APPLICATION DES LOIS DE LA RÉSISTANCE DE VAIR

^fW^ cos a dans les seconds membres de (i) ; la première équation (i) devient pour a et y petits :

mais, f étant très petit devant Tunité, on peut le négliger, et les équations qui se substituent aux équations (2) deviennent en définitive :

(4) PzziXV^a , PY = XV-a2+(jx + X/)V2 ,

équations tout à fait analogues aux équations (2) pour a et Y petits, à cela près que la constante }x est remplacée par la constante jjl -(- ). f .

D'autre part, CR doit passer par G; or pour chaque valeur de a, la distance DC est bien déterminée, soit DC m o (a). Il faut que la droite qui joint C à G soit CR, c'està-dire que tg ECG = - d'où une condition qui définit a

(sous la réserve que G soit dans la région du plan CEG balayée par la tangente à la courbe métacentrique).

Supposons maintenant que les deux petits côtés du rectangle n soit légèrement incurvés : autrement dit, ce sont deux courbes planes parallèles, normales au grand côté de n, et le plan II est remplacé par un cylindre de génératrices parallèles au grand côté de 1:. Nous savons [p. 233] qu'on peut, dans tous les calculs, substituer à cette surface un plan fictif qui lui est invariablement lié : si nous appelons a l'angle de ce plan fictif et de V, les équations (14) subsistent. Pour simplifier la notation, je remplacerai dans ce qui suit la constante ([i + f\) par [i, et les conditions du planement seront :

(5) P^XV^a PY = XV2a2 4-fJLV2 .

La position de G dans le planeur déterminera a.

En définitive S pour que le système constitue un planeur

I. Des conclusions tout à fait analogues s'appliquent à un planeur de forme entièrement quelconque symétrique par rapport au plan xOy.

THÉORIE DE L AÉROPLANE

correspondant à une valeur donnée de a, il faut qiie son* centre de gravité soit sur la tangente à la courbe métàcentrique au métacentre o qui correspond à cette valeur a. Pour que le planeur soit stable contre le tangage, il faut que G soit au-dessous de o. La pente y et la vitesse V de la chute planée seront alors données parles équations (5). Les conclusions de la page 242 quant à la pente ininima et la vitesse verticale miniraa subsistent sans modifications.

Mouvements peu différents d'une descente correcte. — Les conditions initiales du planeur étant encore symétriques par rapport au plan vertical (plan du tableau), mais d'ailleurs quelconques, G décrira dans ce plan Une trajectoire curviligne en général et DE ne gardera pas une direction constante dans ce plan.

Appelons l'angle de ED avec Thorizontale D;ip^, V la

vitesse de G, a Tangle EDV, et 1 l'angle x^ DV, Tous ces angles sont aigus et positifs dans le cas de là figure 44, croît quand Tappareil pique du nez vers le sol ; y est égal àa + 6.

Les résistances de Tair sur tout Tappareil admettent une résultante :

soient F et N ses projections sur la demi-droite V et la perpendiculaire à V menée vers le haut, et soit v son moment par rapport à G compté positivement dans le sens des croissants. Quand 0' est nul, on a (pour a petit)

F=i— V-IXa^ + ji] , N = XV-a ,

v = X(tV2 (a — a^) ,

aj désignant la valeur de a (jui correspond au plancmen correct, et t \\yh\ constante *. Si O'y^ o, le raisonnement de la paî^c; 19 montre qu(î v s'accroît d'untt (juantité — 2/1VO', // désii;iKint une certaine constante qui dépend de la position

l'jg- 44.

I. Celle conslante v^sl pu:>ilive si l'appareil est sUblo (p. 244).

APPLICATlOy DES LOIS DE LA HE SI ^TA y CE DE L'AIR

de G par rapport au plan i;:5ieDta:cLr II. L>^:^-:^'i T-:îrr. pour 0'>o, les réactions normale? de l'aîr i^m î^ï -.-Irnieiitde plan II sont accrues ou dinnÎDUces «uÎT^r.! c-e -i^s rît:ments sont en avant ou en arricre Ju plan p^rT>rr-f^:-l.iJrt: à DE mené par G; ia quantîtc }.V-2 tîT en dT^n-t.ve î: .T-e d'une quantité /.^ V6". ou lecoeSifent }. est petit et .-e nous négligeons.

Soient maintenant M la n^a* se totale dj plijieir. î ->.moment d'inertie autour de Gr, perper^i;t-lî:re î- p-ir. du tableau. Les équations într;nîcque= du n:>-ve:neLt i- G sont, en se limitant aux mouveirent* i^-riLi.ît.t lei:,-tl±

' mm

a et Y restent petits :

V M ^ = — Yi > Ï-- - -Jt - P-

Le théorème des aires appliqué au mouYesieit ^-t . «r ie G donne :

';) 10" = tV^ a — a.- — 2// VV . avei - = a — -, .

Etude précise de la *ii.\hii,in. L-.,:»'s:tv:>::rj.L£. —

Soient V, et -^^ les valeurs de V et ' '-'lî o:rre->.*r;ier.t ** planeitient correct. Consi Jérofis de^ <: >=.d.t:-.r,-i .r..t>.>-. tr-ri voisines de celles de ce planeci'er.t : poior.-* V rr '/. — ;*,

J. Xj^-pC. ^ ^ j -|-T., J Jj ., j>'^,A* fT -...--. -*. * ^ *— J * ■ ,...

pendant la période où î, t, et -: sont petit*, û:. -:=t . >' :^.: i un système d'équations linéaires ethor2o;^'er.e:i -1 -. .-rr. !-;.*, constants. Si on cherche les ioîutLOiiâ de la r.r.r.; . u - Af''^ T, = B^*"', T = C^'', les valeurs de r iont dor.r-ées :,>r *r.e certaine équation algé'orique du 4* de;;rê. ?'>::r -. .e le z/.^nement correct soit stable, il faut (\\it lei rac-Tie , ^ le -ette équation aient leur partie réelle négative o ^ .'". ^1>. et '. .e le-, racines purement imaginaires îoîe.'.t -Irr.p; ; , Or. e=,t -....-.: ramené à des conditions purement al^-^Ciri .^e^. , Vo.it :: ,cutées, d'ailleurs incomplëtement. Bryan, Fr;r*:,er et r.orei ^ ■ .

I. Les mouvements qui préseatertt de* tenu c^:.*\:,'.r..\ .t- -.i: rapport au planemeat correct ont été ^:.i.î.isrii pir 2î:.ll.^i a. {Rez'ue de mécanique, 1909.}

THÉORIE DE V AÉROPLANE

Quand l'équation caractéristique a des racines réelles et négatives, les oscillations du planeur sont apériodiques amorties; quand les racines sont complexes avec partie réelle négative, elles sont périodiques amorties; dans les autres cas, les oscillations ne sont pas amorties.

Équilibre de l'aéroplane.

Schéma de l'aéroplane ou planeur propulsé. — Considérons un planeur constitué schématiquementparunplan rectangulaire II et une sphère S invariablement liés [p. 241] l'appareil est propulsé par une hélice d'arrière dont Taxe invariablement lié au solide (II, ^) passe par le centre de ^rai;//^ G de tout le système, et est perpendiculaire au grand côté ah du rectangle IJ . Le point G est sensiblement confondu avec le centre de ^. Le plan xOy perpendiculaire à ah mené par G est un plan de symétrie de l'appareil, l'hélice exceptée. Quand Taxe H G de l'hélice est horizontal, le plan II est ^,^ incliné vers le haut de l'arrière à

p\^^ l'avant ; l'angle de n et de HG est

^ / >! /^>, ft un angle invariable que je repré-

\Sy H " sente par /.

Supposons le système animé dans ^^' "^5- l'air calme d'une translation dont la

vitesse est perpendiculaire à ah.

L'orientation du corps autour de G étant invariable, les réactions de l'air sur le système doivent admettre une résultante passant par G. Or, ces réactions sont :

i^ Les réactions sur le plan 11 dont la résultante est une certaine force R ; 2^ les réactions sur S dont la résultante passe par G; 3*^ les réactions sur l'hélice. Ces dernières écjuivalent^ à une force de propulsion* dirigée selon Taxe GII de Thélice et à un couple Y dont l'axe est également dirigé selon GII, si V est parallèle à GH ou fait un petit angle avec lui.

D'après cela, l'orientation du système ne pourrait rester

I. Nous supposons qucriiclicc travaille dans un air qui est calme après le passage de II et de i.

ÉQUILIBRE DE V AÉROPLANE

invariable, car le moment de îl par rapport à G normal à GH ne peut détruire T. Mais si nous remplaçons Thélice unique par deux hélices rigoureusement symétriques par rapport au plan xOy et tournant par suite à même vitesse en sens inverse, les deux forces de propulsion ^^ et *2 s'ajoutent, les deux couples T^ et Tg se détruisent. Les axes des hélices sont parallèles à GH et situés dans le plan horizontal de G. Leurs réactions sur Tappareil équivalent à une force unique dirigée selon HG. Dans ce cas, R doit passer par G pour que le système conserve la même orientation. C'est cet appareil que nous supposerons réalisé dans ce qui suit^.

Gouverne d*un aéroplane. — Nous admettons que le pilote est capable de modifier à son gré (au moins dans de certaines limites) le moment par rapport à G des réactions de l'air, cela sans modifier sensiblement leur somme géométrique. C'est ce qu'on peut réaliser, par exemple, à l'aide de gouvernails et d'ailerons. Pour les décrire, supposons l'appareil placé dans une position où l'axe GH est horizontal ainsi que le grand côté abÙM plan sustentateur : imaginons qu'on adjoigne à l'arrière (ou à l'avant) de l'appareil : i^ un petit plan mobile autour d'un axe vertical du plan de symétrie (gouvernail vertical) ; 2^ un petit plan mobile autour d'une parallèle àaè [gouvernail horizontal).

Le premier plan est symétrique par rapport au plan horizontal de G; le second est symétrique par rapport au plan de symétrie xOy. Enfin complétons l'appareil par deux petits plans horizontaux [ailerons) symétriques par rapport au plan xOy et mobiles en sens inverse autour de G;^j. On voit immédiatement que le maniement du premier gouvernail ajoute au moment GR (par rapport à G) des

I. Supposons que le système à hélice unique soit animé d'une translation horizontale uniforme et que R passe' par G. Pour détruire le couple r, il suffit d'ajouter un poids supplémentaire m situé sur la perpendiculaire Gf, en G au plan xOy à une distance et d'un côté convenables : en effet, ce poids, étant lié invariablement au système animé d'un mouvement rectiligne uniforme, exerce sur lui une réaction égale à son poids, réaction dont le moment est égal en grandeur et sens à F pour une position convenable de w.

THÉORIE DE V AEROPLANE

réactions de l'air un vecteur de direction verticale, sans modifier très sensiblement ^ leur somme géométrique [la surface du gouvernail étant supposée petite] ; en un mot, le maniement du gouvernail vertical équivaut à faire agir sur l'appareil un couple horizontal, dont le sens dépend du sens dans lequel on tourne le gouvernail. Le maniement du gouvernail horizontal introduit de même un couple situé dans le plan xOy, et le maniement des ailerons un couple situé dans le plan yfi^i perpendiculaire en G à GH.

Au lieu d'ailerons, si on emploie le gauchissement des ailes, ce gauchissement introduit un couple dont le plan n'est pas en général le plan yfi^^ : si on veut exercer un couple orienté dans ce dernier plan, il faudra corriger l'efifet du gauchissement à l'aide des deux autres gouvernes.

Enfin, il est loisible de remplacer le gouvernail horizontal et les ailerons parla manœuvre d'un poids qu'on déplace suivant GH ou suivant G\^ ou suivant une direction intermédiaire (voir la note de la page 219I.

Quel que soit le procédé de manœuvre adopté, le pilote est ainsi capable d'exercer sur l'appareil un couple arbitraire. l)*où la possibilité d'imposer au mouvement trois conditions ad libitum, par exemple de maintenir l'appareil dans une orientation arbitraire (du moins entre certaines limites).

Marche normale d'un aéroplane. — La marche normale qu'on cherche à assurer aux aéroplanes actuels est une marche dans laquelle l'appareil est animé d'une translatiuii liorizontale uniforme, parallèle à son axe de propulsion (iM, s«»n plan de symétrie; étant vertical. Dans une lt-ll«' position, l'angle d'atta([ue a se confond avec Fangle donné de G H et du plan sustentateur fictif (que nousappell«'r<»ns plan Je la voilure).

Dans cette position, la résultante CR des réactions Je l'air sur la voilun; doit passer par G : autrement dit, il faut qu<; G soit sur la direction CR qui correspond à l'angle

I. On rendi.iil cette modificatiuii tout à fait négligeable en doubla ni ch.iqiit.- gtJiu'L'Miail vertical et huiizuntal par un gouvernail synKtri».iuo par rapport au plaii/iG,;, iiurmal en G à GH.

ÉQUILIBRE ÙE L'AÉROPLANE

d'attaque i de la voilure. Le raisonnement de la page 244 montre que, pour la stabilité, G doit être àu-dessoûs du métacentre ô correspondant à C, c'est-à-dire en fait au-dessous du plan de voilure.

D'autre part, le mouvement de G étant rectiligne et uniforme, on a:

* = P (li^ -h u\ V2

P désignant toujours le poids total de l'appareil et <î> la force de propulsion totale des deux hélices. Ces équai:i6ns sont les mêmes que si la voilure était un plan parfaitement lisse, l'esquif rencontrant la résistance à l'avancement (jlV- ; la force XV-î- =: Fi serait alors la résistance propre de la voilure.

Les équations (i) entraînent :

(.) .i. = p[,+ ji.] .

D'autre part, le couple v exercé par le moteur sur les arbres des deux hélices est donné [p. 208], donc 4», [p. 236], et si co est la vitesse de rotation des hélices, to vérifie une certaine relation^:

qui dépend des propulseurs adoptés. La valeur de vto définie par (3) est toujours supérieure à 4>V.

D'après cela, supposons donnés le poids P de tout l'appareil, le couple moteur v et la vitesse maxima w^ de fonctionnement du moteur, enfin les constantes X et jjl; <ï> est alors donné. Pour que l'appareil puisse voler, dans les conditions dites normales, il faut :

i*^ que réquation (2) en i soit satisfaite; 2*^ que l'équa-

I. Par exemple, la relation : v= œ (hui — V) Ao), si chaque propulseur est une hélice de pas a7:h, g désignant une constante; 4* est

égal à Y'

THÉORIE DE L'AÉROPLANE

P tion ^3) en oj, où on remplace V par j== ait une racine plus

petite que w^.

La force de propulsion 4> est minima d'après (2) quand

i m -^T 1 c'est-à-dire quand la résistance propre Pt de la voilure est égale à celle de l'esquif : 4> est alors égal à

Quant au travail, (par unité de temps) des résistances à l'avancement, à savoir 4>V, il est donné par ;

Le calcul de la page 212 montre aussitôt que ce travail est minimum quand la résistance propre de la voilure Pt est triple de celle de l'esquif.

Influence de la surface sustentatrice. — On peut écrire encore, en posant X = KA :

si l'appareil schématique (p. 248) a une voilure plane et lisse, a ne dépend que de l'esquif, et pour voler à la vitesse V. l'appareil (de poids donné P), exige d'autant moins de puissance motrice que A est plus grand. Il n'y aurait donc aucun avantage à rentrer de la voilure, si la chose est possible. Mais si on tient compte de la rugosité du plan de voilure, [x renferme un terme proportionnel à A, îoit jjL = [Xq 4" 1^1 KA, et la puissance nécessaire pour que l'appareil donné vole à la vitesse V sera minima quand

' KAV ~ H^i^AV^, c'est-à-dire quand A=y=^^. Il n'y

aura donc avantage à rentrer de la voilure que si A surpasse cette limite. Mais il peut se faire que l'angle d'attaque correspondant à cette limite soit très faible et,

ÉQUILIBRE DE V AÉROPLANE

par suite, dangereux : il faudrait alors diminuer A audessous de cette limite.

Des conclusions analogues s'appliquent à un appareil quelconque.

Si on compare deux appareils distincts de mîme poids total, volant avec la même vitesse V, la discussion précédente s'applique. Mais celui qui a le plus de voilure comporte un poids utile moindre, puisque le poids de la voilure est plus grand. Si, au lieu de se donner P, on se donne le poids utile (le poids d'un homme par exemple), et si on cherche à construire un appareil volant à une vitesse donnée V et exigeant le minimum de puissance motrice, le problème est beaucoup plus difficile : il faudrait connaître la relation entre Pet A, relation qui dépend des matériaux de l'appareil.

Autres régimes de l'aéroplane. — Dans la pratique, *

et i sont mal connus et il est difficile de réaliser exactement la condition (2). Cette condition nécessaire n'étant pas remplie, un autre régime est-il possible dans lequel le centre de gravité décrit encore uniformément une droite horizontale, la direction Fig. 46. GH n'étant plus horizontale mais

restant invariable ?

Soit a l'angle d'attaque (a> ou <t). Les équations (i) sont remplacées par les suivantes :

( P = XV sin' a 4- * sin (a — t) (4) U

cos (a — t) =z XV^ sin^ a -j- [iV-

qui coïncident avec les équations (i) pour a égal au petit angle /. Si on pose (5 = a — i, ces équations entraînent l'équation suivante analogue à (2) :

/ N ^ cos .3 . IX

(5) "^ :;: — = — ;- = tg a H — ^ cotg a

^' P — * sm p ^ ' X ^

THEORIE DE L'AEROPLANE

P, ). et (I étant donnés, le minimum de 4> a lieu pour :

tg X = X- cotg X = \J -t. et tg? = 2y^ ;

i- étant petit dans les applications, ces valeurs donnent sensiblement

d*où a — /=2a, i 1= — a. Ces conditions exigent que GH soit au-dessus de la voilure et que celle-ci soit bissectrice de l'angle HGV. Autrement dit, soit a© l'angle d'attaque qui correspond à la pente minimum de la chute planée de Tapparcil (moteur éteint) : la poussée qu'exige l'aéroplane propulsé pour se soutenir horizontalement est minima quand Tangle d'attaque est égal à ao et quand Taxe GH de poussée est dirigé au-dessus du plan de voilure et fait avec ce plan un angle égal à a©*.

La valeur minima de 4> est égale à , au lieu de

2tl

la valeur 2? V/ii trouvée dans le cas de ^ = o. Mais

2 11 -T^- étant petit dans la réalité, ce gain sur * est peu appré-

ciable. Des remarques analogues s'appliquent au travail de la poussée. D'autre part, les hélices, dont l'axe est oblique

I. Ces conclusions ne sont vraies qu'autant que les formules admises pour représenter les résistances de l'air sur la voilure et

sur l'esquif sont exactes.

De plus, les formules fi) supposent l'angle de V et GH asseï

petit pour que l'effet des hélices soit à peu près le même que si Y avait le sens GH ; cette condition sera ttès sensiblement remplie si

Rio est grand devant V, ["R rnyon de Viiélice].

ÉQUILIBRE DE VAÉROPLANE

par rapport à V, travaillent moins bien. C'est pourquoi le régime dans lequel GH a le sens de V est préférable.

D'où cette conclusion :

Pour que l'appareil puisse se soutenir horizontalement il faut que le moteur [de poids nécessairement inférieur à P] ait

une puissance maxima au moins égale à 13 l^l * ^^

qu'il soit capable de communiquer aux hélices une force de propulsion au moins égale à 2 P i/ ii . Ces conditions ne sont d'ailleurs pas sufl&santes.

Supposons <î> > 2 P W li ; l'angle d'attaque a qui

correspond à la translation horizontale est donné par Téquation (5), où ^ r= a — z; dans les applications 4* ^ est très petit devant P, a est petit, et on peut réduire approximativement cette équation à la suivante.

Cette équation a deux racines en a, toutes deux positives,

Tune plus petite que V/4^ , l'autre plus grande. A ces deux

racines a^, (1.2. ^^i <! ^2) correspondent deux vitesses V^ et Vo de marche horizontale (V^ > Vj) , ces deux racines se

confondent, quand 4>= 2 P W 4^ .

Imaginons qu'on accroisse P, c'est-à-dire qu'on ajoute un poids supplémentaire au centre de gravité de l'appareil ; on voit aussitôt que la racine a^ croît, V^ décroit* ; au contraire aj décroît, Vo croît. Si donc le second régime se trouvait réalisé, l'augmentation du poids de l'appareil (ou une diminution de la poussée) entraînerait une vitesse plus grande et un angle d'attaque plus faible ; mais nous allons voir que ce second régime est instable et par suite ne s'établira pas.