ELIMINATION ENTRE DEUX EQUATIONS

I. Notions préliminaires. — Toute équation algébrique de degré n

aç^x'^ + a^x^ - 1 -f a^x^^ - 2 -)- ... -)- a^ — o,

dans laquelle Uq, a^,... désignent des quantités indépendantes de X dont la première n'est pas nulle^ admet comme l'on sait 71 racines réelles ou imaginaires de la forme a + î^ y — i, que nous appellerons aj, a.^... a^^; nous désignerons par /" (.r) lepremier membre de cette équation et nous aurons

f{x) ~ cIq [x ~ a^) (.X' — a,) . . . (x — - a„ ) , et en prenant les dérivées logarithmiques des deux membres,

f{x) X — a^ X — a.-, X — an

Chacune des fractions simples qui entrent dans le second membre est développable sous la forme

X Oii X x^

pourvu que le module de ./; soit supérieur au module maximum des racines, et si Ton pose

O FONCTIONS SYMETRIQUES SIMPLES

on aura

f{x) ~ X ~^ x^ "^•••"^ ;ri^+i ■^•■•

En sorte que la fonction s^, sera le coefficient de ■ ^ .^ dans le

f (x) développement de ,.. ^. ■ en série ordonnée suiçant les puissances

croissantes de — .

Chacun des termes du second membre de (i) peut aussi se développer comme il suit

pourvu que le modulé de x soit inférieur au module minimum des racines a^-, a^..., en sorte que si. l'on pose

on aura

et — s j) sera le coefficient de .r^^""^ daJis le déi^eloppenient de \

ordonné suivant les puissances croissantes de x.

Plus généralement : Si ton désigne par o (.r) un polynôme çiîtier en X, le reste de la division de cp {x) par f (.r) sera

W fi

En effet il. existe un polynôme Q tel que

(3) o (x) = Qf {x) + -R.

Si dans cette formule on fait .r = a/, on a / (./;) = Il (x^) ; 11 (,r) est donc complètement déterminé par cette condition qu'il se réduit à /'(ocj) pour x = a.i puisqu'il est du degré /z — i au plus et le premier membre de (i) jouit précisément de cette propriété, il est déterminé par ce que l'on appelle la formule d'interpolation de Lagrange, dont nous aurons à faire un fréquent usage dans la suite.

DÉVELOPPEMENT d'UNE FONCTION RATIONNELLE EN SERIE 9

On peut donc, des formules ('i) et (3), conclure

/• (X) -^^ f(x) ~^^ {X - y.„ ) f (a,, ) et en changeant o (x) en ç (.v) f (.r)

Si l'on suppose le module de jj suffisamment grand, on aura toujours

X — ap X x'^ ,x-^

et (4) deviendra

? {^) f (■ ^•) o -U -?(^-^-) I ^5?Ji^ 4-

En sorte que Z o (a^/) cs^ /e coefficient de — clans le clévc-

Loppement de ' ' :, ordonne suivant Les puissances ctecroiS'

santés de x.

'2. Développement d'une fonction rationnelle en série. —

Considérons une fonction rationnelle ' '. ;' : , on sait cru'elle

est développable en une somme d'éléments simples de la forme

A/r^' et -7 r— en nombre fini, A, B, a désisrnant des cons-

tantes qui peuvent être quelconques et p, q désignant des entiers; si .x est de module suffisamment grand [plus grand que

le plus Q^rand des modules des racines de ff.rl^: ol ^ — est

^ ^ / V y J (.;t; rj^)(l

développable sous la forme

donc '. , - peut se développer lui-même suivant les puissances

décroissantes de x en une série convergente, et cela d'une seule manière [toujours en supposant module (x) supérieur au plus

lO FONCTIONS SYMETRIQUES SIMPLES

grand des modules des i^acines de /*(./;) = o]. Pour effectuer ce développement il n'est pas nécessaire de connaître les racines de f[x) = o, il suffit de poser

— hkX> -\-b„^^ jc/^ - 1 4 ... + /;^ j .4 - j- ...

et, en supposant /' (.rj = a .ro" -|- a^ ,r""~^ -[-••• + S' ^^ ^

cp(.r) z=(/;,.r/^ + ... h, + ^ +l L...^(,,^.x-+a^.x- +...).

En égalant de part et d'autre les coefficients des mêmes puissances de x, on a, en appelant m le degré de o {;jc) et dm^ dm^i... ses coefficients {m ■= k -\- ii) :

dm -

=: (hh,,.,

dm -

1 = Ciç^hi- __

dm -

■1 +^hf>l.' -

La première équation donne toujours b^.^ car «o est différent de zéro, la seconde Z?/.__i et ainsi de suite. Il faut d'ailleurs remarquer que le développement sera récurrent, c'est-à-dire qu'à partir d'un certain moment dans les équations obtenues les coefficients des inconnues h^, seront toujours les mêmes (affectés à des inconnues différentes). Enfin il est bon de remarquer que l'application de la méthode des coefficients indéterminés revient au fond à Tapplication de la règle de la division des polynômes.

3. Formules de Newton. — Appliquons les considérations précédentes à la recherche des sommes des puissances semblables des racines de l'équation /* (.r) = o ou

en posant si égal à la somme des puissances i des racines on aura (§ i^'') :