SUITE DE LA CIRCONFÉRENCE 00 CERCLE

450. Théorème. — Dans un même cercle ou dans des cercles égaux, deux angles au centre sont entre eux comme Us arcs correspondants.

Dans la démonstration de ce théorème, nous distinguons deux cas :

4*r cas. On suppose que les arcs interceptés par les côtés des deux angles au centre sont commensurables.

2» cas. On appose que ces mêmes arcs sont

i»r cas. Les arcs sont commensur ables. — On suppose que les arcs AB et DE (Pl. 23, fig. 4) correspondant aux deux angles au centre AOB et DCE, tracés dans les cercles égaux 0 et C sont commensurables. Cela veut dire que l'on admet qu'il existe une unité de mesure contenue, un nombre exact de fois dans AB. et un autre noi Dre exact de fois dans DE. Comme la quantité qui sert d'unité de mesure doit être "de mémo nature que la quantité à mesurer, supposons ici que l'arc m, pris pour unité de mesure, soit contenu trois fois dans l'une AB et cinq fois dans DE. En portant l'arc m sur AB et sur DE autant de fois qu'il y est contenu, on obtient, pour le premier de ces arcs, les deux points de division F et G, et, pour le se cond, les quatre points de division H, I, J, K. En joignant les premiers au centre 0, et les seconds au centreC, on obtient les angles AOF, FOG, G06 d'une part et les angles DCH, HCI, 1CJ, JCK et KCE d'autre part. Je dis que tous ces angles sont égaux entre eux. En effet, ils sont égaux comme angles au centre correspondant à des arcs égaux dans des circonférences égales. Puisque tous les angles au centre en 0 et en C sont égaux, si l'on désigne chacun d'eux par a, on aura pour l'expression do l'angle total AOB et do l'angle total DCE :

A0B = 3X<», et DCE = 5Xa.

Voilà deux égalités : si on les divise membre à membre, il en résultera une nouvelle égalité. Effectuant cette division, on a :

AOB 3X« DCE~5Xa' Dans la seconde fraction de cette proportion, on peut, sans changer la valeur du second rapport, supprimer le facteur o, et il vient ;

AOB 3

DCE — 5 '

Maintenant, cherchons à exprimer les deux: arcs AB et DE, au moyen du petit arc m choisi )0ur unité de mesure, il viendra :

AB = 3 x m.

DE = 5Xm.

Voilà deux égalités : en les divisant membre h membre, il en résultera une troisième qui sera la suivante :

AB 3X m

DE 5 X «»° En supprimant le facteur m, commun aux deux termes du second rapport de cette proportion, on en obtient une nouvelle qui est celle-ci :

DE 6 y ' Si maintenant nous comparons ensemble les proportions (4) et (1, nous voyons qu'elles ont un rapport commun . Mais quand deux proportions ont un rapport commun, on peut, avec les deux autres rapports, faire t ne proportion . Donc o peut écrire :

AOB AB

DCE DE'

Cela signifie que l'angle AOB contient l'angle DCE autant de fois que l'arc AB contient l'arc DE. C'est précisément ce qu'il fallait démontrer.

f cas. — On suppose que les arcs ÀB et DE (fig. 2) correspondant aux deux angles au centre AOB et DCE, tracés dans les doux cercles égaux 0 et C, sont incommensurables. Cela veut dire que, quelle que soit l'unité de mesure qu'il plaise de choisir, jamais cette unité de mesure ne sera coin* prise, en même temps, un nombre exact de fois dans AB et dans DE. Il fout démontrer que, même dans ce cas, l'angle AOB contiendra encore l'anglo DCE autant de fois que l'arc AB contient l'arc DE. Ainsi, il faut démontrer que l'on "aura exactement :

AOB AB DCE ~~ DÎT"

Si cette proportion est inexacte, l'inexactitnde ne pourra provenir que de son quatrième terme DE ; car il est bien évidont, d'après la théoriq des proportions, que l'on peut choisir à volonté les trois premiers termes d'uno proportion, à la condition de donner au quatrième une valeur convenable. Admettons donc pour' un moment quo la: proportion précédente ne soit pas exacte ot que son quatrième terme DE se trouve trop petit. Il existera alors une quantité DI qui, mise à la place' de DE dans la proportion précédente, en rétablira l'exactitude. De sorte quo l'on aura en toute ri-

AOB

DCE