DIVISION DES NOMBRES ENTIERS (SUITE

3« Cat. — Le diviseur a jtlusieurs chiffres et le quotient n'en a qu'un seul.

Soit à diviser 37î4 par 668. En cherchant le

nombre des chiffres du quotient d'après la méthode précédemment exposée, on trouve que le quotient n'aura qu'un chiffre et ne se composera, par conséquent, que d'unités simples. Si ce quotient était connu, en le multipliant par tout le diviseur, on devrait retrouver le dividende ou un nombre inférieur au dividende, mais qui en différerait d'une quantité moindre que 5G8. Voici comment on pourrait faire cette multiplication : le diviseur 368 peut être considéré comme une somme formée de deux parties, l'une égale à cinq centaines, l'autre à 68 unités. En multipliant séparément chacune de ces parties par le quotient, el, ajoutant les deux produits partiels qui en résulteraient, on devrait avoir un produit total, ou bien exactement égal à 3724, ou ne différant de ce dividende que d'une quantité inférieure à 568. Je remarque d'abord que le premier produit partiel, celui qui résulte do la multiplication de 68 unités par les unités du quotient, ne fournira au produit total qu'un très-petit nombre de centaines. En effet, ce premier produit partiel de 68 par les unités du quotient n'est pas autre chose que le résultat d'une addition dans laquelle 68 serait écrit au-dessous de lui-même 9 fois au plus, puisque le quotient ne peut pas surpasser ce dernier nombre. Or, cette addition ne se compose que de deux colonnes, la colonno des unités el celle des dizaines. Il n'y existe pas de colonne des centaines; conséquemment, les centaines du total ne pourront provenir que de la retenue de la colonne des dizaines, laquelle ne peut jamais surpasser 9, et en outre d'un petit nombre de centaines pouvant provenir du reste de la division. En définitive, le premier produit partiel, celui de 68 par les unités du quotient, ne fournira au produit total que quelques centaines seulement.

Voyons maintenant la composition du deuxième produit partiel. Il provient de la multiplication des cinq centaines du diviseur par les unités du quotient. Or des centaines multipliées par des unités donnent toujours pour produit des centaines ; donc le second produit partiel se composera uniquement d'un certain nombre de centaines. Je dis que ce nombre de centaines ne peut être supérieur aux 37 centaines du dividende ; autrement l'un des produits partiels contiendrait plus de centaines que n'en contient le produit total, qui est la réunion de tous les produits partiels ; ce qui est absurde. Le second produit partiel que nous considérons n'est donc pas supérieur aux 37 centaines du dividende, dès lors il ne peut leur être rpi'égal ou inférieur. Le plus souvent il leur sera inférieur, attendu que les quelques centaines du premier produit partiel doivent leur être ajoutées pour avoir les 37 centaines du dividende.

image not available

Si les centaines du deuxième produit partiel étaient connues, en les divisant par les cinq centaines du diviseur, d'après le premier cas, on aurait exactement le quotient. Malheureusement elles ne le sont pas, et la division qui donnerait le quotient ne peut être effectuée. Mais on peut remplacer cette division par une autre qui donnera à très-peu près le même résultat. En effet, le dividende inconnu ne diffère, d'après ce qui précède, de 37, que de quelques centaines ; donc en lui substituant le dividende 37, on obtiendra un quotient qui ne différera pas beaucoup du véritable. Pourtant, ce quotient pourra être trop fort, car 37 sera généralement plus fort que le vrai dividende, et il est évident que pius un dividende est fort, plus de fois on en peut retrancher le diviseur. On divise donc 37 par 5, et l'on a un quotient qui, s'il n'est pas le quotient exact, ne peut être que trop fort. Il faut donc l'essayer. Pour cela, on multiplie ce quotient par tout le diviseur. Si l'on a un résultat qui surpasse 3724, le quotient obtenu est véritablement trop fort; mais il n'est pas éloigné du véritable. On ne le diminue donc que d'une unité, on essaye comme précédemment le nouveau quotient qui en résulte, et l'on continue ainsi en diminuant chaque fuis d'une unité, jusqu'à ce que l'on obtienne un quotient qui, multiplié par 568, donne un résultat égal à 3724 ou inférieur à ce nombre. Le nombre satisfaisant à l'une ou à /'autre de ces deux conditions est le quotient demandé.

Ici, le quotient de la division de 37 par 5 est 7. 7 multiplié par 568 donne pour produit 3976, nombre supérieur à 3724. 7 est donc un quotient trop fort. En le diminuant d'une unité, on a 6 qui, multiplié par 568, donne pour produit 3408, nombre inférieur à 3724. 6 est donc le quotient cherché.

De cette théorie on conclut la pratique suivante :

Ecrivez le dividende et le diviseur sur une môme ligne horizontale, séparez-les par un trait vertical, et tirez sous le diviseur un trait horizontal, au-dessous duquel vous placerez le quotient. Puis séparez, sur la gauche du dividende, le plus petit nombre capablo de contenir le premier chiffre du diviseur ; divisez ce plus petit nombre par le premier chiffre du diviseur d'après le premier cas, vous aurez un quotient qu'il s'agira d'essayer; pour cela, vous le multiplierez par tout le diviseur : si le produit est inférieur au dividende, ce quotient sera le quotient cherché ; si au contraire le produit obtenu surpasse le dividende, diminuez le quotient d'une unité. Vous aurez un nouveau quotient que vous essayerez comme précédemment. Vous obtiendrez le reste de la division en retranchant du dividende le produit du quotient par tout le diviseur.

Ex. : — Soit à diviser 8593 par 926. On dispose l'opération comme on le voit ci-dessous :

On sépare sur la gauche du dividende 85, qui est le plus petit nombre capable de contenir le premier chiffre 9 du diviseur. Puis l'on dit : en 85 combien de fois 9? il y est 9 fois. On écrit 9 sous 926. Pour voir s'il est le véritable quotient, on le multiplie par tout le diviseur 926. On a pour produit 8334. Comme ce produit est inférieur à 8593, 9 c»t le quotient demandé. En retranchant 8334 de 8593 on a pour reste do la division 259.

Remarque. — Quand on a acquis une certaino habitude du calcul, on trouve simultanément le produit du diviseur par le quotient et la différence entre ce produit et le dividende, laquelle est évidemment égale au reste de la division. Voici comment on opère. Nous reprenons l'exemple précédent :

On dit : 9 fois 6 font 54; été de 63 reste 9. Je pose 9 sous le chiffre 3 du dividende, et je retiens 6. 9 fois 2 font 48 et 6 de retenue font 24; 24 ôté de 29, reste 5; je pose 5 sous le 9 du dividende et retiens deux. 9 fois 9 font 81 et deux de retenue font 83. 83 ôté de 85 reste 2 ; je pose 2 sous le 5 du dividende. L'opération ost terminée, et j'ai pour reste 239.

On voit que l'esprit do celle méthode consiste à retrancher chaque produit partiel du nombre entier qui est immédiatement supérieur à ce produit, et qui a pour dernier chiffre de droite le chiffre du dividende occupant le même rang que le dernier chiffre du produit partiel que l'on retranche.

Dans l'opération précédente, on est amené à faire une soustraction d'une nature un peu différente de celle de la soustraction ordinaire. Avec un peu de réflexion on verra que cette manière de procéder est basée, comme la soustraction ordinaire, sur le principe qui dit qu'on ne change pas la valeur du reste d'une soustraction quand on augmente ses deux termes de la même quantité.

Meblette et IUcvion ulné.

VA

3» Problème. — Par un point situé dans un SOLUTION DES PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE ongle donne, mener une droite qui toit divisée en

deux parties égales par ce poitit.

du dernier NUMÉRO. «%oi«>nt l'angle A (lig. 3), et le point C, pris dans

l'intérieur de cet angle. Il n'agit de mener parle

4" ProbUme. — Par un point pris en dehors de point C une droite terminée aux deux côtés do deux parallèles, mener une droite telle que la partie l'angle A, et dont le point C soit le milieu. Pour de cette droite comprise entre les deux parallèles, cela, par ce point C menons CB parallèle au côté soit égale en longueur à une droite donnée. I AD de l'angle donné; sur l'autre côté, à partir du

Soient 1© point 0 et les deux parallèles AB et pojnt b, reportons la distance BF égale à AB, et CD (pl. <5, fig. 1")- H fo«U, par le point 0, mener I joignons les points F et C par une droite que nous une droite telle que la partie de cette droite corn- prolongerons jusqu'à ce qu'elle rencontre le côté prise entre les deux parallèles AB et CD soit égale AD au point K. Cette droite FK est la droite doen longueur à la droite donnée MN. Pour cela, mandée. En effet, le point B étant le milieu de AF d'un point quelconque E de la droite AB pris et la ligne BC étant parallèle à AD, il résulte du comme centre et avec un rayon égal à MN, on théorème 117, démontré dans le 13» numéro, que décrit un arc de cercle qui coupe la droite CD |e point C est le milieu de FK ; donc la ligne FK aux deux points F et G. On joint le point E au est bien la droite demandée, point F par une ligne droite, et le point E au f point G par une autre ligne droite. En menant par te point 0 la droite OHK parallèle à EF, on a une première solution du problème. En effet, la droite OHK passe par le point 0 et la portion HK de celte droite comprise entre AB et CD est égale à MN ; car HK égale EF comme parallèles comprises entre parallèles, et EF égale MNpar construction; d'où il résulte que HK égale MN. Puisqu'il en est ainsi, la droite OK satisfait à toutes les conditions du problème et elle en est par conséquent une solution.

On en obtiendrait une seconde en menant par le point 0 une droite parallèle à EG

î* Problème. — Construire un parallélogramme connaissant les deux diagonales et un côté

Soient AB et CD (fig. 2), les deux diagonales du parallélogramme qu'il h'agit dç construire, et EF le côté donné de ce môme parallélogramme. On commence par tracer uno droite BS, égale au côte EF; puis, du point R comme centre, avec AO, moitié de AB, pour rayon, on décrit un arc de cercle au-dessus do RS. Ensuite, du point S comme centre et avec un rayon CH égal à la moitié de CD, on décrit au-dessus de RS un second arc de cercle, qui coupo le premier au point K. On joint par deux lignes droites le point K aux deux points B et S; on a ainsi BK et KS. On prolonge la droite RK d'une quantité égale à. elle-même jusqu'au point M; on prolonge aussi la droito SK d'une