CHAPITRE VI LE ROLE DE L'ANGLE D'ATTAQUE

La loi du sinus.

Nous nous sommes contentés jusqu'ici, d'une description et d'une théorie qualitatives des appareils d'aviation ; il convient maintenant de serrer la réalité de plus près et, pour cela, il est indispensable de faire intervenir quelques formules — très simples d'ailleurs — dans lesquelles figure V angle d'attaque, ou angle que font les plans sustentateurs avec les filets d'air [qui viennent les frapper ; ou, plus brièvement, avec le vent relatif.

Indiquons tout d'abord comment cet angle d'attaque intervient dans les lois de la résistance de l'air ; c'est là un point fondamental, à propos duquel des vues théoriques inexactes ont longtemps prévalu ; c'est un exemple frappant de l'importance essentielle des expériences de laboratoires pour les progrès des applications.

La loi du sixus et la loi du sinus carré, — Figurons un plan AB soumis à un vent relatif V de direction V ; la parallèle BC à la direction

LA LOI DU SINUS

V fait avec AB un angle aigu a qui est Tangla d'attaque. Si l'on construit le triangle rectangle ACB, la longueur AC est, d'après la définition même du sinus, égale au produit de AB par le sinus de Tangle d'attaque a; si le plan de section A B a une surface S, la surface qu'il présente au vent, c'est-à-dire sa surface apparente pour un observateur placé au loin, dans la direction du vent, est égale au produit Ssina. L'expérience prouve que la poussée exercée par le

Fig. 34.

vent V sur la surface AB est une force proportionnelle à cette surface AC, c'est-à-dire, la surface S de AB étant donnée, proportionnelle au sinus de V angle d'attaque; c'est la loi du sinus. Cette force est d'ailleurs perpendiculaire à AB et. peut, par suite, être décomposée en deux forces, l'une verticale et l'autre horizontale ; par analogie avec les expressions consacrées pour les dirigeables, on réserve le nom de poussée à la composante verticale et on donne le nom de traînée à la composante horizontale. La valeur de la résistance de l'air est alors :

k St»2 sin a

celle de la poussée :

k St;2 sin a cos a

LE ROLE DE V ANGLE D* ATTAQUE

et celle de la traînée :

k Sî;2 sin2 a.

On avait admis pendant longtemps, sur la foi d'un raisonnement attribué à Newton, une loi toute différente, celle du sinus carré. L'observation prouvant que les actions de Tair se réduisaient assez exactement à une force normale au plan, on avait cru pouvoir en conclure que seule, la composante de la vitesse normale au plan intervenait. Il y avait là une confusion entièrement gratuite entre la décomposition purement géométrique des vitesses et leurs effets dynamiques. En admettant ce raisonnement, la vitesse normale étant évidemment t^sina, son carré étant v^ sin^ a et par suite la résistance

% Sî;2 sin^ a

C'était la loi du sinus carré. Nous allons voir quelles difficultés résultaient de cette loi, difficultés qui disparaissent avec la loi du sinus. C'est Euler qui a le premier énoncé la loi du sinus et Borda qui en a fait les premières vérifications expérimentales, à la fin du xvili* -siècle, sous l'inspiration et le contrôle de TAcadémie des Sciences de Paris.

La différence capitale entre la loi du sinus carré et la loi du sinus est la suivante :

Avec la loi du sinus carré, l'attaque oblique de l'air par les surfaces portantes (ou ailes) n'est ])as plus avantageuse que l'attaque normale (il faut comprendre bien entendu, oblique et nor-

LA LOI DU SINUS

maie par rapport au vent relatif) ; avec la loi du sinus, au contraire, un calcul simple montre que Tattaque oblique, occasionne une dépense de travail beaucoup moindre que n'exigerait l'attaque normale; l'explication quantitative du vol des oiseaux est ainsi rendue bien plus aisée et la théorie de l'aéroplane est aussi facilitée. Précisons ce point essentiel.

Nous avons dit que la résistance de Tair était une force normale au plan, proportionnelle à la surface de ce plan, au carré de la vitesse, et au sinus de l'angle d'attaque. On a donc* :

F = ^ Si>- sin i

Si l'angle i est petit, la composante verticale de F, ou poussée, peut être considérée comme sensiblement égale à F ; comme elle doit équilibrer le poids de l'appareil, on peut écrire, en désignant ce poids par P :

P = ^ Sî>2 sin /

La composante horizontale de F, ou traînée, est égale ou produit de F' par sin i; elle est donc :

k St>2 sin^ i

I. Certains auteurs réservent le coefficient h pour la loi de la résistance orthogonale et désignent par © le coefficient qui s'introduit dans cette formule. Si la formule était valable quel que soit «, ce serait là une simple question de notation, c'est-à-dire qu'on aurait Ar=o; en réalité, il semble bien qu'il n'en soit pas ainsi; la valeur de cp peut être double de la valeur de k.

On a proposé des formules diverses destinées a représenter le phénomène pour toutes les valeurs de i; ce qui nous importe seulement, ce sont les petites valeurs de i pour lesquelles la formule du texte est certainement exacte, à condition de choisir convenablement le coefficient k.

LE ROLE DE V ANGLE D'ATTAQUE

La vitesse étant horizontale, le travail est égal au produit de cette composante horizontale par le chemin parcouru; le travail par seconde est égal au produit de la traînée par la vitesse*, c'est-à-dire à

k So* sin2 i ,v =• k St>^ sin^ i

Or, sin i est égal à , ^, ~ ; Vexpression du travail peut donc s'écrire :

* ^^ {-kh) ^ =

kSv

Or, P, fe, S, sont des constantes de l'appareil ; on arrive donc à ce résultat, en apparence paradoxal, que le travail par seconde est inversement proportionnel à la vitesse. Il ne faut pas perdre de vue que la vitesse n'est pas arbitraire ; elle est liée au poids par la relation

P z= ^ Si;- sin i

Si Ton diminue /*, la vitesse croît et le travail par unité de temps décroît. Cette diminution de travail serait indéfinie, si Ton ne tenait pas compte du travail de pénétration dans Tair des parties autres que les ailes ; celui-ci croît avec la vitesse ; il y a donc, pour un appareil donné, une vitesse optiniîifn rendant le travail minimum.

I. Il s'agit ici, bien entendu, du travail utile, qui n'est qu'une fraction du travail total dépensé par le moteur ; la fraction de ce travail employée à communiquer une certaine force vive à l'air que brasse riiclicc est négligée en tous cas ; pour que le calcul f&t absolument correct, il faudrait être certain que ce travail négligé est toujours égal à la même fraction du travail utile,

LA LOI DU SINUS

Avec la loi du sinus carré, il en serait tout autrement ; on aurait :

P = ;t Sî;2 sin2 i et le travail serait :

k St;3 sin' *

Si Ton remplace sin / par sa valeur

k St;2

l'expression du travail devient :

Py/P

elle est indépendante de v ; on ne gagne donc rien, au point de vue du travail par seconde, à Tattaque oblique ; le seul bénéfice est l'augmentation possible de la vitesse, augmentation qui serait même plus grande qu'avec la loi du sinus simple. Mais nous n4nsistons pas, puisque la loi du sinus carré est inexacte.

Application au vol des oiseaux.

Dans le cas du vol des oiseaux, il faut.supposer que Ton se place, pour comparer les deux modes d'attaque de Tair, dans des conditions équivalentes. L'oiseau peut, en effet, abaisser ses ailes plus ou moins rapidement ; un grand nombre de régimes divers sont possibles ; pour nous rendre compte de l'effet de ces variations de régime.

LE ROLE DE VANGLE D'ATTAQUE

nous allons étudier succinctement, mais avec quelque précision, un appareil orthoptère schématique formé d'un corps A et d'ailes symétriques AB, AC, pouvant prendre les positions AB', AC.

Nous désignerons par P le poids total de l'appareil, par S la surface totale des ailes, par a leur course moyenne ; au point de vue du travail, si l'aile est rectangulaire, celte course moyenne peut être regardée comme approximativement égale au quotient par

y4 de la course CC ou BB' des extrémités, c'est-à-dire sensiblement aux cinq huitièmes de cette course des extrémités ^ Désignons par n le nombre de battements

I. Soit en effet u) la vitesse angulaire, / la dimension de Taile perpendiculaire à Â C, x la distance à A d'un élément rectangulaire Idx ; la vitesse de cet élément est u) x et la résistance de Tair K (a^ x)* Idx ; le travail de cette résistance en un temps ^ /, le che* min parcouru étant aixdt est :

kltù^x^ dxdt

Si Ton fait varier x de o à ^, largeur totale de l'aile, l'intégrale est:

kliù" - dt

Si la vitesse o) est constante, l'intégrale de lùhdt est égale à la course b de l'extrémité, ce qui donne pour le travail total :

klui' — b

D'autre part, la vitesse de l'extrémité est tak, ceci peut donc

APPLICATION AU VOL DES OISEAUX

complets par exemple, (un battement complet comprend la montée et la descente), et par u le rapport de la durée de la descente de Taile à la durée de la montée (ce rapport est forcément inférieur à l'unité, comme le montrera le calcul ci-après) ; le temps de la descente de Taile est ainsi :

et le temps de la montée :

Par exemple, si « = lo et w = 1/2, le temps de la descente est 1/30 de seconde et le temps de la montée i/i^ de seconde.

Le chemin parcouru étant a, la vitesse est à la descente :

an (i + u)

s'écrire :

klh'^l

Si, pendant le même temps, la course était a au lieu de h, la

vitesse serait — - et le chemin parcouru a; le travail serait donc

Les deux expressions coïncident si Ton prend:

c'est-à-dire :

'-'yTT-

Or 37 — diffère très peu de 5/8, car V4

LE ROLE DE V ANGLE D'ATTAQUE

et à la montée :

an (i + u)

Si il est évalué en mètres, cette vitesse sera évaluée en mètres par seconde. La poussée à la descente est donc, en désignant par k le coefficient empirique delà résistance de Fair^ :

kahi- (i 4- «)- c

et, à la montée :

ka'n^ (i + u)^S

L'appareil est donc soumis, pendant un temps

à une force verticale ascendante égale à

puis, pendant un temps :

à une force verticale descendante égale à

Pour que l'accélération verticale totale soit nulle, ii

faut que l'on ait :

u r kaW (I + ti)- s pi =

= —r^ — [ka'^n^ (I + «)» S + P3

I. Nous ncpligeons la vitesse verticale propre de Tappareil p»*" rapport à la vitesse relative de laile ; cette approximation est !%■" timc. du moment que cette vitesse relative de l'aile est suffisaxH'

ment gruiidc.

APPLICATION AU VOL DES OISEAUX

à-dire :

ifin

Pzf

'' ka-

1 voit que le problème du vol est toujours théorîaent possible, quelles que soient les données?,^, S fj dit ion de prendre n asse^ grand. — Mais pratinent, on ne pourra pas augmenter ;z sans augmen- 1 force du moteur et par suite P.

travail par battement d'aile, en négligeant tou- 5 les mouvements verticaux d'ensemble est

r-n^- {i+uy^ (^,-h i) Sa = Fua {i + uy- (i + ') '

n'est pas très petit, il est de l'ordre de grandeur du uit Pa ; mais le travail par seconde s'obtient en, ipliant par n ce travail par battement d'ailes. Il y : intérêt à rendre n le plus faible possible; mais déterminé parla formule (i) au moyen des autres lées ; on obtient en remplaçant n par sa valeur, le travail par seconde, une expression de la forme

laquelle nous n'explicitons pas la fonction cp («), la valeur numérique ne serait importante que si lit ou très voisin de i ou très voisin de o. 11 est irquable que cette expression du travail ne rene plus a ; elle coïncide, au facteur près (p {u) avec que nous avons obtenue p. 49.

n voit, en résumé, que le travail dépensé ne end pas au-dessous d'une certaine limite qui

LE ROLE DE VANGLE D*ATTAQUE

est relativement élevée ; c'est par des calculs de ce genre qu'on était arrivé à des conclusions très exagérées sur la force musculaire des oiseaux et sur la difficulté du vol artificiel.

Imaginons maintenant un oiseau qui se déplace en battant des ailes; si Toiseau était immobile, ou s'il s'élevait verticalement, le déplacement des ailes, de haut en bas, pourrait être considéré comme sensiblement normal aux filets d'air déplacés par ce battement ; c'est le vol orthoptère que nous venons d'étudier. Mais^ si Toiseau a

Fig. 26.

une vitesse horizontale, cette vitesse crée un vent relatif ; tout se passe, au point de vue de la résistance de l'air, comme si Taile immobile était frappée par un courant d'air oblique^ dont la direction est la résultante du mouvement vertical de l'aile et du mouvement horizontal du vent relatif. ISi, en une seconde, l'extrémité de l'aile s'abaisse de C en A, tandis que Toiseau se déplace de B vers C, tout se passe comme si cette extrémité s'était déplacée de B vers A, suivant le chemin oblique BA; on voit qu'il en résulte à la fois une augmentation de la vitesse (qui est BA, au lieu de CA) et rintroduction d'un angle d'attaque aigu, et non plus droit. Si Ton désigne par a cet angle aigu, et par v la

APPLICATION AU VOL DES OISEAUX

vitesse de Taile par rapport à l'oiseau immobile, c'est-à-dire la distance verticale CA, dont elle s'abaisse pendant l'unité de temps \ il est clair, que la vitesse relative BA = v', est égale au quotient de v par sin a ; la résistance est donc - :

^ Si;'^ sin a = >fe S l -^^Y sina :s^kSv^ -^i—

\ sin a / sm a

On voit que, pour une valeur donnée de t?, la résistance augmente lorsque a diminue ; on pourrait donc croire qu'il y a inconvénient à diminuer l'angle d'attaque ; mais ce n'est pas ainsi que la question se pose; la résistance totale, normale à l'aile, doit équilibrer le poids de l'oiseau (et l'élever verticalement pour compenser la chute qui se produit pendant le relèvement des ailes) ; c'est donc une donnée du problème, et l'on voit qu'en diminuant a, on obtient le même résultat avec une valeur plus faible de t;, d'où résulte par un calcul que nous omettons, car son résultat est intuitif, une épargne de travail^.

Ainsi, l'oiseau peut se soutenir en l'air au moyen de mouvements beaucoup plus lents des ailes, quand il a une vitesse horizontale. Si l'on désigne

I. Pratiquement, le battement de l'aile dure moins d'une seconde; il faut donc supposer que l'on prend pour unité de temps un dixième ou un centième de seconde.

a. Avec la loi du sinus carré, on aurait eu ^Sî>'*sin*a= ^Su% c'est-à-dire un résultat indépendant de l'angle d'attaque.

3. La valeur delà résistance qui vient d'être calculée peut aussi s'écrire kSvv' et il est clair que l'augmentation de v' permet de diminuer v; le travail par unité de temps est égal au produit de >cette résistance par v; il diminue donc avec v.

^ 145 ^ PAINLEVÈ et BOREL. — lO

LE ROLE DE L'ANGLE D'ATTAQUE

par V la vitesse de Taile, et par H la vitesse horizontale, on a :

tga=-^

et si Tangle a est assez petit pour que le sinus puisse être confondu avec la tangente

= VH

sina

Ce produit VH devant être constant, il en résulte que V est inversement proportionnel à H; si la vitesse horizontale devient double ou triple, la vitesse de Taile peut devenir deux ou trois fois plus faible.

Application à raéroplane.

Pour Taéroplane proprement dit, il n'y a rien à ajouter aux raisonnements de la page 138, qui s'y appliquent intégralement ; il résulte de la loi du sinus, que le travail dépensé en vue de la sustentation, diminue quand la vitesse augmente; il n'en est malheureusement pas de même du travail dépensé pour vaincre les résistances passives ; c'est là une question importante que nous allons maintenant étudier.

L'augmentation de la vitesse des aéroplanes est peut-être la question qui a le plus préoccupé les esprits, dès les premiers essais de u^u8. Nous discuterons dans le chapitre suivant l'importance de cette vitesse pour les applica^

APPLICATION A VAÉROPLANE

tions, ainsi que les avantages et inconvénients des grandes vitesses, au point de vue de la sécurité des aviateurs ; pour Tinstant, nous ne considérons la question qu'au point de vue de la résistance de Tair, supposé calme : quelles difficultés oppose cette résistance à Taugmentation indéfinie des vitesses ?

Le bon sens indique, sans qu'il soit nécessaire d'écrire des formules, que pour augmenter la vitesse, il est nécessaire d'augmenter la puissance du moteur; ceci ne peut être réalisé, dans un état donné de l'industrie des moteurs, qu'en augmentant le poids du moteur, çt par suite, le poids total de l'appareil et son encombrement. Cette augmentation des surfaces portantes entraîne une augmentation de la résistance de l'air à leur avancement ; mais, d'autre part, Taugmentation de la vitesse diminue, comme nous l'avons vu, cette résistance à l'avancement pour un appareil donné, par suite de la diminution de l'angle d'attaque ; nous pouvons, à une première approximation, admettre qu'il y a compensation entre ces deux effets opposés; nous nous épargnons ainsi d'assez longs calculs sans grand intérêt, et l'erreur n'est pas très grande, car la résistance à l'avancement des surfaces portantes n'est, pour les grandes vitesses qui sont seules intéressantes, qu'une fraction assez faible de la résistance totale. On ne peut, en effet, supposer l'aéroplane réduit à ses plans sustentateurs ; il y a en outre, comme nous Tavons vu, une carcasse, des haubans et des entretoises, le siège du pilote et le pilote lui-*

LE ROLE DE V ANGLE D'ATTAQUE

même, des leviers, le moteur, des organes de transmission, des réservoirs à huile et à essence, etc.

Tous ces organes ne jouent pas de rôle dans la sustentation, et introduisent un coefficient très important dans la résistance à l'avancement.

Les expériences précises qui permettraient de chiffrer exactement la valeur absolue de cette résistance, font malheureusement défaut; elles sont d'ailleurs assez délicates à réaliser*; mais on peut cependant se faire une idée de l'ordre de grandeur du phénomène par ce que Ton sait de la résistance opposée par Tair, au déplacement d'une locomotive ou d'une automobile.

Cette résistance est très considérable et, pour les plus grandes vitesses actuellement atteintes (120 kilomètres à l'heure environ), elle absorbe la presque totalité de la puissance dépensée. Si donc, on fait abstraction des conditions de sécu-

1. La méthode la plus simple semble consister à étudier Taéroplanc lui-même en plein vol; mais la difficulté est alors la suivante : indépendamment de problèmes accessoires mais non cependant négligeables, on a der.x inconnues principales: le travail de riiélicc et la portion de ce travail employée à vaincre les résistances passives et Ton n'obtient par l'expérience qu'une relation entre ces deux inconnuc^. L'étndc du travail de l'hélice au point fixe ne donne en effet que des ren>«eigr.LMnents grossièrement inexacts sur son travail en niarclu.'. (hi a bien proposé d'admettre que le rapport de ces deux travaux e-^i égal au recul relatif, mais ce résultat n'est nullement déuKMitré. 11 est d<Hic nécessaire de recourir à un appareil mobile (auloniobile ou tr.iin sur rails) ayant une vitesse comparable à celle de l'aéroplane, pwur déterminer l'une des inconnues: on peut, ou y adai>ter l'hélice et mesurer ainsi son travail en marche, ou lui faire transporter la carca-^-^e de l'aéroplane et mesurer ainsi le travail supplémentaire nécessité par la résistance de l'air à son déplacement.