LÈS LOIS DÉ LA RESISTANCE Î)E VAIH

la résultante STdes résistances occupe une position déterminée et coupe la courbe mCn en un point C déterminé. Considérons deux inclinaisons infiniment voisines et l'intersection S des deux résultantes correspondantes K et K [fig. 37] : le point 8 sera dit le métacentre correspondant à rinclinaison considérée. Le lieu des points 8 est l'enveloppe des droites CR. Cette courbe (invariablement liée à S) sera dite courbe métacentrique.

Fig. 37-

Fig. 38.

Soit c [fig. 38], le point où CR rencontre la droite Ip : les variations de c avec a sont à peu près les mêmes ^ que si S était remplacé par le plan fictif H de section Ip. Soit c^^ le

mn

point de Ip distant de / de (/ projection de m sur //),

c^ un point de //>, tel que Icq soi ^, égal à environ — mn.

Quand a varie de o à

TT

C varie de Co à ton et cR enve-

loppe une courbe T ayant la forme ci-dessus. Le point C, où F coupe la courbe mCn est le point où C est le plus voisin de m; quand a décroît au-dessous de a^ (valeur de a qui correspond à C,) jusqu'à zéro, C rétrograde de C^ au voisinage de n.

En définitive, dans Tétude des aéroplanes, comme a reste petit, nous pouvons supposer partout les surfaces portantes

I. Du moins, nous l'admettons dans les limites où a varie en aviation. D'après certaines expériences, c avancerait quand a croît (p. 230), mais raddition d'une queue effacée renverse le phénomène (voir p. 262).

THÉORIE DE L'AÉROPLANE

S remplacées par le plan fictif correspondant, les constantes K et/" ayant des valeurs convenables.

RÉSISTANCE DE l'AIR A LA TRANSLATION OBLIQUE D'UKB

SURFACE CYLINDRIQUE. — SupposoDs que la vlt 688 6 relative de Tair par rapport à S ne soit plus parallèle au plan de symétrie de S. Les réactions de l'air sur la surface à un instant donné peuvent être remplacées par une force CR et un couple dont l'axe OH est parallèle à R. La droite CD qui porte CR est déterminée sans ambiguité. Pour discuter avec rigueur la stabilité des aéroplanes, il serait indispensable de connaître CR et CH pour chaque orientation et

valeur de V. Or les expériences sur ce difficile sujet font absolument défaut.

Toutefois, si l'angle de V et du plan de symétrie est faible, et si la courbure de S est peu accentuée, on peut qualitativement assimiler la surface au plan fictif n et admettre qu'il existe encore une résultante unique dont le

point d'application C se trouve sur la demi-droite Oi*, G désignant le centre de figure du rectangle S et Ou la projection sur S de la vitesse V construite avec O comme origine.

En définitive, dans les applications qui vont suivre, nous pourrons remplacer partout les surfaces portantes par les plans fictifs n qui leur sont invariablement liés.

Propulseurs hélicoïdaux.

Schéma d'un propulseur. — Considérons une tige rigide AB dont le milieu C décrit une droite fixe 0\ avec

une vitesse V, tandis qu'elle tourne autour de la demi-droite Oij avec une vitesse angulaire positive «d. Les deux extrémités A et B portent deux petites surfaces planes II et H, syméjj ^A /• ^ triques par rapport à O^, Les réactions de l'air (ou de l'eau) immobile 1 dans lequel est immergé le système

<> sont symétriques par rapport à 0\,

^ 'n Y)- Décomposons la réaction totale qui

scxorce sur FI en deux composantes parallèle et normale k 0\ e\. effectuons la même décompo*

PROPULSEURS Hélicoïdaux

sition pour Di : les deux composantes parallèles à 0^ sont égales et de même sens et admettent une résultante Z dirigée selon 0{; les deux composantes normales à 0{ forment un couple d'axe parallèle à O;^, soit v cet axe compté positivement selon 0\.

Appelons An la demi-normale à qui fait un angle aigu avec O^y et admettons, pour fixer les idées, qu'elle soit orientée de droite à gauche par rapport à 0:^. Soit Aw la projection de An sur le plan perpendiculaire en A à CA,

o l'angle de O;^ et de Am, (O ^ o ^ — J et ^ l'angle

m An.

La projection Wn sur An de la vitesse W de l'élément n est [r désignant la distance CA] :

(i) Wn = ( — ro) sin o + V cos o) cos ^,

La réaction de l'air sur n a le sens An ou le sens contraire selon que la quantité (i) est négative ou positive ^ Soit R l'action de l'air sur ii et Z la composante de R suivant l'axe de rotation. Pour que la somme géométrique des réactions de l'air sur le système ACB ait le sens de V, c'est-à-dire soit propulsive, il faut et il suffit que Z soit positif, donc que roj soit plus grand que V cotg «p ; la valeur de Z est alors 2Rcos ^ cos <p. Quant au couple v, il s'oppose à la rotation positive o) et son moment en valeur

absolue est 2Rr cos <{/ sin ^ . Le rapport -=— = rtg ©.

Imaginons que le système ACB soit le propulseur d'un solide 2 auquel il est lié invariablement et qui porte un moteur, ce moteur exerçant sur l'arbre propulseur ABC un couple dont l'axe a le sens 0;^; et une valeur absolue donnée Vj : le propulseur commence à tourner autour de 0;{ dans le sens positif et propulse 2 dans le sens 0;^;. Une fois le régime établi, c'est-à-dire V et tu constants, le théorème

I. Si uj est négatif, Z sera négatif pour toute valeur de oj. Si An est orientée de gauche à droite, il faut renverser les conclusions quant au signe de tu: pour (ol>o, Z est négatif quel que soit (jj ; pour a» •< o, il est positif si r | tu | > N cotg q.

THÉORIE DE V AÉROPLANE

des aires et le théorème du mouvement du centre de gr»i-

vite appliqués au système ABC, et à Taxe Q\ (supposé

horizontal) montrent : 1° que v^ zz: v = rZtgo ; 2^ que la

force de propulsion [somme géométrique des réactions

exercées par le propulseur sur 2] est égale à Z, c'est-à-

coto" o dire à v^ ^-^ . Le travail moteur, pendant Tunité de

temps, est : v^^io =: wrZtg o, quantité toujours plus grande que VZ, puisque V reste nécessairement inférieur à ru)tg o.

En valeur absolue, la vitesse W de II est V »'*t«>* -|- V-, Wn est donnée par l'expression (i). La loi du sinus exprime que R = XAWWn (A aire de n), d où :

(2) Vj •=. 2kKr cos2 1]; sin o [wr sin o — V cos ol ^ v^ -+- r-w-.

En général, la force de propulsion doit surmonter une résistance que rencontres et qui croit propo|tionnèllement à V- d'où la condition

Le couple Vj étant donné, Téquation (3) fait connaître V-, Téquation (2) donne la valeur de w, plus grande

V cotg o que ^— ^ d'après la forme même du second membre

de (2).

L'angle 4» n'intervient que dans l'équation (2). La valeur de w pour v, donné, et par suite le travail moteur dépensé VjUi, sont d'autant plus grands que cos ^ est plus petit. Il faut donc choisir <|/ nul, c'est-à-dire faire passer le plan II par CA.

Propulseurs hélicoïdaux. — Considérons maintenant une surfac(» d«; vis à filots carrés d'axe 0\^ que nous supposons dcxtrorsum, qui tourne autour de O^avec la vitesse angulaire (positive) (o, on même temps qu'elle avance dans \(t sens 0\ iiv{;c une vitesse V. La surface est limitée par deux génératrices rectiligncs, l'axe O^ et un cylindre de

PROPULSEURS UÊLÎCOWÀVX

révolution d'axe O^. Soit ,; = M l'équation de la surface en coordonnées semi-polaires (r, 6, ;{), dans sa position primitive. Le long d'une génératrice rectiligne D, la demi-normale à la surface qui fait un angle aigu cp avec C)^ est orientée de droite à gaucho autour do 0{, perpendiculaire

a 1), et on a : tg o = — .

Si on décompose la surface en éléments symétriques, doux il doux par rapport à O^, et si on applique il ces éléments les résultats précédents, on voit : i" que les réactions de l'air sur l'hélice équivalent à une force Z dirigée selon O^ et à un couple v dont l'axe est dirigé selon O^; 2*^ que Z

a lo sens 0\ si /iw > V : 3" que — ^ = /f. l.o travail vto

du couple moteur appli([ué au propulseur est donc égal à Zh'jj, donc toujours supérieur «l VZ.

Recul de Vhèlice. — Si la surface se vissait dans un écroutixe, elle avancerait de 2tJi (pas do l'hélice) par tour

complot; en réalité, -^^-^ étant la durée d'un tour complot,

n mm

elle avance seulement de \' •. La difioronco toujours

positive 27: \h 1 ou 27r — - s'appelle recul de l'hélice ; p est la vitossi; d(î recul. Lo travail moteur pendant l'unité de temps est Z//(o =1: Z [V + p|. On donner souvent

au rapport -T — < i le nom de n;ndemont de l'hélico *. L'équation (3) devient :

Ces conclusions supposent seulement que la réaction de

I. Pour une hélice donnée et un couple moteur donné v. le itMidc-

mcnt varie avec V. Si on admet la formule (^), p. a.H, le rendement

est égal à

TIlÉOniE DE L'AÉROPLANE

l'air sur un élément de surface est normale à cet élément, ce qui est assez voisin de la réalité. Il convient de ne pas oublier que dans toute cette discussion, Pair est supposé immobile.

Quand on admet (hypothèse très éloignée de la réalité) que chaque élément de surface subit la piéme pression de Tair que s'il était seul, on peut appliquer à chaque élément la formule (2) où on doit faire : ces ^^ =: i

// et te o = — .

Dans la réalité, on évide les parties de rhélice voisines de Taxe pour ne garder qu'une couronne hélicoïdale comprise entre les cylindres r = ro et r = r^. Dans le cas

où — :p-7 est petit devant l'unité, on peut remplacer

approximativement /V^ + r^u>- par rw, et le couple des résistances de l'air sur l'hélice a comme moment :

(5) V = Xi Ao) (/fo) —V)

Xi étant une constante attachée à l'hélice. Pour h très

petit et — i- voisin de i, Xj est sensiblement égal à ArpA, A

désignant l'aire de la surface hélicoïdale.

Les formules (4) et (5) font connaître to et V quand v est donné.

Application a l'hélicoptère. — Gyroplans. — Supposons que l'axe 0{ soit vertical et que le corps S soit immobile dans Tair : V est nul, et la force de propulsion de rhélice est égale au poids de tout l'appareil. Pour k

petit et — - voisin de i, on aura approximativement : (6) ^—7" =^^oA/ia)8 .

le travail moteur dépensé sur l'arbre de rhélice par unité

de temps est PJno :rz — . •

V/Xr^A

PROPULSEURS Hélicoïdaux

Pour to donné, on voit que ce travail peut être rendu aussi petit qu'on veut en prenant h petit et TqA grand.

De là l'idée d'accroître considérablement les surfaces des hélices destinées aux hélicoptères, et de transformer en quelque sorte toute la surface de l'hélicoptère en hélice [gyroplans].

Mais à ces conclusions toutes théoriques s'opposent la difficulté d'accroître indéfiniment les dimensions d'une hélice de poids donné, et tous les éléments qu'a négligés le calcul [frottements, etc.].

HÉLICE DE PAS VARIABLE. — Dans le propulseur que nous venons d'étudier, l'air ne frappe pas la surface tangentiellement; il se produit donc un choc, d'où une perte de force vive.

On améliorera beaucoup le fonctionnement de l'hélice en supprimant ou atténuant le choc*.

Si les vitesses de régime doivent être V et w, on recevra l'air sur une surface de vis comprise entre deux généra-

trices très voisines et dont le pas sera , cette surface

sera prolongée par une autre surface analogue de pas plus

grand, prolongée elle-même par une troisième de pas plus

grand.

On peut perfectionner les théories précédentes en tenant compte des frottements de l'air sur ThéHce (Drzewiecki, Ferber, Râteau]. Les calculs ainsi conduits ont l'avantage d'introduire un nouveau coefficient arbitraire, qui permet d'établir une certaine corrélation entre les formules obtenues et la réalité. Mais il faut se garder de donner à ces résultats plus de portée qu'à des formules empiriques fort inexactes. Les frottements introduits softt en effet plus faibles que l'erreur commise en appliquant la loi du sinus à chaque élément considéré comme s'il était seul.

En réalité, la détermination précise de la forme et des dimensions des hélices propulsives ne relève actuellement que de l'expérience (voir ch. n).

I. Les raisons sont les mêmes que pour la substitution des ailes courbes au plan incliné [p. 239].

THÉORIE DE L'AÉROPLANE

Application des lois de la résistance de l!air

à l'aéroplane.

Problème dk la chute planée. — Un corps plan, abandonné en air calme dans des conditions initiales convenables, peut-il descendre d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme ? S'il en est ainsi, les résistances de l'air doivent admettre une résultante égale et directement opposée au ])oids GQ du corps, G désignant le centre de gravité. Discutons cette «condition dans le cas où le corps est un

ri'ctangle II dont le centre de :^ravité est sur la parallèle DE aux petits côtés menée par le centre de figure D. Nous suppo- : sons le corps animé d'une trans-

! lation initiale nulle*ou perpendi-

; culaire au g^and côté. Le plan

; vertical fixe xOv qui contient la

j position primitive de DE est évi-

vq demment un plan de symétrit^ du

phénomène : le point G et la l'ig t^- droite DK vont se mouvoir dans

et' plan. L'hypothèse que nous étudierons est ([ue la droite DK se meut parallèlement i elle-même avec unt; vitesse constante V.

Admettons d'abord que les résistances de l'air soient rigoureusement normales au plan II : pour que ces résistances admiittent comme résultante — GQ, il faut : i" que le centre de pression C coïncide avec G ; 2" que DE soit horizontal; 3'' que l'angle a de V et du plan satisfasse à la condition :

(i) XV^ sina = P ,

P désignant le poids du corj)s (;t À une certaine constante attaciiée au plan*. La compnsantf: vf^icale Vsin x de la

à y -Us

vitesse est égale à V/ —r— sma.

I. Nous supposons a^^ ^<>*> : X--~o.::^ a dans Tiiir aux conditions normale:) [A dc>i^iijiit l'aire de ]]], si 11 est uu rectangle allongé.