I. LL est un certain coefficient attaché au solide

& 241 € PAINLEVB et BORBL. — l6

THÉORIE DE VAÉROPLANE

d'où sensiblement

(3) tg Y = tg a + 4^ cotg a .

Pour que la chute planée soit possible, il faut donc et il suffit que la perpendiculaire abaissée de G sur le plan II tombe en un point C situé en O et C^. Cette condition remplie, la position de C définit Tangle d'attaque a ; l'angle de chute Y est alors donné par (3) et V par la première condition (2).

Discussion. — Le plan 11 et le solide 2 sont supposés donnés, mais on peut attacher S à II dans une position relative arbitraire, d<î façon que la projection de G sur II tombe en un point donné C de DK. Comment choisir ce point C pour qur^ la pente do chute soit minima?

La position de (^ détermine a. Le problème revient donc à choisir a, de façon quci tg y soit minimum. Il faut pour cela, et il suffit, d'après (3) que :

A tg a = [X cotg a , ou tga = W ■ ! , et la valeur minima de tgy est 2 V/ — .

îJt.

Dans les applications, -'.-est petit, les valeurs précédentes de a et y sont f*llcs-mèmcs petites : la résistance du plan sustentateur à Tavancement ou XV^ sin'a est alors sensiblement égale à XV-a- ou [xV'^, c'est-à-dire égale à la résistance propre de l'esquif.

Comment choisir G pour que la vitesse verticale soit minima ? Il faut que V sin y soit minimum. Pour a et f petits, on a sensiblement :

d'où

ï' ^' ^--^'ï--br[v^+ife]'

APPLtCATïON DES LOIS DE LA RÉSISTANCE DE VAIR

la dérivée par rapport à a de cette dernière expression s'annule pour a-^ =r 3 -Ç- , ou encore a =. 4^ . La valeur correspondante de Vf est alors minima et égale à — V^P (-^ ) . La résistance du plan sustentateur à

Tavancement est alors triple de la résistance propre de Tesquif.

Ces deux théorèmes sont dus à Penaud (1873).

Stabilité contre le tangage (ou longitudinale). — Le régime de la chute planée étant établi, imaginons qu'on change brusquement l'inclinaison de CE d'un petit angle, de façon que a soit un peu augmenté. Le centre de pressions recule en C sur DE et dans la nouvelle position CE' de CE, la résultante des réactions de l'air sur II est C'R' au lieu de CR^. Le théorème des aires appliqué au mouvement du système autour de son centre de gravité (j montre aussitôt [fig. 34] que CE' revient vers CE. Un raisonnement analogue s'apphque si a diminue. Remarquons que cette conclusion est vraie,

quelle que soit la position de G sur la perpendiculaire en C à DE, que G soit très en dessus ou très en dessous de C. Le couple de rappel ne dépend en effet que de la distance ce [et de R'].

Or, c'est là une conclusion contraire à l'opinion universelle des aviateurs, d'après laquelle la stabilité contre le tangage n'existe que si le centre de gravité est au-dessous ^

I. Certains aviateurs pensent expliquer le fait ainsi : le système est comparable à un pendule accroché par un clou qui serait le centre de pressions : or il est bien connu qu*un tel pendule n*est stable que si son centre de gravité est au-dessous du clou. — Ce raisonnement est sûrement inexact, puisqu'il est en contradiction complète avec le résultat précédent. £n réalité, il n"y a aucune

Tig. 42.

THÉORIE DE VAÉROPLANE

dé C. Mais dans la théorie précédente, nous avons négligé la composante de R parallèle au plan U [p. 228]. Si

nous en tenons compte, notre conclusion va être conforme à l'expérience.

Pendant la chute planée, R passe par G. Si on augmente un peu a, dans la nouvelle position CE\R (au lieu de CRJ devient UBJ [fig. 44], qui

coupe CR^ en un point Z (métacentre) situé au-dessus de II.

La force R' tend à diminuer l'inclinaison de CE ou à Taccroitre suivant que G est aur dessous ou au-dessus de 7.

D'où la conclusion : pour que le planeur soit stable au tangage, il faut que le centre de gravité G soit au-dessous du métacentre *.

Pour les très petites valeurs de a, la courbe métacentrique [p. 232] est une courbe tangente à DE et qui s'en écarte fort peu : la règle coïncide alors sensiblement avec la règle pratique qui veut que G soit au-dessous de C.

Conditions générales du planement. — Corrigeons les équations (i) on tenant compte de la composante de R parallèle au plan II, mais en nous bornant à l'étude des petites valeurs de a et y. Si/XV^ est la valeur absolue de cette composante, il nous faut introduire les termes — /"XV^sina,

identité entre les deux phénomènes qu'on assimile ainsi arbitrairement, et ce sont des raisons toutes différentes, cosuae il ressort de ce qui suit, qui justifient la règle empirique.

I. Ce théorème est analogue au théorème classique sur l'équilibre du navire. Si le point C avance quand a croît (appareils à voilure incurvée et sans queue), le point C doit être au-dessus du métacentre pour que l'appareil soit stable. Quand cette condition n'est pai rem*

dlie, la perturbation tend à s'aggraver d'eUe-mèoM.

f'ig- 43-