etc. On propose de lever le plan de la ville représentée par la figure 78 : placez un graphomètre au centre de la ville, à un point A, duquel on puisse observer de grandes directions. A ce point mesurez les angles DAB et BAC; sur la ligne AD marquez les points E, T, A^, et sur AC les points Y et N (faites planter des piquets à ces points, en cotant leurs distances ainsi que celles de toutes les lignes d'opération); sur AB marquez le point X. Transportez le graphomètre au point T; à ce point mesurez Tangle ATU; au point U mesurez l'angle TUV, et au point V mesurez l'angle UVX. On remarquera que la direction VX devra passer par le point X, et que le plan doit se fermer à ce point dans cette première partie de l'opération. Au point X, mesurez les angles YXB et BXO.

t*^^ remarque. Il faudra aussi mesurer les angles YXA et OXA, pour obtenir la preuve des angles des polygones ATUYX et XONAX; au point^ B , mesurez les angles ABQ et ABP; au point Q mesurez l'angle BQR; au point R, mesurez fangle QRK. Sur RK marquez les points A^ et S; au point A^ mesurez l'angle RA'A.

2."^® femarque.^l Si les angles et les lignes ont été bien mesurés ^ le rayon A^A doit passer par le point A, et son prolongement par le point D, et le plan se fermera dans cette seconde partie de l'opération. Transportez le graphojnètre au point P; à ce point mesurez l'angle BPM; sur

124 Î^EATIQUE

PM marquez les points O et N; au point O mesurez l'angle POX : le rayon OX doit passer par le point et le plan se fermer dans cette troisième partie de l'opération. Etant arrivé au point quoique ce point soit déterminé sur le rayon AC , on y mesurera toujours les deux angles PNA et ANM. On remarquera aussi que le rayon NA doit passer par le point A^ et le plan se fermer dans cette quatrième partie de l'opération. Vous aurez levé le plan de la partie de la ville comprise entre les points AA^RQPNA. Vous emploierez les mêmes procédés pour lever les autres parties , en prenant sur toutes les lignes de base les détails des rues^ places^ etc., tel qu'on Ta enseigné pour la figure 77. '

Nous allons seulement expliquer quelques détails au centre de la figure 78. Au point A on a aussi mesuré les angles BA/i^ BAc; mesurez les rayons. cA, hAy sur AB élevez des per*pendiculaires aux points dj ky 1^ etc. 3 sur AC élevez des perpendiculaires aux points O i ^ <^tc. ; sur AD élevez des perpendiculaires aux points h ^ a ^ etc.; sur EG élevez de« perpendiculaires aux points P\^^ ^^^'î points y^et r étant déterminés sur la ligne secondaire Jr^ élevez des perpendiculaires aux points m et

Nous ferons encore observer que les angles intérieurs du polygone KRQPMLR , qui renferme la figure 78 , doivent valoir, pris ensemble, 720 degrés (57); on obtiendra aussi la preuve des angles pour chacun des massifs ANOXA^ ainsi des autres.

DE l'arpentage. 125 Voici une manière plus prompte, mais moins ï-igoureuse que la précédente, puisqu'on n'obtient pas la preuve des angles de chacun des massifs; cependant elle sera toujours assez juste si les angles principaux sont mesurés avec précision.

Exemple. Sur le côté RK de l'angle QRK l'on a marqué les points h! et S. Au point K on a mesuré l'angle RKL, et sur KL on a marqué le point G; le point E ayant été déterminé sur le rayon AD, mesurez EG, et marquez sur cette ligne le point F. Le point S ayant été déterminé sur RK, mesurez la ligne FS3 au point I, mesurez l'angle KIH, mesurez IH et la ligne FH; au point H mesurez l'angle FHZ et la ligne HZ; le point Z étant déterminé par le dernier rayon HZ, et le point Y ayant été déterminé sur le rayon AC, mesurez la ligne ZY.

Avant de rapporter aucun détail, il conviendra d'abord de former le plan linéaire (ou celui de toutes les lignes de base), au rapport duquel il faut apporter tous ses soins, puisque de cette première opération dépend la justesse du plan. En effet, dans le cas où l'on aurait omis quelques détails , l'ensemble du plan étant bon, il serait facile de les ajouter, ou même de les rectifier s'il en était besoin; au lieu que, si les bases de l'opération n'étaient pas justes, quand même plusieurs détails seraient bien rapportés, le plan ne pourrait être admis*

Ayant coté sur un canevas la grandeur des angles, la mesure de leurs côtés, ainsi que leurs prolongemens et les détails pris sur ces lignes,

comme on l'a fait pour la figure 77, le plan de cette ville se fera de même que celui de cette figure.

S'il s'agissait de vérifier ce plan^ on prolongerait les côtés des massifs pour observer le point de l'extrémité de leurs prolongemens , à l'égard des angles déterminés à droite et à gauche de ce point; on mesurerait les côtés des massifs, des diagonales dans les places, les largeurs des rues et celles de leurs embranchemens.

Il faut donc faire toutes ces observations dans le cours de l'opération, et en tracer le résultat au crayon sur le plan : alors la vérification servira à constater l'exactitude de cette opération.

Nous pensons qu'il serait superflu d'en dire davantage sur cet objet : car, ayant bien compris l'explication de la figuré 77 et ce que nous venons de dire sur la figure 78, on ne pourra éprouver aucune difficulté ni sur les lieux ni au cabinet. Nous invitons le lecteur à relire encore avec attention les explications des deux dernières figures, qui auront leur application dans un grand nombre de cas.