FORMULES DE NEWTON

na^^x^ - ^ -{- [n — i) a^x^ ~ ""^ + ••• = {a^x^^ -{- a^x^^ ~ ^ ~\~ •••)

et, en identifiant,

«oS'j + «1 = o,

ciç^s^ + «r^i + 2 a, =z o,

(i-aSn + (^i^n 1 ... + nan = o,

tto-Sp + a^Sp 1 + ... + «n A> - n = o.

Ce sont les formules de Newton, qui donnent de proche en proche s,, s^,,.. s,j ... s^ ... ou au moyen de déterminants. Nous en déduirons en particulier la formule importante qui

donne — - en fonction d

e 5^j, Sj, Si

fl'

vS,,

Sa y ^a — 1 ) ■5)1 — 2 .■< ^n —3 •

L'importance de cette formule consiste dans ce fait qu'elle fournit le produit zh — ^ des quantités a^, a, ... a„ en fonction des sommes Sa, 2a-, ... 2a'^ et l'on a

lia:

Nous en ferons bientôt usasre.

[ONCTIONS SYMETRIQUES SIMPLES

4. Définition précise du Résultant. — Première méthode de calcul. — Soient o (./;) et '!> (.r) les deux polynômes

o (x) = rtQ.x"^-|- a^x:^^ d/ (.r) = h,xn + />,.x»'

soient a^, «2, ... a,,^ les racines de cp (.r) ^= ; ^i, p^? ••• ?n celles de tL (x) = o.

On a les identités

ri (a, - p,-) == -tV -^ (^1) '^ 0^) - 'V(^^-)

-^?(Pl)?([^J--?(^),

^-Q d> (ai) ... <I^ (a„^) sera ce que j'appellerai le résultant de ^ et de (D ; èj^ cp (j^i) ... sera le résultant de o et de 'h, ces deux résultants sont égaux ou égaux et de signes contraires, ils sont homogènes et de degré m par rapport aux coefficients de 'J;, homogènes et de degré n par rapport aux coefficients de cp.

Nous avons immédiatement des méthodes pour le calcul du résultant : nous avons vu que l'on pouvait calculer facilement par une simple division (§ i et 2) les sommes X 'i> (oc), ^ [d^(a)]^, S [d; (a)]^ ..., et nous avons vu au paragraphe précédent comment au moyen d'un déterminant on pouvait calculer le produit de quantités données connaissant la somme de leurs puissances semblables.

Voici une seconde méthode :

5. Seconde méthode. — Le déterminant (en conservant les notations du paragraphe précédent)

P (a^, a^... an ) ^

est égal au produit de toutes les différences telles que a^ — a/ , comme il est facile de s'en convaincre en observant qu'il s'an-