THBOKSMBS GENERAUX SUR LES FRACTIONS

Théorime. ~ Quand on multiplù, le numérateur i une fraction par un nombre entùr, on rend cette fraction autant de fois plus grande qu'il y a d'unités dans ce nombre entier.

Soit la fraction ^. Si nous multiplions son numérateur par 4, sans toucher à son dénominateur nous obtiendrons la fraction ff.

Je dis que cette dernière fraction est quatre fois plus grande que f-. Pour le prouver, comparons ces deux fractions. Elles ont le même dénominateur 47; donc, comme pour les obtenir on a par-

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lagé l'unité en un même nombre de parties égales, les parties qui les forment sont de même grosseur. Maintenant pour, avoir la première Traction, on a pris 3 de ces parties; pGur avoir la seconde. fraction, on aurait pu commencer par prendre d'abord trois parties seulement, ce qui aurait formé la matière de la première fraction ; puis on aurait pu prendre trois nouvelles parties , ce qui aurait donné deux fois I» matière de la première fraction; puis encore trois parties, ce qui aurait fait trois fois la matière de la première fraction. Enfin, prenant une fois de plus trois parties, on aurait eu en tout quatre fois la matière do la première fraction ; d'où l'on conclut que la deuxième fraction est quatre fois plus grande que la première. C. Q. F. D. .

Théorème. — Quand on divise le numérateur d'une fraction par un nombre entier, on rend cette . fraction autant de fois plus jietite qu'il y a d'unités dans ce nombre entier.

Soit la fraction *. Si l'on divise son numérateur par 4, on a la nouvelle fraction {. Je dis qu'elle est quatre fois plus petite que la première. En effet, pour avoir chacune des deux fractions, on a d'abord partagé l'unité en neuf parties égales, donc les parties sont égales dans les deux fractions. Puis, pour former la première fraction on a pris 8 de ces parties, tandis que pour former la deuxième on en a pris deux, c'est-à-dire quatre fois moins. Il y a donc dans la deuxième fraction quatre fois moins de matière que dans la première et, par conséquent cette deuxième, fraction £ est quatre fois moins forte que la première fraction J.

Théorème. — Quand on multiplie le dénominateur d une fraction par un nombre entier, on rend cette fraction autant de fois plus petite qu'U y a d'unités dans ce nombre entier.

Soit la fraction £ ; si l'on multiplie son dénominateur 7 par 3. on obtient la fraction -fr. Je dis que cette dernière fraction est trois fois plus petite que 4- En effet, pour avoir les parties qui forment la fraction ±, on a partagé l'unité en 7 parties égales. Pour avoir les parties qui forment la fraction rr on aurait pu s'y prendre de la manière suivante I On aurait pu partager d'abord l'unité en sept parties égales, ce qui aurait donné des parties égales aux parties de la première fraction. Puis on aurait partagé de nouveau en trois parties égales chacune des sept parties déjà obtenues, ce qui aurait donné de nouvelles parties trois fois, plus petites que les premières. Comme il y aurait eu de la sorte vingt-une parties égales dans l'unité, on serait arrivé au résultat voulu. On voit par là qu'une partie de la seconde fraction est trois fois plus petite qu'une partie de la première. Main-

tenant comme dans les deux fractions on prend quatre des parties qui les composent respectivement, on en conclut qu'à chacune des parties do la première, correspond une partie de la seconde trois fois plus petite qu'elle. Donc l'ensemble des parties de la deuxième fraction est trois fois plus petit que l'ensemble des parties de la première. C. Q. F. D.

Théorème. — Quand on divise le dénominateur d'une fraction par un nombre entier, on rend cette fraction autant de fois plus grande qu'il y a d'unités dans ce nombre entier.

Soit la fraction -j5». Si on diviso son dénominateur par 4, on obtient la nouvelle fraction 7. Jo dis qu'elle est quatre fois plus grande que la première. En effet, pour obtenir les parties qui composent la première fraction on a partagé l'unité en 28 parties égales. Pour obtenir les parties qui composent la seconde fraction -7, on aurait pu d'abord partager aussi l'unité en 28 parties égales, ce qui aurait donné des parties égales aux parties de la première fraction. Puis, afin de n'avoir que 7 parties dans l'unité au lieu de 28, on aurait réuni ensemble quatre par quatre les parties déjà obtenues. On aurait eu de la sorte les parties qui composent la seconde fraction. Chacune d'elles est quatre fois plus forte qu'une partie de la première, puisqu'elle provient de la réunion de quatre parties de celle-ci. Maintenant, comme pour former les deux fractions, on prend cinq des parties qui les composent respectivement, on en conclut qu'à chacune des parties de la première, correspond une partie de la deuxième quatre fois plus forte qu'elle. Donc, l'ensemble des parties de la seconde fraction est quatre fois plus grand.que l'ensemblo de3 parties de la première.

Merlettb et Havviox ainé.

SOLUTION DES PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE