Par exemple, si V = 20'» (ou 17\^ à l'heure) et R=ioo

-5— ^^ — , et— (-Ô— I moindre que — .

2. En réalité, il faudrait maintenir légèrement braqué vers le haut l'aileron situé vers le centre du virage, tandis que pour provoquer la nouvelle orientation de l'appareil, il a fallu momentanément ctTcctuer éncrgiqucment la manœuvre inverse.

THÉORIE DE VAEROPLANE

nouvelle orientation de Vappareil et notamment pour le faire pencher vers le centre du virage y il faut manœuvrer à la fois les ailerons [ou le gauchissement) et les deux gouvernails. Pour obtenir vite rorientation voulue, on manœuvrera énergiquement les ailerons (ou le gauchissement) de façon à provoquer presque immédiatement rinclinaison latérale désirée, et on corrigera la manœuvre à l'aide des deux gouvernails. Le gouvernail d'arrière devra en outre avoir communiqué à l'appareil la rotation lo.

Stabilité d'un viragk parfait. — Virage a l'aide dk DEUX MANŒUVRES. — La Stabilité d'un virage parfait se discuterait comme celle du régime normal [p. 228 et 240], en étudiant les petits mouvements voisins de l'équilibre relatif : mais il faudrait tenir compte des forces centrifuges composées. Toutefois, si le virage e^ très large, ces dernières sont négligeables, et la discussion est alors tout à fait id(?ntique à celle du régime normal à cela près que

g est remplacé par g^.

En particulier, la stabilité latérale automatique sera meillounî si l'appareil est muni d'une quille (ou de cloisons) dont le centre de pressions est' à l'arrière et au-dessus de G. Pendant 1(; virage parfait, ces parois auxiliaires n'interviendront pas; mais elles tendront à ramener l'appareil au régime parfait, s'il s'en écarte.

D'après cela, imaginons un appareil cloisonné qui n'a ni ailerons ni gauchissement (système Voisin); pour virer à droite, par exemple, on tourne vers la droite le gouvernail darrière, l'appareil met cap à droite; les pressions de Tair sur la voilure et les cloisons font pencher l'appareil à droite. Quand il est suffisamment penché, imaginons qu'on remette (^n place le gouvernail d'arrière, le gouvernail d'avant étant maintenu dans une inclinaison convenable. I /appareil en général ne sera pas alors dans le vent relatif ; autrement dit, son plan de symétrie fera un certain angle avec V. Mais l'appareil, après quelques oscillations, rentrera dans le vent et effectuera sensiblement un virage parfait.

On procéd<rrait de façon analogue si l'appareil (à quille ou cloisons) possédait d(;s ailerons (ou un gauchissement^ mais point dr gouvernail d'arrière.

VIRAGE D'UN AÉROPLANE

Conclusions. Comparaison avec la bicyclette et le NAVIRE. — On étudierait d'une manière analogue les virages corrects ; nous omettrons ces calculs et nous nous contenterons d'en indiquer les conclusions principales.

Considérons un aéroplane, sans quille ni cloison verticale, mais muni des trois organes de manœuvres (gouvernails horizontal et vertical et ailerons ou gauchissement). Cet appareil peut d'une infinité de façons effectuer un virage correct, de rayon donné R, c'est-à-dire un virage dans lequel le centre de gravité G décrit un cercle horizontal donné tandis que l'appareil garde une orientation constante par rapport à la verticale et à la vitesse V de G. Toutefois R doit être supérieur à un certain minimum Ro qui dépend notamment de la force propulsive. Dans un de ces virages [virage parfait] le plan de symétrie de l'appareil est tangent à V ; l'appareil penche alors vers l'intérieur

\i du virage d'un angle t dont la tangente est égale à — :g —

R& (comme dans le cas de la bicyclette). Mais le pilote (pour

R donné > Rq) peut choisir arbitrairement (entre certaines

limites) l'angle t^ dont il penche ; ces limites s'écartent

d'autant plus de t que R est plus grand, et pour R très

grand l'appareil peut même virer sans se pencher sous la

seule poussée des hélices.

Quand l'appareil est pourvu de cloisons verticales, rien n'est changé aux conditions]du virage parfait, mais le rayon minimum des autres virages corrects est diminué pour chaque valeur t^ < t. En particulier, si l'aire des cloisons verticales est notable, l'appareil pourra effectuer, sans pencher, un virage qui ne soit pas de rayon exagéré.

Si l'appareil n'est muni que du gouvernail vertical et du gouvernail horizontal, l'appareil sera susceptible (pour R donné > RJ d'un des virages précédents ; pour une répartition convenable des masses de l'aéroplane, ce virage ne différera pas du virage parfait. Il en serait de même si l'appareil n'était muni que du gouvernail horizontal et d'ailerons [ou gauchissement].

Remarquons enfin qu'on pourrait diminuer le rayon de virage si on laissait l'appareil descendre pendant le

virasse,

TIIEOHIE DE L'AEROPLANE

Les différences avec le virage d'une bicyclette sont évidentes : pour un rayon de virage et une vitesse de G donnés, la bicyclette penche vers l'intérieur du virage d'un angle donné ^ ; l'aéroplane comporte au contraire une infinité de virages corrects, parmi lesquels le virage parfait est seul assimilable au virage de la bicyclette.

Pour amorcer le virage d'une bicyclette, le cycliste doit se pencher un peu en dehors du plan de symétrie et incliner le guidon (du côté du centre du virage) ; une fois le système incliné d'un angle convenable et animé d'une rotation convenable autour de la verticale de son centre de gravité, le cycliste rentre dans le plan de symétrie de l'appareil et l'obliquité du guidon doit seule être maintenue ; ce sont les réactions (obliques) du sol sur les roues qui assurent à la fois l'équilibre et le virage. Le virage parfait d'un aéroplane doit être amorcé par trois manœuvres ; celle des ailerons correspond au déplacement du corps du cycliste et peut être remplacée par le déplacement latéral d'un poids; la manœuvre des deux gouvernails correspond à celle du guidon ; mais une fois l'appareil incliné d'un angle convenable et animé de la rotation correspondante w autour de la verticale de G, le gouvernail vertical doit être remis sensiblement en place et la manœuvre des ailerons annulée et même légèrement inversée ; seule la manœuvre du gouvernail horizontal doit être maintenue; quand le virage est terminé il faut opérer des manœuvres inverses de celles de l'amorçage-.

I. Nous supposons ici que, pendant le virage^ le cavalier a, par rapport au cadre, même position qu'en route rectiligne ; en réalité, à chaque position du corps du cavalier (position qui varie habituellement pendant la période où le virage s'amorce) correspond une inclinaison différente de la bicyclette.

3. Au point de vue mathématique, l'aéroplane est un solide libre dont la position dépend de six paramètres : les trois manœuvres permettent d'imposer à ces paramètres trois condition^ arbitraires [entre certaines limites], par exemple G décrit un cercle horizontal [2 conditions] et le plan de symétrie de l'appareil est tangent à ce cercle [i condition]. Si l'appareil n'est muni que de deux manœuvres, on ne pourra plus imposer que deux conditions, par exemple G décrit un cercle horizontal.

La bicyclette dépend, elle, de 9 paramètres [6 pour le cadre,

V/HAGE D'UN AEROPLANE

Comparons enfin le virage d'un aéroplane et celui d'un navire. Le virage d'un navire est provoqué par la manœuvre du gouvernail arrière qui fait gyrer le navire autour de son centre de gravité, à droite, par exemple ; le navire présentant le flanc gauche à la vitesse relative des filets liquides, les réactions de Teau sur ce flanc l'emportent sur les réactions que subit le flanc droit, et le centre de gravité dévie à droite . L'hélice dont la poussée a une composante vers le centre du virage appuie cette déviation, mais faiblement : même si on l'arrêtait, le navire virerait. Dans un virage correct, G décrit un cercle et le plan de symétrie du navire (qui renferme l'axe de propulsion) fait un angle

constant avec la vitesse V de G, l'avant du navire pénétrant dans l'intérieur du cercle de virage. Un tel virage est comparable au virage d'un aéroplane muni d'une quille ou de cloisons verticales et qui virerait sans pencher de côté. Bien qu'un tel virage soit possible, ce n'est point ainsi que virent les aéroplanes actuels, même cloisonnés ou à quille, leur virage est peu différent du virage parfait, lequel n'a aucun rapport avec le virage d*un navire. Par exemple, il n'existe aucune analogie entre le virage d'un vapeur et le virage d'un Wright ou d'un Farman.

Influknce d'une hélice unique. — Quand l'appareil, au lieu de deux hélices symétriques, porte une hélice unique, l'effet gyroscopique de cette hélice se fait sentir dans les virages.

Admettons que l'hélice, placée en arrière de G, tourne de gauche à droite autour de la demi-droite GH : d'après la théorie classique de l'effet gyroscopique, pour dévier à droite (ou à gauche) la droite GH, il faudra provoquer à l'aide du gouvernail d'avant une force supplémentaire ascendante quand on vire à gauche, descendante quand on

2 pour la roue d'avant, i pour la roue d'arrière]. Mais les liaisons I contacts sans glissement des roues avec le sol] introduisent 6 liaisons, dont 2 holonomcs et 4 non holonomes. Le système est donc un système à 7 paramètres liés par 4 liaisons non holonomes. On voit que les deux problèmes (bicyclette et aéroplane), malgré certaines analogies, sont fort différents l'un de l'autre.

THÉORIE DE V AÉROPLANE

vire à droite. Comme l'appareil a déjà tendance à piquer du nez dans les virages [p. 244], il y aura avantage à virer adroite, l'effet gyroscopique atténuera ou annulera Tangle dont il faut braquer le gouvernail d'avant. Si rtiélice tourne de droite à gauche autour de GH, il y aura avantage à virer à gauche.

Remarques générales. — Dans toute cette théorie de l'aéroplane, nous avons supposé Thélice [ou les hélices] placées à Tarrière et n'influant pas sur les réactions que l'air exerce sur la voilure et l'esquif. Si Thélice est placée en avant ou si l'appareil est muni d'une queue postérieure à rhélico participant à la sustentation, le vent de l'hélice accroît derrière celle-ci la vitesse relative de Tair ^. L'air ayant une vitesse d'arrivée donnée en grandeur et direction par rapport à l'aéroplane, les réactions de l'air sur la voilure et ses annexes sont différentes suivant que l'hélice marche ou est arrêtée. Les conclusions de la page 229 devraient alors être modifiées.

Dans les appareils modernes [ainsi d'ailleurs que dans les navires] on cherche à faire travailler l'hélice dans un fluide non ébranlé. [Le fluide ébranlé est en effet sillonné de remous qui, s'ils sont désordonnés, nuisent au bon fonctionnement de l'hélice]. La discussion de la page 207 s'applique alors et montre que le travail moteur sur l'arbre de l'hélice

doit dépasser *V = V^ [^^a'^ + î^] = -^-77- + V^^ \ pour V

grand, le terme principal [jlV^* croîtrait donc comme le cub« de V. Mais imaginons qu'on arrive à construire des fuselages tels que le liquide ébranlé derrière eux les accompagne d'un mouvement régulier : l'hélice placée derrière un tel fuselage travaillerait alors dans un liquide sensiblement immobile par rapport à son axe, c'est-à-dire comme au point fixe ; la condition //w > V de la page 207 ne serait plus nécessaire ; le travail moteur de l'hélice pourrait être inférieur - à *^V z=. V^ fXa* + \l\.

1. Hn outre, le tourbillonnement de l'air engendre par l*hélice

crée une certaine dissymètrie.

2. On peut également imaginer des explosifs qui réagiraient dlrec-

ll&AGE UVN AÉROPLASE

La plupart des auteurs s'imaginent que la quantité i'V est une limite inférieure du travail moteur, imposée par le Princif>e de la Conservation de Ténergie. Cest une erreur complète- Il n'est pas douteux a priori qu'une telle limite existe, ne fût-ce qu'à cause de la viscosité de Tair et des frottements ; mais nous sommes actuellement hors d'état de la déterminer même grossièrement, et elle est \Taisemblablement beaucoup plus basse. La limitation que certains théoriciens ont cru pouvoir à Tavanoe imposer aux vitesses des aéroplanes en admettant comme travail moteur minimum l'expression 4»V est donc sans fondement.

tement sur Tair, en le repoussant «i arrière. Ce serait le système de la fusée, mais employé à propulser lappareil horizontalement. Un tel système a été déjà et-sayé avec un bon rendement pour propulser des canots automobiles. — Quel que soit le système employé, le but à atteindre c'est que l'appareil avec ses propulseurs ébranle en un temps donné' la masse minima d'air, ou plus précisément accrois'»^ l'énergie de l'air d'une quantité minima.

Vfjr