LA FORCE. LE TRAVAIL. LA P LISSA XCE

ceux-ci déploient des efforts pour se maintenir en Tair à une hauteur constante, même sans s'élever. Sans doute, et c'est pourquoi la réponse faite a une allure paradoxale qui mérite quelque explication.

Pour raisonner tout d'abord sur des phénomènes qui nous sont plus familiers, représentons-nous un homme debout sur un escalier mobile, sorte de tapis roulant sans fin, formant un double plan incliné. Si cet homme n'agit pas, il est clair que son poids aura pour effet de le faire descendre, le tapis roulant étant entraîné sous ses pieds; s'il veut rester à une hauteur constante, il devra à chaque instant regagner par son propre eftort le terrain qu'il perd du fait de 1 action de la pesanteur: quel sera son travail dans ces conditions ? Il est aisé de se rendre compte que ce travail n'est pas déterminé d'une manière précise par nos données ; il dépend essentiellement de la fréquence des mouvements avec lesquels l'homme regagnera le terrain perdu. Si nous supposons l'inclinaison du plan telle qu'il s'abaisse d'un mètre par seconde et si son poids est de 75 kilogrammes, il est clair que s'il fait un bond chaque seconde (bond que nous supposerons instantané, c'est-àdire d'une durée néghgeable par rapport à la seconde), le travail de chaque bond sera de 75 kilogrammètres (puisque 75 kilogrammes auront dû être élevés à un mètre de hauteur' et par suite la puissance nécessaire pour produire ce travail sera d'un cheval-vapeur.

Supposons maintenant que l'homme fasse un saut chaque dixième de seconde ; comme, pendant ce temps, il n<.* sera descendu que de la centième partie d'un mètre*, c'est-à-dire d'un centimètre, le travail correspondant à ce saut sera la centième partie de 75 kilogrammètres, et le travail par seconde la dixième partie, ce qui correspond à un dixième de cheval-vapeur. On voit que l'homme aurait avantage à faire un saut d'un centimètre chaque dixième de seconde, si toutefois son organisme lui permettait de réaliser facilement des mouvements à la fois de très grande fréqu«.'nce et de très faible amplitude.

T. Car les espaces parcourus par les corps qui tombent en chute libre ou sur un plan incliné sont proportionnels aux carrés â^QS temps.

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QUELQUES PRINCIPES ELEMENTAIRES DE MÉCANIQUE

La question de la sustentation en Tair ne se pose pas de la même manière, car la seule force qui ait été jusqu'ici utilisée (si on laisse de côté l'emploi des gaz plus légers que l'air) est la résistance de l'air et il faut tenir compte des lois de cette résistance en fonction de la vitesse. C'est à cause de la forme particulière de ces lois que nous avons pu trouver (p. 49) un minimum de la puissance nécessaire en fonction de la surface sustentatrice et du poids à sustenter. Mais il faut bien se rendre compte que ce minimum n'a pas une valeur absolue : il est déterminé par les dimensions de l'appareil considéré et par les conditions de son fonctionnement, et non pas seulement par le poids à sustenter; on peut concevoir, au moins théoriquement (par l'augmentation des surfaces portantes) que l'on diminue indéfiniment le travail nécessaire pour maintenir en l'air un poids donné. C'est ainsi que des gouttelettes d'eau très petites, et par suite de surface très grande par rapport i leur poids (nuages) peuvent être maintenues à une hauteur constante au prix d'un travail très faible par rapport à leur poids total. En d'autres termes, il n'existe pas de limitation théorique du travail nécessaire pour la sustentation, analogue au minimum que le principe de la conservation de l'énergie impose à l'évaluation du travail nécessaire pour élever un poids donné à une altitude donnée.

L'homothétie en mécanique.

La notion de figures semblables, dont l'étude approfondie constitue un chapitre de la géométrie élémentaire, est une des notions qui sont le plus familières à tous, même à ceux qui ne sauraient la traduire dans le langage précis des mathématiciens. Chacun, en voyant un dessin et sa photographie, ou une statue et sa réduction, dira : c'est le m^mê dessin ou la même statue, mais à une échelle diflFérente. Lorsqu'on parle ainsi, on porte son attention sur la forme indépendamment de la grandeur ; c'est cette notion de l'indépendance de la forme et de la grandeur qui est l'origine de l'idée de similitude : deux figures sont dites semblables lorsqu'elles ont même forme, leurs grandeurs

VUOMOTHÉTIE EN MÉCANIQUE

seules différant. La similitude ainsi définie est la similitude géométrique ; lorsque Ton considère un système mécanique, c'est-à dire que Ton tient compte des masses, des forces, des vitesses, la notion de similitude ou d'homothétie^ devient plus complexe ; en même temps, la perception que nous avons des phénomènes mécaniques est moins directe que notre intuition des figures purement géométriques ; aussi une étude approfondie est-elle nécessaire pour éviter les erreurs auxquelles risquerait de conduire une vue superficielle.

Ce que nous sentons confusément, c'est qu'il serait possible de construire le monde tout entier à une échelle différente sans altérer son fonctionnement ; les phénomènes mécaniques resteraient les mêmes, les temps étant réduits dans un certain rapport constant; mais le spectateur, réduit lui-môme, ne s'apercevrait pas du changement. Ce principe de relativité est parfaitement exact en théorie, mais il est sans application pratique, par suite de l'impossibilité où nous sommes d'appliquer effectivement à l'univers entier cette réduction d'échelle ; nous sommes arrêtés à la fois du côté de l'infiniment grand et du côté de l'infiniment petit : les dimensions du globe terrestre d'une part, les dimensions des molécules d'autre part sont des constantes sur lesquelles nous n'avons aucun moyen d'action ; il en résulte, par exemple, que l'accélération due à la pesanteur ne peut pas être modifiée et que, par suite, la réduction d'échelle (ou transformation homothétique) ne pourra pas être appliquée à tout phénomène dans lequel la pesanteur jouera un rôle. D'autre part, les dimensions des molécules interviennent dans les phénomènes de frottement, qu'il s'agisse de solides ou de fluides ; elles interviennent aussi, ainsi que les vitesses, dans la valeur des tensions de vapeurs, etc. ; on ne devra donc pas s'étonner s'il n'est pas possible de réaliser avec exactitude un modèle réduit d'une machine donnée, fonctionnant dans des conditions exactement homothétiques.

Ces remarques sont surtout négatives, c'est-A-dire ne

I. On dit que deux figures semblables sont homothétiques lorsqu'elles sont orientées de la même manière, c est-à-dire lorsque les lignes homologues sont parallèles.

QUELQUES PRINCIPES ÉLÉMENTAIRES DE MÉCANIQUE

donnent pas de moyen pratique d'étudier rhomothétie en mécanique ; elles font simplement comprendre pour quelles raisons cette étude exige des précisions que ne saurait donner la simple intuition. Nous n entrerons pas dans les détails, pour lesquels nous renverrons aux traités classiques ^ ; indiquons seulement que les grandeurs définies en mécanique sont mesurées au moyen d'unités, dérivées elles mêmes de trois unités fondamentales, qui sont le plus souvent ou les unités de longueur de masse et de temps (système C. G. S. ou centimètre, ^r^wwz^ masse, seconde}, ou celles de longueur, de force et de temps (par exemple mètre, kilogramme poids, seconde). Pour que deux sj'stèmes soient mécaniquement semblables, il faut et il suffît que toutes les grandeurs mécaniques mesurables (longueurs, vitesses, accélérations, forcçs vives, etc.) soient mesurées par les mêmes nombres lorsque l'on choisit pour chacun des deux systèmes des unités convenables. Il y a donc trois rapports de similitude, correspondant aux unités fondamentales, longueur, masse et temps ; les rapports de similitude des unités dérivées sont déterminés par leurs dimensions en fonctions des unités fondamentales; par exemple, si les longueurs sont multipliées par lo et les temps multipliés par 2, il est évident que les vitesses sont multipliées par 5, puisqu'une longueur dix fois plus grande est parcourue en un temps double.

La réalisation d'un modèle mécanique homothétîque à un système donné présente des difficultés parfois insurmontables, car, une fois choisis les trois rapports fondamentaux de similitude, il faut satisfaire à de multiples conditions, tous les éléments du modèle à construire étant alors déterminés (densité des matériaux, frottements divers, tension des vapeurs utilisées, etc.). De plus, en supposant même ces conditions réalisées, les deux systèmes homothétiques au point de vue de la mécanique rationnelle ne le seront généralement pas lorsque l'on tiendra compte de la résistance des matériaux, car les efforts de rupture exercés sur les organes de la machine par son fonctionnement ne varie-