SUITE DE LA CIRCONFÉRENCE DU CERCLE

126. Théorème. — Dans un mfme cercle ou dans quantité égale à elle-même jusqu'au point N. Il ne I des cercles égaux, deux arcs égaux possèdent des reste plus qu'à mener los droites NM, MS et RN cordes égales. pour avoir le parallélogramme demandé. Cela ré- On suppose que les circonférences ayant pour suite évidemment de l'égalité des deux triangles centres les points 0 et C (fig. 4) sont égales; on RKSct NKM d'une part, de l'égalité des deux I suppose en outre que l'arc AMB, pris sur l'une de triangles NKR et MKS d'autre part, et en outre de ces circonférences, est égal à l'arc DEF pris sur la propriété que possèdent les deux diagonales l'autre, et il faut prouver que, s'il en est ainsi, la d'un parallélogramme de so couper en parties! corde AB, correspondant à l'arc AMB. est égide à égales. I la corde DF, correspondant à l'arc DEF. Pour cela

je porte la circonférence C sur la circonférence ô, de manière qu'elle la recouvre exactement. La < chose est possible, puisqu'on suppose ces deux circonférences égales. Ce premier résultat obtenu, je fais pivoter la seconde circonférence autour de son centre, jusqu'à ce que le rayon CD soit vonu se placer sur le rayon OA. Il est clair que pendant cette rotation tous les point» de la seconde circonférence ne cesseront pas de recouv rir les points de la première. Puisqu'il en est ainsi, et que l'extrémité D de l'arc DEF recouvre maintenant l'extrémité A de l'arc A.MB; puisque en outre ces deux arcs DEF et AMB sont égaux, il faudra nécessairement que la seconde extrémité F do DEF vienne se placer sur la seconde extrémité B de AMB, sans quoi ces deux arcs ne seraient pas égaux, ce qui est contre la supposition. Ainsi, le point D se confond avec le point A, et le point F avec le point B. Puisquo les extrémités dos deux droites DF et AB se confondent, il en sera de même évidemment de tous leurs autres points, et les deux droites DF et AB, se recouvrant exactement, seront forcément égales, ce qu'il fallait démontrer.

1 87. Théorème. — Dans un même cercle ou dans des cercles égaux, quand deux cordes sont égales, les arts qui leur correspondent sont égaux.

Soient les circonférences égales 0 et C (fig. 5). On suppose que la corde MP est épie à la corde RK, et il faut prouver que, s'il en est ainsi, l'arc MSP est égala l'arc RSK. En effet, les deux triangles MOP et RCK sont égaux ; c ar In côté MO égale RC par supposition, OP égale CK pour la même raison, et MP a été de plus supposé égal à RK. Les deux triangles MOP et RCK sont donc égaux, comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Mais dans des triangles égaux, à des côtés égaux sont opposés des angles égaux ; donc l'angle RCK, opposé au côté RK, est égal à l'angle MOP opposé au cote* MP. Celte égalité étant bien constatée, prenons la circonférence C et plaçons-la sur la circonférence 0, do manière que RC recouvre MO. On pourra toujours parvenir à ce résultat en imprimant à la circonférence transportée un mouvement de rotation autour de son centre. Supposons que l'on y soit arrivé, et voyons quelle direction prendra le rayon CK : puisque l'angle ItCK est égal à l'angle MOP, la droite CK prendra la direction de OP, et, comme ces deux droites sont égales comme rayons de deux circonférences égales, le point K tombera au point P. Donc les deux extrémités R et K de l'arc RSK recouvriront les deux extrémités M et P de l'arc MNP. Mais les points de l'arc RSK compris entre R et K recou- Triront aussi les points do l'arc MNP compris entre "M et P ; car les deux circonférences C et 0 se superposent exactement.

L'arc RSK recouvrant l'arc MNP dans toutes ses

parties, on en conclut que ces deux arcs sont

égaux.

ILvuvion aîné.

CHIMIE