DI
Cela étant, partageons le plus petit de nos deux arcs, AB, en deux parties égales ; chacune do ses deux moitiés en deux autres parties égales et ainsi de suite. En continuant de subdiviser de la sorte les parties que l'on aura dans l'arc AB, on finira par en obtenir qui seront moindres que El. Soit m une de ces parties moindres que El. A cause de la manière dont on s'est procuré l'arc m, il est visible que cet arc est contenu un nombre de fois exact dans AB. Maintenant si à partir du point D nous portons sur l'arc DI la longueur m autant de fois que possible, il résulte de la manière dont cette quantité m a été choisie, qu'il tombera au moins un point de division K, entre le point E et le point I ; en sorte que l'arc DK contiendra un nombre exact de fois l'arc m. Les arcs AB et DK, contenant chacun m un nombre exact de fois, seront commensurables entre eux, et, par suite, on pourra appliquer aux angles au centre qui leur correspondent, la proposition démontrée dans le premier cas du présent théorème. On aura donc :
AB
Changeant la place des moyens dans les proportions (4) et (S) on obtient les suivantes : AOB DCK AB ~* ~W{ h
et
AOB DCK AB S
DK
Lee proportions (3) et (4) ont un rapport commun î~ ; donc, avec leurs deux autres rapports on peut faire une nouvelle proportion, qui est la suivante :
DCB DCK ...
-dT= -dT(5)-
En changeant la place des moyens dans cette dernière proportion, il vient :
DCK"- DK"(6)*
Cette proportion ne saurait être exacte, car la première fraction qui la compose est moindre que l'unité, puisque son numérateur DCE est plus petit que DCK. Au contraire, la seconde fraction de la proportion (6) est plus grande que l'unité, attendu que sou numérateur Dl surpasse son dénominateur DK. Hais une proportion ne peut pas être formée par deux fractions inégales; donc la proportion (6) n'est pas exacte. Comme elle a été tirée des proportions (4) et (J) combinées entre elles d'après les procédés indiqués dans la théorie des proportions, il en résulte qu'une au moins de ces dernières n'est pas exacte. Ce ne saurait être la proportion (1), qui n'esl qu'une application du
premier cas de notre théorème. Par conséquent, il faut absolument que la proportion (4) soit fausse. Mais, dans cette proportion, le quatrième terme seul DI est incertain. On l'a supposé plus grand que DE. Puisque la proportion est fausse, celte supposition est erronée, et DI ne saurait être plus grand que DE.
Par un raisonnement tout a fait analogue, on démontrerait que le quatrième terme de la proportion (4) ne peut pas être plus petit que DE.
Ce quatrième terme, ne pouvant être ni plus grand ni plus petit que la quantité DE. sera égal à cette quantité elle-même, en sorte que l'on aura exactement :
AOB
AB DE -
DCE
Ainsi, que les arcs correspondant à deux angles au centre soient commensurables ou non, ces deux angles n'en sont pas moius entre eux comme les arcs interceptés par leurs côtés.
DE
