LA LOI DU SINUS

V fait avec AB un angle aigu a qui est Tangle d'attaque. Si l'on construit le triangle rectangle ACB, la longueur AC est, d'après la définition même du sinus, égale au produit de AB par le sinus de l'angle d'attaque a; si le plan de section A B a une surface S, la surface qu'il présente au vent, c'est-à-dire sa surface apparente pour un observateur placé au loin, dans la direction du vent, est égale au produit Ssina. L'expérience prouve que la poussée exercée par le

Fig. 24.

vent V sur la surface AB est une force proportionnelle à cette surface AC, c'est-à-dire, la surface S de AB étant donnée, proportionnelle au sinus de V angle d'attaque; c'est la loi du sinus. Cette force est d'ailleurs perpendiculaire à AB et peut, par suite, être décomposée en deux forces, l'une verticale et l'autre horizontale ; par analogie avec les expressions consacrées pour les dirigeables, on réserve le nom de poussée à la composante verticale et on donne le nom de traînée à la composante horizontale. La valeur de la résistance de l'air est alors :

k Sr- sin a

celle de la poussée :

k Sv- sin a cos a * 135 €

LE ROLE DE V ANGLE D'ATTAQUE

et celle de la traînée :

k Sv' sin^ o(.

On avait admis pendant longtemps, sur la foi d'un raisonnement attribué à Newton, une loi toute différente, celle du simis carré. L'observation prouvant que les actions de Tair se réduisaient assez exactement à une force normale au plan, on avait cru pouvoir en conclure que seule, la composante de la vitesse normale au plan intervenait. Il y avait là une confusion entièrement gratuite entre la décomposition purement géométrique des vitesses et leurs effets dynamiques. En admettant ce raisonnement, la vitesse normale étant évidemment t;sina, son carré étant v' sin- a et par suite la résistance

k Sv- sin^ a

C'était la loi du sinus carré. Nous allons voir quelles difficultés résultaient de cette loi, diffi- (^ultés qui disparaissent avec la loi du sinus. C'est Euler qui a le premier énoncé la loi du sinus et Borda qui en a fait les premières vérifications expérimentales, à la fin du XVlir siècle, sous l'inspiration et le contrôle de VAcadémie des Sciences de T^aris.

La différence capitale entre la loi du sinus (^arré et la loi du sinus est la suivante :

Avec la loi du sinus carré, Tattaque oblique de l'air par les surfaces portantes (ou ailes) n'est pas plus avantageuse que l'attaque normale (il faut comprendre bien entendu, oblique et nor-

LA LOI DU SmUS

maie par rapport au vent relatif) ; avec la loi du sinus, au contraire, un calcul simple montre que Tattaque oblique, occasionne une dépense de travail beaucoup moindre que n'exigerait l'attaque normale ; l'explication quantitative du vol des oiseaux est ainsi rendue bien plus aisée et la théorie de l'aéroplane est aussi facilitée. Précisons ce point essentiel.

Nous avons dit que la résistance de l'air était une force normale au plan, proportionnelle à la surface de ce plan, au carré de la vitesse, et au sinus de l'angle d'attaque. On a donc* :

F = ^ Sî;- sin i

Si l'angle / est petit, la composante verticale de F, ou poussée, peut être considérée comme sensiblement égale à F ; comme elle doit équilibrer le poids de l'appareil, on peut écrire, en désignant ce poids par P :

P =1 ^ Sî;- sin /

La composante horizontale de F, ou traînée, est égale ou produit de F' par sin /'; elle est

donc :

k St>-^ sin- i

I. Certains auteurs réservent le coefficient k pour la loi de la résistance orthogonale et désignent par o le coefficient qui s'introduit dans cette formule. Si la formule était valable quel que soit «', ce serait là une simple question de notation, c'est-à-dire qu'on aurait Â; =: o ; en réalité, il semble bien qu'il n'en soit pas ainsi; la valeur de 9 peut être double de la valeur de k.

On a proposé des formules diverses destinées à représenter le phénomène pour toutes les valeurs de /; ce qui nous importe seulement, ce sont les petites valeurs de i pour lesquelles la formule du texte est certainement exacte, à condition de choisir convenablement le coefficient k.

LE ROLE DE L'ANGLE D* ATTAQUE

La vitesse étant horizontale, le travail est égal au produit de cette composante horizontale par le chemin parcouru; le travail par seconde est égal au produit de la traînée par la vitesse*, c est-à-dire à

Or, sin i est égal à , ^. 7 ; l'expression du travail peut donc s'écrire :

kSv

Or, P, fe, S, sont des constantes de l'appareil; on arrive donc à ce résultat, en apparence paradoxal, que le travail par seconde est inverse^ ment proportionnel à la vitesse. Il ne faut pas perdre de vue que la vitesse n'est pas arbitraire ; elle est liée au poids de l'appareil par la relation :

P zz: ^ St>2 sin /

relation qui montre que la vitesse peut devenir de plus en plus grande, pourvu que i devienne de plus en plus petit. Par conséquent, en diminuant Tangle d'attaque, on peut augmenter la vitesse et diminuer le travail par unité de temps.

I. Il s'agit ici, bien entendu, du travail utile, qui n'est qu'une fraction du travail total dépense par le moteur ; la fraction de ce travail employée à communiquer une certaine force vive à l'air que brasse l'hélice est négligée en tous cas : pour que le calcul fût absolument correct, il faudrait être certain que ce travail n^ligé est toujours égal à la même fraction du travail utile.